为了求解级数 $$1+2^{2}q+3^2{q}^2+\dots$$ 的和，可以使用积分再求导的方法。我们考虑如下步骤：

1. 定义函数并进行积分

我们先定义一个函数 $$S(q)$$：

$$S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }{n}^2{q}^{n-1}$$

注意，这个函数从 $$n=1$$ 开始，我们对其积分：

$$\int S(q)dq=\int \sum _{n=1}^{\infty }{n}^2{q}^{n-1}dq$$

将积分和求和交换：

$$\int S(q)dq=\sum _{n=1}^{\infty }{n}^2\int q^{n-1}dq$$

积分结果为：

$$\int q^{n-1}dq=\frac{q^n}{n}$$

因此，

$$\int S(q)dq=\sum _{n=1}^{\infty }{n}^2\frac{q^n}{n}=\sum _{n=1}^{\infty }n{q}^n$$

2. 求和并再积分

我们知道，

$$\sum _{n=1}^{\infty }n{q}^n=q\sum _{n=1}^{\infty }n{q}^{n-1}$$

后者是几何级数的导数，几何级数为：

$$\sum _{n=0}^{\infty }{q}^n=\frac{1}{1-q}$$

对几何级数求导：

$$\sum _{n=1}^{\infty }n{q}^{n-1}=\frac{1}{(1-q{)}^2}$$

所以，

$$\sum _{n=1}^{\infty }n{q}^n=q\cdot \frac{1}{(1-q{)}^2}=\frac{q}{(1-q{)}^2}$$

现在，我们再对这个结果进行积分：

$$\int \frac{q}{(1-q{)}^2}dq$$

令 $$u=1-q$$，则 $$du=-dq$$，积分变为：

$$\int \frac{1-u}{u^2}\cdot (-du)=\int \frac{u-1}{u^2}du=\int \left(\frac{1}{u}-\frac{1}{u^2}\right)du$$

积分结果为：

$$\ln |u|+\frac{1}{u}=\ln |1-q|+\frac{1}{1-q}$$

3. 对积分结果求导

现在我们对这个积分结果再求导：

$$\frac{d}{dq}\left(\ln |1-q|+\frac{1}{1-q}\right)=-\frac{1}{1-q}+\frac{1}{(1-q{)}^2}$$

化简为：

$$\frac{1-(1-q)}{(1-q{)}^2}=\frac{q}{(1-q{)}^2}$$

所以，最终的和为：

$$\boxed{\frac{q}{(1-q{)}^3}}$$

这是级数 $$1+2^{2}q+3^2{q}^2+\dots$$ 的和。