现有私募基金发行一支特殊基金产品，该基金认购人数上限不超过 30 人， 募集总金额不超过 3000W，每个投资人认购金额不定。该基金只能将募集到的钱用于投资两支股票，且要求两支股票投资金额必须相同，且每位投资人的钱只能用于投资一支股票或不投资。问如何在给定募集条件下，实现投资金额最大化。如果无法实现则返回0

解题方法

• 第1步：找到和为偶数的所有子集
• 第2步：将子集传算法计算：两子集相等
• 第3步：筛选出和值最大的结果

注意：
[1, 2, 3, 10, 5, 5], 只要求子集和为总和一半，不管哪种划分方式，都是“最优解”

a: [1, 2 10], [3, 5, 5]

b: [1, 2, 5, 5], [3, 10]

一、代码与执行结果

具体代码

1、动态规划：将列表切分成两个和值相等的子列表

import random# 动态规划：将列表切分成两个和值相等的子列表def can_partition(nums):total_sum = sum(nums)if total_sum % 2 != 0:return Falseif len(nums) == 2: if nums[0] == nums[1]:return ([nums[0]], [nums[1]], nums[0]*2)else:return Falsetarget_sum = total_sum // 2n = len(nums)# ----------------------# 初始化动态规划表 dp，其中 dp[i][j] 表示前 i 个元素中是否存在和为 j 的子集。dp = [[False] * (target_sum + 1) for _ in range(n + 1)] # 空间: O(n * target_sum)# 初始时，将 dp[0][0] 设为 True。dp[0][0] = True# 创建一个字典 index_map，用于记录每个元素在原列表中的索引。[1, 5, 11, 5] [1, 5, 5, 11]index_map = {}for i in range(n):if nums[i] not in index_map:index_map[nums[i]] = [i]else:index_map[nums[i]].append(i)# 哈希表# 使用两层循环遍历元素和目标和的可能取值，更新动态规划表 dp。# 对于每个位置 (i, j)，如果前 i-1 个元素中存在和为 j 的子集，# 或者前 i-1 个元素中存在和为 j-nums[i-1] 的子集且第 i 个元素没有被选择，# 则 dp[i][j] 为 True。for i in range(1, n + 1): # O(n)for j in range(target_sum + 1): # O(target_sum) -> O(n * target_sum)dp[i][j] = dp[i - 1][j]if j >= nums[i - 1]:dp[i][j] = dp[i][j] or dp[i - 1][j - nums[i - 1]]# 如果动态规划表中 dp[n][target_sum] 为 True，说明存在一种划分方式，将列表划分成两个和相等的子列表。# 接下来，需要找到具体的划分方式：if dp[n][target_sum]:# 初始化空列表 subset1 和 subset2_indices，subset1 用于存放第一个子列表的元素，subset2_indices 用于存放第二个子列表的索引。subset1, subset2_indices = [], []i, j = n, target_sum# 从动态规划表的右下角开始向左上角遍历，如果第 i 个元素没有被选择，则将其加入 subset1 中，同时更新目标和 j。while i > 0 and j > 0:# 如果 dp[i - 1][j] 为 True，说明第 i 个元素没有被选择，则将 i 减 1，即考虑前 i - 1 个元素。if dp[i - 1][j]:i -= 1# 如果 dp[i - 1][j] 为 False，说明第 i 个元素被选择了，则将第 i 个元素加入 subset1 中，并更新目标和 j。else:subset1.append(nums[i - 1])j -= nums[i - 1]subset2_indices.append(i - 1)  # 更新 subset2_indicesi -= 1# 最终得到的 subset2_indices 中存放的是第二个子列表的索引，根据这些索引可以得到第二个子列表 subset2。subset2_indices = set(range(n)) - set(subset2_indices)subset2 = [nums[i] for i in subset2_indices]return subset1, subset2, sum(subset1)*2else:return False# 返回两个子列表和相加的结果的两倍，表示划分成功，否则返回 False。# # Test
# nums = [1, 5, 11, 5]
# print(can_partition(nums))  # Output: ([11], [1, 5, 5])# nums = [1, 5, 5, 11]
# print(can_partition(nums))  # Output: ([11], [1, 5, 5])# nums = [1, 2, 2, 3, 4]
# print(can_partition(nums))  #  Output: ([3, 2, 1], [2, 4])

2、筛选出所有符合要求的子集

# 划分子集：筛选出所有符合要求（例如和值为偶数、至少包含2个元素等）的子集，并降序排序def subset_sums(lst):total_sum = sum(lst)Len = len(lst)if (Len <= 1) or (Len > 30) or (total_sum > 3000):return Falsedef calc_sum(subset):return sum(subset)def is_even(num):return num % 2 == 0def find_sublists(lst, start, end, path, result): # # 回溯，时间， O(2^n)''' lst：要查找子列表的原始列表start：当前递归的起始索引end：递归的结束索引（不包括在内）path：当前已构建的子列表result：包含所有符合条件的子列表的列表'''if len(path) >= 2 and is_even(calc_sum(path)) and (len(path) > 2 or path[0] == path[1]):result.append(path.copy())# 递归终止条件，当起始索引等于结束索引时，递归结束if start == end:return# 遍历从start到end的索引，每次将当前索引对应的元素添加到path中for i in range(start, end):path.append(lst[i])# 递归调用函数，将i+1作为新的起始索引，继续寻找子列表find_sublists(lst, i + 1, end, path, result)# 在递归返回后，弹出最后一个元素，以便尝试其他可能的子列表path.pop()def sort_and_remove_duplicates(lists): # # O(nlog(n))# 对每个子列表进行排序，并转换为元组以便于后续去重 sorted_lists = [tuple(sorted(sublist)) for sublist in lists]# 使用集合去除重复的子列表unique_lists = list(set(sorted_lists))# 按照子列表的和值从大到小排序整个列表unique_lists.sort(key=lambda x: sum(x), reverse=True)# 将子列表转换回列表形式并返回结果return [list(sublist) for sublist in unique_lists]def sort_sublists(lists):sorted_lists = sorted(lists, key=lambda x: calc_sum(x), reverse=True)for i in range(len(sorted_lists)):sorted_lists[i].sort()return sorted_listsresult = []find_sublists(lst, 0, len(lst), [], result)return sort_sublists(sort_and_remove_duplicates(result))

3、测试-生成模拟数据

# 生成模拟数据def split_number(number, parts):# 初始化每个部分为0parts_sum = [0] * partsremaining = number# 循环分配数字直到只剩下最后一个部分for i in range(parts - 1):# 随机分配数字，确保剩余数字可以被均分parts_sum[i] = random.randint(1, remaining - parts + i + 1)remaining -= parts_sum[i]# 最后一个部分取得所有剩余数字parts_sum[-1] = remainingreturn parts_sumdef generate_random_partitions():# 随机将 Q 两次切分成不同的 M 份# M1 和 M2 的个数分别为 1 到 10 之间，这样设置比其他方法产生的结果更加均衡，防止产生大量1M1 = random.randint(1, 10) M2 = random.randint(1, 10)Q_min = max(M1, M2)# 生成一个 30-1500 内的随机数Q = random.randint(Q_min, 1500)# 随机切分 Q 为 M1 份和 M2 份part1 = split_number(Q, M1)part2 = split_number(Q, M2)Randnumber = 30 - M1 + M2total_money = Q * 2balance = 3000 - total_moneybal = random.randint(1, balance)if Randnumber >= 1:R = random.randint(1, Randnumber)if R <= balance:part_balance = split_number(bal, R)else:part_balance = []else:part_balance = []return part1 + part2 + part_balance

4、主程序执行

if __name__ == "__main__":# 示例数据nums = [1, 5, 11, 5]# nums = [1, 5, 5, 11]# nums = [12,7,13,18]# nums = [12,8,13,18]# nums = [1,2,3,4,5,6]# nums = [2,3,4,5,6]# nums = [1,2,3,4,5]# nums = [17,3,8]# nums = [1,1]# nums = [1,2]# nums = [1, 2, 2, 3, 4]# nums = [2, 2, 2, 2, 3]print("示例数据-输入：", nums)# 模拟数据# nums = generate_random_partitions()# print("模拟数据-输入：", nums)numss = subset_sums(nums)if numss:# print("子集组合：", numss) # 子集组合，最优解只会在这些子集中产生for nums in numss:result = can_partition(nums)if result:print("输出：", result) # 和值最大的两个相等子集breakelse:print("输出：", 0)

5、输出

示例数据-输入： [1, 5, 11, 5]
输出： ([5, 5, 1], [11], 22)

具体算法过程：

二、函数关键信息

• 1、can_partition(nums)函数信息
  函数名称：can_partition
  关键参数和含义：
  nums：输入的整数列表，表示要判断是否能将其分割成两个和相等的子集。
  返回值：
  如果能将 nums 分割成两个和相等的子集，则返回一个元组 (subset1, subset2, sum(subset1)*2)，其中 subset1 和 subset2 分别为两个和相等的子集，sum(subset1)*2 为两个子集的和的两倍。
  如果不能将 nums 分割成两个和相等的子集，则返回 False。
  主要变量信息：
  total_sum：nums 列表所有元素的和。
  target_sum：total_sum 的一半，即要达到的子集的目标和。
  n：nums 列表的长度。
  dp：动态规划数组，dp[i][j] 表示前 i 个元素是否能凑出和为 j 的子集。
  index_map：字典，用于记录 nums 中每个元素的索引。
  subset1：和相等的子集之一。
  subset2_indices：和相等的另一个子集的索引。
  subset2：和相等的另一个子集。

• 2、subset_sums(lst)函数信息
  函数名称：subset_sums
  关键参数和含义：
  lst：输入的整数列表，表示要找出其中所有符合条件的子集。
  返回值：
  如果找到符合条件的子集，则返回一个列表，列表中包含所有符合条件的子集，每个子集都是一个列表。
  如果未找到符合条件的子集，则返回 False。
  主要变量信息：
  total_sum：lst 列表所有元素的和。
  Len：lst 列表的长度。
  result：存储符合条件的子集的列表。
  calc_sum(subset)：计算子集 subset 的和。
  is_even(num)：判断一个数是否为偶数。
  find_sublists(lst, start, end, path, result)：递归查找 lst 中符合条件的子集。
  sort_and_remove_duplicates(lists)：对子集进行排序和去重。
  sort_sublists(lists)：对子集列表进行排序。

三、程序设计原理

• 1、整体思路
  第1步：对于一个列表找到和为偶数的所有子集，限制子集至少包含两个元素，若只有两个元素，要求元素值大小相等。对子集和值大小进行降序排序。
  第2步：将符合要求的子集用动态规划算法进行切分，使得两子集相等，一旦找到，便终止循环，此时的结果满足和值最大
  第3步：生成模拟数据，检验算法有效性。

• 2、can_partition(nums)函数具体方法
  2.1 函数思路
  首先计算nums数组的总和total_sum，如果total_sum为奇数，则无法分割成等和子集，直接返回False。
  然后计算target_sum为total_sum的一半，问题转化为在nums数组中找到一组元素的和等于target_sum。
  使用动态规划算法，定义二维数组dp[i][j]表示在前i个元素中是否存在子集的和为j。初始化dp数组为False，表示初始状态下不存在子集的和为j。
  遍历nums数组，对于每个元素nums[i]，遍历可能的和值j（从target_sum到nums[i]），更新dp[i][j]为True，表示在前i个元素中存在子集的和为j。
  最终如果dp[n][target_sum]为True，表示存在一组子集的和为target_sum，根据dp数组回溯找出这组子集。
  2.2 回溯查找子集：
  当dp[n][target_sum]为True时，从dp数组中回溯查找这组子集。从最后一个元素dp[n][target_sum]开始，如果dp[i-1][j]为True，则说明nums[i-1]不在子集中，将i减一；否则，将nums[i-1]加入subset1中，并将j减去nums[i-1]，继续向前查找。
  通过回溯找到subset1后，将剩余的元素构成subset2。
  2.3 优化空间：
  使用了index_map来记录nums数组中每个元素的索引，避免重复计算。
  2.4 返回结果：
  如果存在分割成等和子集的方案，则返回subset1, subset2和sum(subset1)*2；否则返回False。

• 3、subset_sums(lst)函数具体方法
  3.1、 函数思路
  首先计算lst数组的总和total_sum和长度Len，如果Len小于等于1或大于30，或者total_sum大于3000，则直接返回False。
  使用回溯算法，递归地寻找符合要求的子集，即和值为偶数、至少包含2个元素。
  对找到的子集进行排序和去重操作。
  3.2、回溯算法：
  定义一个辅助函数find_sublists(lst, start, end, path, result)，其中lst为输入数组，start和end表示当前搜索范围的起始和结束位置，path为当前的子集，result为存储符合要求的子集的列表。
  在回溯过程中，如果当前子集的长度大于等于2且和值为偶数且长度大于2或者前两个元素相等，则将该子集加入结果中。
  递归搜索下一个元素加入子集或者不加入子集的情况，直到搜索完所有元素。
  3.3、排序和去重：
  对于符合要求的子集列表，首先对每个子集进行排序，然后转换为元组以便于后续去重。
  使用集合去除重复的子集。
  最后按照子集的和值从大到小排序整个列表，并将子集转换回列表形式返回结果。
  3.4、边界条件处理：
  在开始时检查输入数组的长度和总和是否满足条件，如果不满足则直接返回False。

四、复杂度分析

• 1、can_partition(nums)函数复杂度分析
  时间复杂度：程序使用了动态规划算法来解决分割等和子集问题。外层循环的时间复杂度为O(n)，内层循环的时间复杂度为O(target_sum)，其中n为nums数组的长度，target_sum为nums数组所有元素的和的一半。因此，总体时间复杂度为O(n * target_sum)。
  空间复杂度：程序使用了一个二维数组dp来保存状态，其大小为(n+1) * (target_sum+1)，因此空间复杂度为O(n * target_sum)。

• 2、subset_sums(lst)函数复杂度分析
  时间复杂度：程序使用了回溯算法来找出所有符合要求的子集，并对结果进行排序和去重。回溯算法的时间复杂度为O(2^{n)，其中n为lst数组的长度。排序和去重操作的时间复杂度为O(nlog(n))，因此总体时间复杂度为O(2}n + nlog(n))。
  空间复杂度：程序使用了递归栈来存储回溯过程中的中间结果，最坏情况下的空间复杂度为O(n)，其中n为lst数组的长度。

• 3、整体复杂度
  can_partition 函数的时间复杂度是O(n * target_sum)，空间复杂度也是O(n * target_sum)。subset_sums 函数的时间复杂度是O(2^n + nlog(n))，空间复杂度是O(n)。
  在整个代码块中，首先调用 subset_sums(nums) 函数得到子集组合 numss，这一步的时间复杂度是 subset_sums 的时间复杂度，即O(2^n + nlog(n))。
  然后，对于 numss 中的每个子集，调用 can_partition(nums) 函数，这一步的时间复杂度是O(n * target_sum)。由于 numss 中可能有多个子集，所以整个过程中需要执行多次 can_partition 函数。
  综上所述，整个代码块的总时间复杂度取决于两个函数中较大的那个复杂度，即O(2^n + n*log(n))，空间复杂度为O(n * target_sum)。