递归与回溯 || 排列问题

前言：

全排列

题解：

全排列 II

题解：

子集

题解：

组合

题解：

组合总和

题解：

电话号码的字母组合

题解：

字母大小写全排列

题解：

优美的排列

题解：

前言：

递归与回溯问题需要弄清楚以下几点：

1、递归前需要做什么？

2、什么时候递归，什么时候回溯？

3、回溯时需要做什么，需要返回值吗，如何接收返回值，需要恢复现场吗，还是什么都不需要处理？

全排列

46. 全排列 - 力扣（LeetCode）

题解：

面对这种排列问题，首先需要画出决策树，根据决策树来实现代码！

我们以示例一为例，决策树如下：

nums = [ 1, 2, 3 ]， 假设我们选择排列的第一个数为 1，我们继续在 1 2 3 里面选择排列的第二个数，由于 1 已经被选过了，我们只能选择 2 或 3 作为排列的第二个数：

1、假设选择 2 为排列的第二个数，继续在 1 2 3 里面选择排列的第三个数，由于 1 2 已经被选过了，我们只能选择 3 作为排列的第三个数，最终排列的结果为 1 2 3 ；

2、假设选择 3 为排列的第二个数，继续在 1 2 3 里面选择排列的第三个数，由于 1 3 已经被选过了，我们只能选择 2 作为排列的第三个数，最终排列的结果为 1 3 2 。

选择 2 作为排列的第一个数也是同理。结合文字和图中的决策树可以看出，我们每次都会在 1 2 3 里面做选择，但每次选择时，会排除已经选过的数字（因为不能重复选）。

nums = [ 1, 2, 3, 4 ] 也是同样的道理（只截取一部分作为参考）：

接下来我们需要回答开头提出的几个问题：

1、递归前需要做什么？

递归前需要找出排列的下一个数字。我们用 for 循环来模拟决策树做选择的过程，为了避免选择了重复的数字，我们用 bool 数组来标记，true 表示该数字已经选择过了，false 表示该数字还没有被选择过。如果找到了排列的下一个数字，把该数字添加到排列中，并把该数字标记为 true。

为了便于把数字尾插到排列中，我们把排列设计为全局变量。

2、什么时候递归？

找到排列的下一个数字后，就可以递归，寻找排列的下一个数。

3、什么时候回溯？

排列后的数组长度 == nums 的长度时，就可以回溯。

4、回溯时需要做什么？

以 1 2 3 4 的排列为例，我们找到一个排列 1 2 3 4 之后（红色路径），需要从递归的最后一层回到 2 这一层，再选择 4 这个数字，继续递归（橙色路径），找出排列 1 2 4 3。这就要求我们：

1、从递归的最后一层 4 回溯到倒数第二层 3 时，把刚刚尾插到排列的数字 4 删掉，且把 4 置为 false（我们称这一操作为恢复现场），这样就可以把排列恢复到 1 2 3，然后继续回溯；

2、从递归的倒数第二层 3 回溯到 2 这一层时，当前排列为 1 2 3，我们把排列的最后一个数字删掉，并把 3 置为 false，这样就可以把排列恢复为 1 2，这样就可以接着递归橙色路径，找到排列 1 2 4 3。

总结：

回溯时需要 1、把当前排列的最后一个数字删掉； 2、把该数字置为 false 。

class Solution {vector<int> path;vector<vector<int>> ret;bool check[7];
public:vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {dfs(nums);return ret;}void dfs(vector<int>& nums){if(path.size()==nums.size())//递归出口{ret.push_back(path);return;}for(int i=0;i<nums.size();i++)//模仿决策过程{if(check[i]==false)//该数字未访问过{path.push_back(nums[i]);check[i]=true;//把该数字设为访问过dfs(nums);//继续递归path.pop_back();//回溯时恢复现场check[i]=false;//把该数字恢复为未访问过}}}
};

全排列 II

47. 全排列 II - 力扣（LeetCode）

题解：

这道题比较麻烦的是处理重复元素的排列，我们假设 nums = [ 1 ,1 ,1 ,2 ]：

从部分决策树可以看出，即使我们标记了哪个元素已经访问过了，依旧会出现重复的排列！所以我们需要观察得出排列的规律（先对 nums 进行排序，这样重复的数就会排在一起，便于讨论）：

如果 nums[ i ] 还没有被访问过：

1、nums[ i ] 排在数组的第一个位置，那么 nums[ i ] 可以添加到排列；

2、 nums[ i ] 虽然不是数组的第一个元素，但是 nums[ i ] 和 nums[ i -1 ] 不相等，说明 nums[ i ] 可能在数组中只出现了一次，或者出现了很多次，但是 nums[ i ] 是这堆重复元素中第一个出现的，可以添加到排列中；

3、 nums[ i ] 不是数组的第一个元素，和 nums[ i -1 ] 相等了，但是 nums[ i -1 ] 已经被访问过了，那么可以添加到排列中。

因为递归是根据数组下标按从小到大的顺序添加到排列中的，若 nums [ i ] == nums[ i -1 ]，对于同一层递归中，在访问 nums[ i ] 之前， nums[ i -1 ] 一定已经递归结束，且已经得出排列的结果了，而 nums[ i ] 和 nums[ i -1 ] 递归得到的排列是相同的，所以 nums[ i ] 没有必要进行递归了，所以剪枝！

class Solution {vector<vector<int>> ret;vector<int> path;bool check[9];
public:vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& nums) {sort(nums.begin(),nums.end());dfs(nums,0);return ret;}void dfs(vector<int>& nums,int pos){if(pos==nums.size())//回溯 {ret.push_back(path);return;}for(int i=0;i<nums.size();i++){//当前数字为false，或者这个数字是第一个数字，或者这个数字和前一个不相同，//或者这个数字和前一个相同，但是前一个数字为true，则可以继续递归if(check[i]==false && (i==0 || nums[i]!=nums[i-1] || check[i-1]==true)){path.push_back(nums[i]);check[i]=true;dfs(nums,pos+1);path.pop_back();//恢复现场check[i]=false;}}}
};

子集

78. 子集 - 力扣（LeetCode）

题解：

决策树如下：

在挑选子集的时候，由于子集的无序性，子集 [ 1, 2 ] 和 [ 2, 1 ] 是相同的集合，为了避免结果中出现元素相同但顺序不同的集合，我们需要规定，在找子集时，不要回头去访问比子集的第一个元素小的数字。

比如决策树中，我们从 2 开始找子集，那我们就从 2 往后寻找元素，不要回头去访问比 2 小的数了，最终找到的子集就是 [ 2 ] , [ 2 , 3 ]，从 3 开始找子集，就从 3 往后寻找元素，不要回头去访问比 3 小的数，最终找到的子集就是 [ 3 ] 。

为了实现这一规定，递归时需要记录上一层访问的数字，记为 pos，在 for 循环里面寻找元素时，从 pos 开始往后找。这其实是一个剪枝的操作！剪去了不必要的访问！

class Solution {vector<int> path;//子集vector<vector<int>> ret;
public:vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {ret.push_back(path);//空集dfs(nums,0);return ret;}void dfs(vector<int>& nums,int pos){if(pos==nums.size())    return;for(int i=pos;i<nums.size();i++){path.push_back(nums[i]);ret.push_back(path);dfs(nums,i+1);path.pop_back();}}
};

组合

77. 组合 - 力扣（LeetCode）

题解：

和子集类似，为了避免出现重复的组合，需要记录上一层访问的数字 start，用 for 循环寻找组合的元素时，只需要从 start 往后开始寻找，不要回头访问数字！

class Solution {vector<int> path;vector<vector<int>> ret;bool check[21];
public:vector<vector<int>> combine(int n, int k) {dfs(n,k,1);return ret;}void dfs(int n,int k,int start){if(path.size()==k){ret.push_back(path);return;}for(int i=start;i<n+1;i++){path.push_back(i);dfs(n,k,i+1);path.pop_back();}}
};

组合总和

39. 组合总和 - 力扣（LeetCode）

题解：

决策树如下：

这道题规定一个数可以被无限重复次使用，所以我们不需要标记元素是否被访问过。

但是会出现重复的组合，比如 [ 2 , 2 , 3 ] 和 [ 3 , 2 , 2 ] 的组合总和都是 target，但是组合的元素相同，只是顺序不同，这样的组合就是重复的。为了避免出现重复的组合，我们要记录上一层访问的元素 pos，用 for 循环选择组合元素时，从 pos 往后开始选择，避免挑选组合的元素时走回头路。

这道题还需要注意递归的出口：

1、当 组合总和 == target 时，这个组合就是我们想要的组合，把该组合添加到结果数组，return；

2、如果 组合总和 > target ，已经没有继续寻找组合元素的必要了，return；

3、如果组合总和 < target ，但是 组合总和+ candidates[ 0 ] > target （candidates 已排序），即 目前的组合总和加上 candidates 最小的数就已经超过 target，那么目前的组合总和无论加上 candidates 的哪个数，最终结果一定会大于 target，此时已经没有继续寻找的必要了，return。

class Solution {vector<vector<int>> ret;vector<int> path;int pathsum=0;
public:vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {sort(candidates.begin(),candidates.end());if(candidates[0]>target)    return ret;dfs(candidates,target,0);return ret;}void dfs(vector<int>& candidates,int target,int pos){if(pathsum==target)//进结果{sort(path.begin(),path.end());ret.push_back(path);               return;}//递归出口，后面再怎么加也不能凑出targetif(pathsum>target || pathsum+candidates[0]>target) return;for(int i=pos;i<candidates.size();i++){path.push_back(candidates[i]); pathsum+=candidates[i];dfs(candidates,target,i);//i决定了不会走回头路path.pop_back(); pathsum-=candidates[i];//恢复现场}}
};

电话号码的字母组合

17. 电话号码的字母组合 - 力扣（LeetCode）

题解：

class Solution {vector<string> tel{"","","abc","def","ghi","jkl","mno","pqrs","tuv","wxyz"};string path;vector<string> ret;
public:vector<string> letterCombinations(string digits) {if(digits.size()==0) return ret;dfs(digits,0);return ret;}void dfs(const string& digits,int pos){if(pos==digits.size()){ret.push_back(path);return;}for(auto ch:tel[digits[pos]-'0'])//访问数字对应的字母{path.push_back(ch);//pos+1，访问下一个数字dfs(digits,pos+1);path.pop_back();//恢复现场}}
};

字母大小写全排列

784. 字母大小写全排列 - 力扣（LeetCode）

题解：

这道题的决策树稍微有点不一样，有点类似二叉树，左子树是不变，右子树是变。

由于只需要改变大小写字母，在走变的这条分支时，如果当前访问的字符串为字母时，才需要大小写转换。

class Solution {vector<string> ret;string path;
public:vector<string> letterCasePermutation(string s) {dfs(s,0);return ret;}void dfs(const string& s,int pos){if(pos==s.size()){ret.push_back(path);return;}//不改变path.push_back(s[pos]);dfs(s,pos+1);path.pop_back();//改变if(s[pos]<'0' || s[pos]>'9'){char ch=change(s[pos]);path.push_back(ch);dfs(s,pos+1);path.pop_back();}}char change(char ch){if(ch>='a' && ch<='z') ch-=32;else ch+=32;return ch;}
};

优美的排列

526. 优美的排列 - 力扣（LeetCode）

题解：

class Solution {int ret=0;bool check[16];
public:int countArrangement(int n) {dfs(n,1);return ret;}void dfs(int n,int i)//i为下标，pos为perm[i]{if(i==n+1){++ret;return;}for(int pos=1;pos<=n;pos++){if(!check[pos] && (pos%i==0 || i%pos==0)){check[pos]=true;dfs(n,i+1);check[pos]=false;}}}
};