力扣174题动态规划:地下城游戏(含模拟面试)

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在本篇文章中,我们将详细解读力扣第174题“地下城游戏”。通过学习本篇文章,读者将掌握如何使用动态规划来解决这一问题,并了解相关的复杂度分析和模拟面试问答。每种方法都将配以详细的解释和图解,以便于理解。

问题描述

力扣第174题“地下城游戏”描述如下:

给定一个二维的地下城,其中每个格子代表勇士的血量增减。勇士从左上角出发,需要到达右下角的公主所在的格子。勇士在任何时候的血量都不能小于1。请你计算出勇士初始需要的最小血量。

示例 1:

输入: 
[[-2, -3, 3],[-5, -10, 1],[10, 30, -5]
]
输出: 7
解释: 最少需要7点血量到达右下角,从而确保在任何时候血量都不低于1。

解题思路

方法:动态规划
  1. 初步分析

    • 从右下角到左上角进行动态规划,计算每个位置的最小血量需求。
    • 使用一个二维数组 dp,其中 dp[i][j] 表示从位置 (i, j) 出发到达终点所需的最小初始血量。
  2. 步骤

    • 初始化 dp 数组,大小为地下城数组的大小。
    • 从右下角开始,逆向计算每个位置的最小初始血量。
    • 逐步更新 dp 数组,直到计算出左上角的最小初始血量。
代码实现
def calculateMinimumHP(dungeon):if not dungeon or not dungeon[0]:return 0m, n = len(dungeon), len(dungeon[0])dp = [[0] * n for _ in range(m)]dp[-1][-1] = max(1, 1 - dungeon[-1][-1])for i in range(m - 2, -1, -1):dp[i][-1] = max(1, dp[i + 1][-1] - dungeon[i][-1])for j in range(n - 2, -1, -1):dp[-1][j] = max(1, dp[-1][j + 1] - dungeon[-1][j])for i in range(m - 2, -1, -1):for j in range(n - 2, -1, -1):min_health_on_exit = min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1])dp[i][j] = max(1, min_health_on_exit - dungeon[i][j])return dp[0][0]# 测试案例
dungeon = [[-2, -3, 3],[-5, -10, 1],[10, 30, -5]
]
print(calculateMinimumHP(dungeon))  # 输出: 7
图解

假设输入为:

[[-2, -3, 3],[-5, -10, 1],[10, 30, -5]
]

计算步骤如下:

  1. 初始化 dp 数组:
[[0, 0, 0],[0, 0, 0],[0, 0, 1]
]
  1. 填充最右列:
[[0, 0, 0],[0, 0, 6],[0, 0, 1]
]
  1. 填充最下行:
[[0, 0, 4],[0, 0, 6],[0, 0, 1]
]
  1. 计算其余位置:
[[5, 4, 4],[6, 11, 6],[1, 1, 1]
]

最终结果为 dp[0][0],即最小初始血量为 7

复杂度分析

  • 时间复杂度:O(m * n),其中 m 和 n 分别是地下城的行数和列数。需要遍历整个地下城。
  • 空间复杂度:O(m * n),需要额外的二维数组来存储每个位置的最小初始血量。

模拟面试问答

问题 1:你能描述一下如何解决这个问题的思路吗?

回答:我们需要计算勇士从左上角到达右下角所需的最小初始血量。可以使用动态规划,从右下角到左上角逆向计算每个位置的最小初始血量。通过二维数组 dp 来存储每个位置的最小初始血量,逐步更新 dp 数组,最终得到左上角的最小初始血量。

问题 2:为什么选择使用动态规划来解决这个问题?

回答:动态规划可以高效地解决最优化问题,通过将问题分解为子问题,逐步求解每个子问题的最优解,最终得到整个问题的最优解。对于地下城游戏问题,动态规划可以有效地计算每个位置的最小初始血量,确保勇士在任何时候血量不低于1。

问题 3:你的算法的时间复杂度和空间复杂度是多少?

回答:算法的时间复杂度是 O(m * n),其中 m 和 n 分别是地下城的行数和列数。需要遍历整个地下城。空间复杂度是 O(m * n),需要额外的二维数组来存储每个位置的最小初始血量。

问题 4:在代码中如何处理负值的情况?

回答:在计算每个位置的最小初始血量时,通过 max(1, dp[i + 1][j] - dungeon[i][j])max(1, dp[i][j + 1] - dungeon[i][j]) 来确保血量不低于1,无论地下城中的值是正是负。

问题 5:你能解释一下动态规划的工作原理吗?

回答:动态规划通过将问题分解为子问题,逐步求解每个子问题的最优解。对于地下城游戏问题,从右下角到左上角逆向计算每个位置的最小初始血量,逐步更新 dp 数组,最终得到左上角的最小初始血量。通过比较从右侧和下方到达当前格子的最小血量,确定当前格子的最小初始血量。

问题 6:在代码中如何确保勇士在任何时候血量不低于1?

回答:通过 max(1, dp[i + 1][j] - dungeon[i][j])max(1, dp[i][j + 1] - dungeon[i][j]) 来计算每个位置的最小初始血量,确保血量不低于1。最终得到的 dp[0][0] 即为勇士需要的最小初始血量。

问题 7:你能举例说明在面试中如何回答优化问题吗?

回答:在面试中,如果面试官问到如何优化算法,我会首先分析当前算法的瓶颈,如时间复杂度和空间复杂度,然后提出优化方案。例如,对于地下城游戏问题,可以通过优化空间复杂度,将二维数组优化为一维数组来减少空间消耗。解释其原理和优势,最后提供代码实现和复杂度分析。

问题 8:如何验证代码的正确性?

回答:通过多个测试案例验证代码的正确性,包括正常情况和边界情况。例如,测试输入为负值、正值、零值的情况,确保代码在各种情况下都能正确运行。

问题 9:你能解释一下地下城游戏问题的重要性吗?

回答:地下城游戏问题在动态规划和最优化问题中具有重要意义。通过解决这个问题,可以提高对动态规划的理解和应用能力。对于游戏开发和实际应用中的路径规划和资源分配问题,也具有重要参考价值。

问题 10:在处理大数据集时,算法的性能如何?

回答:算法的时间复杂度是 O(m * n),处理大数据集时性能较好。需要遍历整个地下城,确保算法能够高效地处理大数据集,并快速得到结果。通过优化空间复杂度,可以进一步提高性能。

总结

本文详细解读了力扣第174题“地下城游戏”,通过动态规划方法高效地解决了这一问题,并提供了详细的图解和模拟面试问答。

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