线性回归是统计学中最常见的一种回归分析方法，用于建立自变量（解释变量）和因变量（响应变量）之间的线性关系。线性回归模型可以用来预测一个或多个自变量对应的因变量的值。

线性回归的基本形式如下：

𝑦=𝑋𝛽+𝜖

其中：

• 𝑦 是因变量的观测值，是一个维度为 𝑛 的向量。
• 𝑋 是自变量的设计矩阵，维度为 𝑛×𝑝，其中 𝑝 是自变量的数量。
• 𝛽 是回归系数，是一个维度为 𝑝 的向量，表示自变量对因变量的影响程度。
• 𝜖 是误差项，表示观测值与真实值之间的差异，通常假设其服从均值为0的正态分布。

线性回归模型的目的是通过最小化误差的平方和来估计回归系数 𝛽，这通常通过最小二乘法来实现。在简单线性回归中，只有一个自变量和一个因变量，模型形式简化为：

𝑦=𝛽0+𝛽1𝑥+𝜖

其中 𝛽0​ 是截距，𝛽1​ 是斜率，表示自变量 𝑥 对因变量 𝑦 的线性影响。

线性回归模型的假设包括：

1. 线性：自变量和因变量之间存在线性关系。
2. 独立性：观测值之间相互独立。
3. 同方差性：所有观测值的误差项具有相同的方差。
4. 正态分布：误差项服从均值为0的正态分布。

在线性回归中，回归系数 𝛽 通常是通过最小二乘法来计算的。最小二乘法的目标是最小化残差的平方和，即最小化观测值 𝑦𝑖 与预测值 𝑦^𝑖=𝑋𝛽 之间的差异的平方和：

其中，𝑆(𝛽) 是残差平方和，𝑛 是观测值的数量，𝑦𝑖​ 是第 𝑖个观测值的实际值，𝑋𝑖 是第 𝑖 个观测值的自变量向量（可能包含截距项），𝛽 是回归系数向量。

为了找到使 𝑆(𝛽) 最小的 𝛽，我们需要求解以下方程：

其中，𝑋𝑇 是设计矩阵 𝑋 的转置。这个方程被称为正规方程。解这个方程可以得到 𝛽 的最优估计值：

这里，(𝑋𝑇𝑋)^−1 是矩阵 𝑋𝑇𝑋 的逆。这个解被称为最小二乘估计（Least Squares Estimate, LSE）。

在实际应用中，如果设计矩阵 𝑋 的列线性无关，那么 𝑋𝑇𝑋 将是可逆的，上述解就有效。如果 𝑋 的列线性相关（例如，存在多重共线性），那么 𝑋𝑇𝑋 可能不是满秩的，其逆可能不存在。在这种情况下，可以通过正则化方法（如岭回归或LASSO）来计算 𝛽，或者通过删除或合并冗余的自变量来使 𝑋𝑇𝑋 成为可逆矩阵。

总结一下，线性回归中回归系数 𝛽 的计算步骤如下：

1. 构建设计矩阵 𝑋。
2. 计算矩阵 𝑋𝑇 和 𝑋𝑇𝑋。
3. 计算 𝑋𝑇𝑦。
4. 计算 (𝑋𝑇𝑋)−1（如果可能）。
5. 计算 𝛽=(𝑋𝑇𝑋)−1𝑋𝑇𝑦。