完全背包问题简介

在完全背包问题中，每个物品可以被选择任意次。我们通常使用动态规划来求解这个问题，定义 dp[j] 为填满容量为 j 的背包的方法数。

先遍历背包再遍历物品（排列数）

先遍历背包再遍历物品的逻辑是：对于每个容量，我们都尝试用所有的物品来填充这个容量。这会导致同样的物品组合但不同的顺序被视为不同的情况。

示例代码（伪代码）：

for j in range(1, max_capacity + 1):for item in items:if item.weight <= j:dp[j] += dp[j - item.weight]

先遍历物品再遍历背包（组合数）

先遍历物品再遍历背包的逻辑是：对于每个物品，我们尝试将它放入所有可能容量的背包中。这会导致相同的物品组合在不同的顺序下被视为相同的情况。

示例代码（伪代码）：

for item in items:for j in range(item.weight, max_capacity + 1):dp[j] += dp[j - item.weight]

具体例子解释

假设我们有一个容量为4的背包和以下物品：

• 物品A，重量为1
• 物品B，重量为2

我们初始化 dp[0] = 1，表示填满容量为0的背包只有一种方法（什么也不放）。

先遍历背包再遍历物品（排列数）

1. 容量为1：

   • 用物品A：dp[1] += dp[0] => dp[1] = 1

2. 容量为2：

   • 用物品A：dp[2] += dp[1] => dp[2] = 1
   • 用物品B：dp[2] += dp[0] => dp[2] = 2

3. 容量为3：

   • 用物品A：dp[3] += dp[2] => dp[3] = 2
   • 用物品B：dp[3] += dp[1] => dp[3] = 3

4. 容量为4：

   • 用物品A：dp[4] += dp[3] => dp[4] = 3
   • 用物品B：dp[4] += dp[2] => dp[4] = 5

最终 dp[4] = 5，这里我们得到的是排列数，因为选择顺序不同的组合被计为不同的排列。例如，A->A->B 和 B->A->A 被认为是不同的排列。

先遍历物品再遍历背包（组合数）

1. 物品A：

   • 容量为1：dp[1] += dp[0] => dp[1] = 1
   • 容量为2：dp[2] += dp[1] => dp[2] = 1
   • 容量为3：dp[3] += dp[2] => dp[3] = 1
   • 容量为4：dp[4] += dp[3] => dp[4] = 1

2. 物品B：

   • 容量为2：dp[2] += dp[0] => dp[2] = 2
   • 容量为3：dp[3] += dp[1] => dp[3] = 2
   • 容量为4：dp[4] += dp[2] => dp[4] = 3

最终 dp[4] = 3，这里我们得到的是组合数，因为相同的物品组合在不同的顺序下被认为是相同的组合。例如，A->A->B 和 B->A->A 被认为是相同的组合。

总结

• 先遍历背包再遍历物品：对于每个容量，考虑所有物品，可能的顺序不同导致排列数不同。因为每次处理背包容量时都重新遍历了所有物品，顺序的不同被认为是不同的情况。
• 先遍历物品再遍历背包：对于每个物品，考虑所有容量，组合的顺序不影响结果。因为每次处理物品时都考虑了所有可能的容量，只关注组合的种类而不关注顺序。

通过这个具体的例子，可以更直观地理解为什么不同的遍历顺序会导致不同的结果。