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整数的连续自然数之和表示(100分)

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🍓OJ题目截图

🍰 整数的连续自然数之和表示

问题描述

给定一个正整数 $T$，请找出所有用连续自然数之和来表示 $T$ 的方案。例如，整数 $9$ 可以表示为：$9=9$，$9=4+5$，$9=2+3+4$。你的任务是按照以下要求，输出所有表示 $T$ 的方案：

1. 优先输出自然数个数最少的表达式。
2. 每个表达式中的自然数按照递增顺序输出。
3. 最后输出表达式的总数。

输入格式

输入一个正整数 $T$。

输出格式

按照题目要求，输出所有表示 $T$ 的方案，每个方案占一行。最后一行输出 Result:X，其中 $X$ 表示方案总数。

样例输入1

9

样例输出1

9=9
9=4+5
9=2+3+4
Result:3

样例输入2

10

样例输出2

10=10
10=1+2+3+4
Result:2

数据范围

$1\le T\le 1000$

题解

本题可以使用双指针滑动窗口的思路来解决。我们可以用两个指针 $l$ 和 $r$ 分别表示当前连续自然数区间的左右端点，用变量 $total$ 维护区间 $[l,r]$ 内所有数的和。

初始时，$l=0$，$r=1$，$total=arr[l]$，其中 $arr$ 是从 $1$ 到 $T$ 的所有自然数组成的数组。

接下来，我们不断移动指针 $r$，并更新 $total$ 的值，直到 $total\ge T$。此时，如果 $total=T$，说明我们找到了一个合法的表达式，将 $arr[l,r]$ 加入答案数组中。然后我们将 $l$ 右移一位，并相应地减少 $total$ 的值，继续寻找下一个表达式。

当 $l$ 超过 $T$ 时，搜索结束。最后，我们将答案数组按照自然数个数从小到大排序，并按要求输出每个表达式即可。

时间复杂度 $O(T^2)$，空间复杂度 $O(T)$。

参考代码

• Python

t = int(input())def getResult():arr = [i + 1 for i in range(t)]ans = []l, r, total = 0, 1, arr[0]while l < t:if total > t:total -= arr[l]l += 1elif total == t:ans.append(arr[l:r])total -= arr[l]l += 1if r >= t:breakelse:total += arr[r]r += 1else:total += arr[r]r += 1ans.sort(key=lambda x: len(x))for an in ans:print(f"{t}={'+'.join(map(str, an))}")print(f"Result:{len(ans)}")getResult()

• Java

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int t = sc.nextInt();getResult(t);}public static void getResult(int t) {List<int[]> ans = new ArrayList<>();int[] arr = new int[t];for (int i = 0; i < t; i++) {arr[i] = i + 1;}int l = 0, r = 1, total = arr[0];while (l < t) {if (total > t) {total -= arr[l];l++;} else if (total == t) {int[] exp = new int[r - l];for (int i = l; i < r; i++) {exp[i - l] = arr[i];}ans.add(exp);total -= arr[l];l++;if (r >= t) {break;} else {total += arr[r];r++;}} else {total += arr[r];r++;}}ans.sort((a, b) -> a.length - b.length);for (int[] an : ans) {StringBuilder sb = new StringBuilder();sb.append(t).append("=");for (int i = 0; i < an.length; i++) {sb.append(an[i]);if (i < an.length - 1) {sb.append("+");}}System.out.println(sb);}System.out.println("Result:" + ans.size());}
}

• Cpp

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;void getResult(int t) {vector<vector<int>> ans;vector<int> arr(t);for (int i = 0; i < t; i++) {arr[i] = i + 1;}int l = 0, r = 1, total = arr[0];while (l < t) {if (total > t) {total -= arr[l];l++;} else if (total == t) {ans.push_back(vector<int>(arr.begin() + l, arr.begin() + r));total -= arr[l];l++;if (r >= t) {break;} else {total += arr[r];r++;}} else {total += arr[r];r++;}}sort(ans.begin(), ans.end(), [](const vector<int>& a, const vector<int>& b) {return a.size() < b.size();});for (auto& an : ans) {cout << t << "=";for (int i = 0; i < an.size(); i++) {cout << an[i];if (i < an.size() - 1) {cout << "+";}}cout << endl;}cout << "Result:" << ans.size() << endl;
}int main() {int t;cin >> t;getResult(t);return 0;
}