二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

• 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
• 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
• 它的左右子树也分别为二叉搜索树

如下图：
int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};

二叉搜索树的性质

1. 二叉搜索树是的中序遍历是有序的！对于上图中序遍历的结果就是
   [1,3,4,6,7,8,10,14,13] 有序序列

2.二叉搜索树只支持增删查,不支持修改

由于插入和删除操作都必须先查找，所以查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能；
但是，对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。
但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同
可能得到不同结构的二叉搜索树：

查找时间复杂度：左边O(logN)，右边O(N)；

二叉搜索树的模拟实现

封装框架

封装节点信息

template<class K>
struct BSTreeNode //二叉搜索树封装的节点信息
{BSTreeNode<K>* _left;BSTreeNode<K>* _right;K _key;BSTreeNode(const K& key):_left(nullptr),_right(nullptr),_key(key){ }
};

封装树的信息；

template<class K>
class BSTree
{typedef BSTreeNode<K> Node;
private:Node* _root = nullptr;
}

添加操作

插入一个节点，需要和当前节点进行比较
如果插入节点小于当前节点的值，则向左走；
如果插入节点大于当前节点的值，则向右走；
如果插入节点等于当前节点的值，返回false；

bool insert(const K& key)//左小右大
{if (_root == nullptr)//第一次插入时的操作{_root = new Node(key);return true;}Node* cur = _root;Node* prev = nullptr;while (cur) // 不为空就一直查找合适位置{if (cur->_key < key) // 插入节点大于当前节点的值，则向右走；{prev = cur;cur = cur->_right;}	else if (cur->_key > key) // 插入节点小于当前节点的值，则向左走；{prev = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_key == key) // 插入节点等于当前节点的值，返回false；return false;}// 到根的时候确定是根的左孩子还是右孩子cur = new Node(key);if (prev->_key > key)prev->_left = cur;elseprev->_right = cur;return true;
}

查找操作

bool Find(const K& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else{return true;}}return false;
}

删除操作

1. 删除节点没有孩子节点；
直接删除，不做处理

2. 删除节点只有左孩子节点；
该节点被删除后,将该节点的左孩子连接到该节点的父亲节点

3. 删除节点只有右孩子节点；
该节点被删除后,将该节点的左孩子连接到该节点的父亲节点

bool Erase(const K& key)
{Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){// 寻找需要删除节点的位置if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{if (cur->_left == nullptr){	//左为空if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_right;}else{parent->_right = cur->_right;}}delete cur;}else if (cur->_right == nullptr){	//右为空if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}}delete cur;}else{// 最后一种情况}return true;}}return false;
}

4. 删除节点左、右孩子节点均有；
使用替换法

被替换节点需要满足下列的条件

• 小于所有右子树的值
• 大于所有左子树的值

即左子树中的最右节点，右子树中的最左节点

代码·

// 右树的最小节点(最左节点)
Node* parent = cur;
Node* subLeft = cur->_right;
while (subLeft->_left)
{parent = subLeft;subLeft = subLeft->_left;
}swap(cur->_key, subLeft->_key);if (subLeft == parent->_left)parent->_left = subLeft->_right;
elseparent->_right = subLeft->_right;