最长递增子序列 - LeetCode 热题 87

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今天是《LeetCode 热题 100》系列

发车第 87 天

动态规划第 7 题

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最长递增子序列
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：
输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4
示例 3：
输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1
提示：

1 <= nums.length <= 2500
-10⁴ <= nums[i] <= 10⁴

进阶：

你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log(n)) 吗?
难度：💖💖

解题方法

定义f[i]为：长度为k+1的子序列的末尾元素。下标代表了长度，值代表的是原数组中的一个值，作为子序列的末尾元素。

初始化：

f数组的长度为0，很好理解吧，不存在下标，即不存在任何长度的子序列。

遍历数组进行状态转移：

因为我们是一个数一个数地遍历的，对于当前遍历的数num，尝试把它加到目前最长子序列的末尾。
- 目前最长子序列的末尾在哪里呢？根据f的定义，最长子序列的长度就是f最大的下标加1，最长子序列的末尾元素就是f[最大的下标]
- 目前遍历的数num能不能加到目前最长子序列的末尾呢？如果num大于目前最长子序列的末尾元素f[最大的下标]，说明递增，可以加入。
- 加入之后会导致什么呢？最长子序列的长度+1了，末尾元素也改变了，变成了num。
- 最长子序列的长度变化了，怎么办呢，怎么改呢？根据f的定义，f的最大下标要加1了，说明最长子序列长度+1了，同时f[新最大下标]等于num了，因为最长子序列的尾部是当前遍历的num了。
- f数组的最大下标+1了，也填入值了，原来的f最大下标的值需要改吗？不需要，因为这个下标对应的子序列长度没变化啊，我们也不愿意将num作为它的尾部，因为num更大，不利于贪心。
如果num不能加到目前最长子序列的末尾，说明最长子序列的长度不会变化。
- 那我要num有何用？我们可以用num来替换掉其他长度的子序列的尾部啊，让它们变小点，方便后面新增的数能更小的拼接上来。
- 好，我们从头遍历f数组，不断尝试更新f[i]的尾部元素，和num取min，越小越好。
- 但是这样算法时间复杂度就变成了 $O(n^2)$ 。
- 想想我们有必要更新所有的f值吗？比如说长度为1，2，3的子序列的尾部，都能更新为更小的num。我们更新了3，还有必要更新1，2吗？更新了也不会导致子序列的长度变长，就算后面有数拼接上来，我们也是选择拼接在长度为3的子序列上啊，因为贪它更长啊。
- 所以我们选择更新最后一个能更新的，之前的不用考虑了。
- 如何找到最后一个能更新的位置呢？这显然和我们的lowerbound方法不谋而合。使用二分的方法，以 $O (l o g n)$ 的时间复杂度迅速找到最后一个能将尾部更新为num的f数组下标，更新之。
  - 为什么能用二分呢？eeee因为f数组是递增的。

返回值：根据f的定义，最长子序列的长度就是f的最大下标+1，即f数组的长度。

Code

class Solution {public int lengthOfLIS(int[] nums) {List<Integer> f = new ArrayList<>();for (int num : nums) {if (f.isEmpty() || num > f.get(f.size() - 1)) {f.add(num);} else {int l = lowerbound(f, num);f.set(l, num);}}return f.size();}public int lowerbound(List<Integer> f, int num) {int l = 0, r = f.size() - 1;while (l <= r) {int mid = (l + r) / 2;if (f.get(mid) >= num) {r = mid - 1;} else {l = mid + 1;}}return l;}
}