有边数限制的最短路

题目描述

给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。

请你求出从1号点到n号点的最多经过k条边的最短距离，如果无法从1号点走到n号点，输出impossible。

注意：图中可能 存在负权回路 。

输入格式

第一行包含三个整数n，m，k。

接下来m行，每行包含三个整数x，y，z，表示存在一条从点x到点y的有向边，边长为z。

输出格式

输出一个整数，表示从1号点到n号点的最多经过k条边的最短距离。

如果不存在满足条件的路径，则输出“impossible”。

数据范围

$1\le n,k\le 500,$
$1\le m\le 10000,$

任意边长的绝对值不超过10000。

输入样例：3 3 1
1 2 1
2 3 1
1 3 3输出样例：3

Solution

Bellman-Ford算法

时间复杂度 $O(nm)$, n 表示点数，m 表示边数

一般 spfa 性能比 Bellman-Ford 好，只有特殊情况下用 Bellman-Ford 算法，比如这题有边的数量的限制

1. 思路

for n 次for 所有边 a,b,wdist[b] = min(dist[b], dist[a] + w)

2. 解题代码

import java.util.*;
import java.io.*;class Main{// 稀疏图用邻接表来存储static int N = 510;static int M = 10010;// 存储所有边static Node[] e = new Node[M];// 存储距离起点的距离static int[] d = new int[N];// 备份 d 数组static int[] b = new int[N];static int idx = 1;// 初始化值static final int INF = 0x3f3f3f3f;public static void main(String[] args) throws IOException{BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));String[] s = br.readLine().split(" ");int n = Integer.parseInt(s[0]);int m = Integer.parseInt(s[1]);int k = Integer.parseInt(s[2]);for(int i = 1; i <= m; i++){s = br.readLine().split(" ");int x = Integer.parseInt(s[0]);int y = Integer.parseInt(s[1]);int z = Integer.parseInt(s[2]);e[i] = new Node(x, y, z);}bellmanFord(n, m, k);}public static void bellmanFord(int n, int m, int k){Arrays.fill(d, INF);// 起点初始化为 0d[1] = 0;// 最多 k 条边,循环限制 k 次for(int i = 0; i < k; i++){// 拷贝数组,否则会有串联问题,导致计算边的数量不准确b = Arrays.copyOf(d, N);for(int j = 1; j <= m; j++){int x = e[j].x, y = e[j].y, z = e[j].z;d[y] = Math.min(d[y], b[x] + z);}}if(d[n] > INF / 2){System.out.println("impossible");}else{System.out.println(d[n]);}}static class Node{int x, y, z;public Node(int x, int y, int z){this.x = x;this.y = y;this.z = z;}}
}