二分查找知识点及练习题

知识点讲解

一、没有相同元素查找

请在一个有序递增数组中（不存在相同元素），采用二分查找，找出值x的位置，如果x在数组中不存在，请输出-1！

输入格式

第一行，一个整数n，代表数组元素个数（n <= 600000）

第二行，n个数，代表数组的n个递增元素（1<=数组元素值<=2000000）

第三行，一个整数x，代表要查找的数（0<=x<=2000000）

输出格式

按题意输出位置或者-1。

输入/输出例子1

输入：

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

输出：

【分析】：当我们要从一个序列中查找一个元素的时候，最快想到的方法就是顺序查找法（即：从前到后依次查找）。但这种方法过于无脑，就是暴力的把每个元素都排查一遍。元素个数少的时候还行，一旦元素个数多起来，效率非常低下。

分查找法也称折半查找法，它充分利用了元素间的次序关系，采用分治策略，可在最坏的情况下用O(log2n)完成查找任务。

它的基本思想是，先把n个元素从小到大排序，然后取a[n/2]与欲查找的x作比较，如果x=a[n/2]则找到x，算法终止。如果x＜a[n/2]，则我们只要在数组a的左半部分继续搜索x。如果x＞a[n/2]，则我们只要在数组a的右半部分继续搜索x，直到查找成功或查找完毕为止。

以下是二分查找的查找过程图示：

二分查找的算法框架一如下：

left=1;right=n;while(left<=right){mid=(left+right) / 2;if (x==a[mid]){ printf("%d",mid)}//查找成功，输出mid的值并结束;if (x>a[mid]) left=mid+1;//往数组的右边找if (x<a[mid]) right=mid-1;//往数组的左边找}
printf("查找不成功")//输出“查找不成功”

在查找过程中我们每次把查找的范围缩小了一半，在最坏情况下查找log2n次就可以得到结果。

注意：

1．二分查找是在数据有序的情况下才能完成，即进行二分查找前数据必须先排序。上述框架是以数据已从小到大排序为前提条件的。

2．这里可能解的范围为[left,rigth],当x＞a[mid]时，x如果存在的话应该是在数组的[mid+1,right]中，此时的left改为mid+1，而不是mid；同理，当x＜a[mid]时，x如果存在的话应该在数组的[left,mid-1]里，此时的right应该改为mid-1，而不是mid。

二分查找的算法框架二如下：

left=0;right=n+1;while(left+1<right){mid=(left+right) / 2;if (x==a[mid]){ printf("%d",mid);}//查找成功，输出mid的值并结束;if (x>a[mid]) left=mid;//往数组的右边找if (x<a[mid]) right=mid;//往数组的左边找}printf("查找不成功");//输出“查找不成功”

二、有相同元素的查找

1、求左侧边界：

这样就引申出一个问题：如何二分查找求左侧边界。当查找的数字v存在时，得到它出现的第一个位置，假如不存在，就得到比它大的第一个数的位置。

这样只要把二分查找修改一下：

为了查找方便，我们在数组a[0]处插入一个最小的数-1，在a[n+1]处插入一个无穷大数，left指向0，right指向n+1，这样解空间为（left,right]。

1、情况a[mid]>=v时：right=mid(至少已经找到一个，或者mid可能已经是比v大的数中最小的一个，或者左边可能还有比v大的，因此区间变成（left,mid]。）

2、情况a[mid]<v时；left=mid，也就是解只可能在右边。

例如：

-1 2 3 5 6 7 7 8 10000000 中查找v=7

第一轮：left=0,right=9,解空间为(0,9]那么mid=(0+9)/2=4,因为a[4]=6<7,那么left=mid=4,解空间应该是(4,9]。

第二轮left=4,right=9, mid=(4+9)/2=6 ,因为a[6]=7==7,那么right=6,也就是解空间为（4,6]。

第三轮 left=4,right=6, mid=(4+6)/2=5 ,因为a[5]=7==7,那么right=5,也就是解空间为（4,5]。

因为解空间只有一个解，所以解为下标5，所以left+1==right为程序结束条件。

【求下界核心程序如下】：

a[n+1]=1000000000;a[0]=-1;int findleft(int left,int right,int value)//调用时left=0,right=n+1{while(left+1<right)  //如果解区间不止一个，那么继续二分{int mid=(left+right)/2;  //取中间值if(a[mid]>=value)//如果找到一个等于或者大于value的数，解空间为(left,mid]right=mid;elseleft=mid; //如果找到一个小于value的数，解空间为(mid,right]}return right;}

2、求右侧边界

如何二分查找求右侧边界。当查找的数字v存在时，得到比它大的第一个数的位置。

方法如下：

为了查找方便，我们在数组a[0]处插入一个最小的数-1，在a[n+1]处插入一个无穷大数，left指向0，right指向n+1，这样解空间为（left,right]。

1、情况a[mid]>v时：right=mid(至少已经找到一个，或者mid可能已经是比v大的数中最小的一个，或者而左边可能还有比v大的，因此区间变成（left,mid]。）

2、情况a[mid]<=v时；left=mid，也就是解只可能在右边。

【求上界核心程序如下】：

a[n+1]=1000000000;a[0]=-1;int findright(int left,int right,int value)//调用时left=0,right=n+1{while(left+1<right) //如果解区间不止一个，那么继续二分查找{int mid=(left+right)/2;if(a[mid]<=value)//找到一个小于或者等于value的数，解空间为(mid,right)left=mid;elseright=mid; //如果找到一个大于value的数，解空间为(left,mid)}return right;}

拓展：另外一种二分查找形式找左侧和右侧：

根据c++的整除是求下界，那么两个相邻的数求平均数等于较小的数，也就是当求区间解时，当左区间不能满足要求时，可以让left=mid+1，跳出条件变为L<R，也就是解空间为(L,R]。

找左侧核心程序如下：

int L=0,R=n+1,mid;while(L<R){mid=(L+R)/2;if(a[mid]<x)L=mid+1;elseR=mid;}if(a[R]==x) printf("%d ",R);else printf("-1 ");

找右侧核心程序如下：

int L=1,R=n+1,mid;while(L<R){mid=(L+R)/2;if(a[mid]<= x)L=mid+1;elseR=mid;}if(a[L-1]==x) printf("%d ",L-1);else printf("-1 ");

讲完知识点，我们来看看几道习题

习题部分

进击的河流

有一个铁人三项运动员，他的弱点是就是游泳，正好他家旁边有n条流速不同的河流，他想锻炼m天。
在这m天中，他每天都有不同的体力，他只能在流速小于他体力的河流里游，不然他就会被冲到太平洋(?!!!!!!)。
他想知道每天他能在多少条河里游泳。

输入格式

第一行：n(n<=10^6)

第二行：n个数，分别表示n条河流的流速

第三行：m(m<=10^6)

接下来有m行，分别表示m天中运动员不同的体力

输出格式

m行，分别表示运动员m天里每天他能在多少条河里游泳

输入/输出例子

输入：

10
1 1 1 2 2 2 2 3 4 4
5
3
2
5
4
1

输出：

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k,a[10000005],x;
int main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);cin>>k;while(k--){scanf("%d",&x);int l=0,r=n+1,m=0;while(l+1<r){m=(l+r)/2;if(a[m]<x)l=m;else r=m;}cout<<r-1<<"\n";}return 0;
}

生死狙击

小飞最近迷上了一个叫生死狙击的游戏。不过他的技术并不好，假设他的战斗力是•x。不过，他的战斗力是由心情来定的，每天都不同。现有一群(1<=n<=100000)也是玩生死狙击的朋友，他们也有战斗力。小飞想找一些比自己强的人玩，提高自己的战斗力，如：小烨，小祖，小明等。
小飞一共玩了m天，假设其他人的战斗力不变。问：小飞每天可以找到多少比自己强的人。

输入格式

第一行输入一个n，表示有n个朋友；(1<=n<=100000)
第二行输入n个朋友的战斗力；每个朋友战斗力不超过longint;（已有序）；
第三行输入一个m，表示有m天；(1<=m<=100000)
接下来m行，表示小飞每天的战斗力；小飞战斗力不超过longint;

输出格式

共m行，每一行小飞每天找到的人数；

输入/输出例子

输入：

输出：

5
3
0

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,k,a[10000005],x;
int main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);cin>>k;while(k--){scanf("%lld",&x);long long l=0,r=n+1;while(l+1<r){long long m=(l+r)/2;if(x>=a[m])l=m;else r=m;}printf("%lld\n",n-r+1);}return 0;
}

选人

在一条坐标轴上，有Ｎ头奶牛，第i头奶牛的位置是Xi。FJ现在要选出三头奶牛去比赛，不妨假设选择了奶牛a,b,c。那么必须要满足：

1、Xa < Xb < Xc。

2、 Xb-Xa <= Xc - Xb <= 2 * (Xb - Xa)。

你的任务是计算，FJ总共有多少种不同的选择？

输入格式

第一行，一个整数N。 3 <= N <= 1000。接下来有N行，第i行是整数Xi。

输出格式

一个整数。

输入/输出例子

输入：

输出：

样例解释

可以有4种不同的选择，每种选择对应的3头奶牛的坐标是： {1，3，7} {1，4，7} {4，7，10} {1，4，10}

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,s,q[10000000],t,m,ans,ans2,l,r;
int main()
{scanf("%lld",&n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&q[i]);sort(q+1,q+1+n);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=i+1;j<=n;j++){int l=0,r=n+1,m;while(l+1<r){m=(l+r)/2;if(q[j]-q[i]>q[m]-q[j])l=m;else r=m;}ans=l;l=0,r=n+1;while(l+1<r){m=(l+r)/2;if(q[m]-q[j]>2*(q[j]-q[i]))r=m;else l=m;}ans2=l;t+=ans2-ans;}}cout<<t;return 0;
}

能不能留下关注和点赞........

安慰一下啥也不会的小学生..........