为了求解级数 1 + 2 2 q + 3 2 q 2 + … 1 + 2^2q + 3^2q^2 + \ldots 1+22q+32q2+… 的和，可以使用积分再求导的方法。我们考虑如下步骤：
1. 定义函数并进行积分
我们先定义一个函数 S ( q ) S(q) S(q)：
S ( q ) = ∑ n = 1 ∞ n 2 q n − 1 S(q) = \sum_{n=1}^{\infty} n^2 q^{n-1} S(q)=n=1∑∞n2qn−1
注意，这个函数从 n = 1 n=1 n=1 开始，我们对其积分：
∫ S ( q ) d q = ∫ ∑ n = 1 ∞ n 2 q n − 1 d q \int S(q) \, dq = \int \sum_{n=1}^{\infty} n^2 q^{n-1} \, dq ∫S(q)dq=∫n=1∑∞n2qn−1dq
将积分和求和交换：
∫ S ( q ) d q = ∑ n = 1 ∞ n 2 ∫ q n − 1 d q \int S(q) \, dq = \sum_{n=1}^{\infty} n^2 \int q^{n-1} \, dq ∫S(q)dq=n=1∑∞n2∫qn−1dq
积分结果为：
∫ q n − 1 d q = q n n \int q^{n-1} \, dq = \frac{q^n}{n} ∫qn−1dq=nqn
因此，
∫ S ( q ) d q = ∑ n = 1 ∞ n 2 q n n = ∑ n = 1 ∞ n q n \int S(q) \, dq = \sum_{n=1}^{\infty} n^2 \frac{q^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} n q^n ∫S(q)dq=n=1∑∞n2nqn=n=1∑∞nqn
2. 求和并再积分
我们知道，
∑ n = 1 ∞ n q n = q ∑ n = 1 ∞ n q n − 1 \sum_{n=1}^{\infty} n q^n = q \sum_{n=1}^{\infty} n q^{n-1} n=1∑∞nqn=qn=1∑∞nqn−1
后者是几何级数的导数，几何级数为：
∑ n = 0 ∞ q n = 1 1 − q \sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q} n=0∑∞qn=1−q1
对几何级数求导：
∑ n = 1 ∞ n q n − 1 = 1 ( 1 − q ) 2 \sum_{n=1}^{\infty} n q^{n-1} = \frac{1}{(1-q)^2} n=1∑∞nqn−1=(1−q)21
所以，
∑ n = 1 ∞ n q n = q ⋅ 1 ( 1 − q ) 2 = q ( 1 − q ) 2 \sum_{n=1}^{\infty} n q^n = q \cdot \frac{1}{(1-q)^2} = \frac{q}{(1-q)^2} n=1∑∞nqn=q⋅(1−q)21=(1−q)2q
现在，我们再对这个结果进行积分：
∫ q ( 1 − q ) 2 d q \int \frac{q}{(1-q)^2} \, dq ∫(1−q)2qdq
令 u = 1 − q u = 1 - q u=1−q，则 d u = − d q du = -dq du=−dq，积分变为：
∫ 1 − u u 2 ⋅ ( − d u ) = ∫ u − 1 u 2 d u = ∫ ( 1 u − 1 u 2 ) d u \int \frac{1-u}{u^2} \cdot (-du) = \int \frac{u-1}{u^2} \, du = \int \left(\frac{1}{u} - \frac{1}{u^2}\right) \, du ∫u21−u⋅(−du)=∫u2u−1du=∫(u1−u21)du
积分结果为：
ln ∣ u ∣ + 1 u = ln ∣ 1 − q ∣ + 1 1 − q \ln|u| + \frac{1}{u} = \ln|1-q| + \frac{1}{1-q} ln∣u∣+u1=ln∣1−q∣+1−q1
3. 对积分结果求导
现在我们对这个积分结果再求导：
d d q ( ln ∣ 1 − q ∣ + 1 1 − q ) = − 1 1 − q + 1 ( 1 − q ) 2 \frac{d}{dq} \left( \ln|1-q| + \frac{1}{1-q} \right) = -\frac{1}{1-q} + \frac{1}{(1-q)^2} dqd(ln∣1−q∣+1−q1)=−1−q1+(1−q)21
化简为：
1 − ( 1 − q ) ( 1 − q ) 2 = q ( 1 − q ) 2 \frac{1 - (1-q)}{(1-q)^2} = \frac{q}{(1-q)^2} (1−q)21−(1−q)=(1−q)2q
所以，最终的和为：
q ( 1 − q ) 3 \boxed{\frac{q}{(1-q)^3}} (1−q)3q
这是级数 1 + 2 2 q + 3 2 q 2 + … 1 + 2^2 q + 3^2 q^2 + \ldots 1+22q+32q2+… 的和。
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