现代信号处理12_谱估计的4种方法（CSDN

现代信号处理12_谱估计的4种方法（CSDN_20240602）

Slepian Spectral Estimator(1950)

做谱估计的目标是尽可能看清楚信号功率谱在某一个频率上的情况，假设我们想了解零频时的分布，最理想的情况是滤波器的传递函数H(ω) 是一个冲激函数，这样就没有旁瓣，也就没有泄漏；其次，主瓣宽度为零，分辨率极好。然而在现实中，理想的冲激函数是无法实现的，所以，只能允许H(ω) 有一定通带（假设为-βπ,βπ ）。另外，由于滤波器是有限长度的，所以H(ω) 不可避免地会有泄漏，但我们可以要求泄漏尽可能地小，即做下面的优化

时，有最优解，其中U是矩阵B的特征向量，而h正是B最大特征值对应的那个特征向量。

小结

与传统的周期图谱估计方法相比，Slepian Spectral Estimator将着眼点转移到要观察的频率点附近，其目标是，设计一个对信号功率谱进行估计的滤波器，希望信号通过滤波器后，想要的频谱分量能够有效保存下来，而无关的谱分量尽可能被抑制。这种估计存在的问题：

仅考虑滤波器自身的响应，而没有考虑信号，不同的信号通过滤波器会有不同的表现，特别是随机信号会特别复杂。这种谱分析是信号无关的，不管信号是什么样的，都使用同一个滤波器进行估计。
没有用到统计的观念，所有的信息都是确定的，只依赖于频带的宽度。然而对随机信号进行谱估计是，不能不用到统计。

Capon Spectral Estimator (1969)

与一般谱估计的对比

小结

传统的谱分析：为了获得信号在某个频率点上能量情况，就极大化信号在这个频率点上的响应，Slepian方法就是典型代表：在要分析的频率的附近划一个区域，然后极大化信号在这个区域上的响应，尽可能抑制其它频率的响应。而Capon方法的思路是，在要观察的频率点上给定一个约束条件，使信号在这个频率上的响应得到保证，然后在此基础上提出新的要求：极小化信号在其它频率的响应。

MUSIC（Multiple Signal Classification）

MUSIC

至此，我们可以看到MUSIC方法至少在3个方面进行了创造性的工作：

·1. 对Y求相关阵，充分考虑了噪声

·2. 在解方程很困难的情况下，放弃了直接求解方程的方法，而是分析等式两端的秩，这样虽然不能完全得到方程的解，但是我们感兴趣的信息（信号频率）可以得到。

·3. 得到了信号子空间和方向矢量构成的子空间相同，进而得到方向矢量张成的子空间与噪声子空间正交的结论，这也是MUSIC方法的核心所在。

小结

MUSIC方法提出了“超分辨率”的理念，首次呈现了分辨率极高的谱图。在之前的谱分析中，分辨率取决于信号的长度，信号越长，分辨率越高。而在MUSIC方法中，分辨率和信号长度没有太大关系，以很短的数据就可以获得很高的分辨率，能得到这种效果的原因主要有2个：

·1. MUSIC是一种非线性方法，它脱离了过去用线性滤波提取频率分量的传统路线，因此它达到的水平是Slepian和Capon等方法无法相比的。

·2. MUSIC得到的是一种“伪谱”，谱峰的位置代表信号的频率，但高度并不代表信号在这个频率上的能量大小，而且这种方法也没有给出谱峰高度与信号能量之间的关系。

MUSIC谱是一种“伪谱”，只反映了方向矢量与噪声子空间之间的正交关系的良好程度。在理想情况下，它们之间应该是严格正交的，但是因为噪声的存在，谱图只反映了它们之间关系的一种估计。

在上面的5步中，最困难的是第3步，因为有些时候无法准确地对特征值分组，如果分组不准，会对MUSIC性能造成致命的影响，因为特征分组错误，就意味着子空间估计错误，信号频率分量的个数也会估计错误。因此MUSIC是一种很脆弱的方法，这种方法对信噪比的要求特别高，只有在高信噪比的条件下，才能准确估计子空间的维数。在信噪比的条件下，周期图估计效果比较好，通常我将MUSIC和周期图两种方法结合使用：先用周期图法确定信号个数，然后在用MUSIC方法获取信号频率分量准确位置。

ROOT MUSIC

Min-Norn MUSIC

MUSIC的核心是方向矢量子空间与噪声子空间正交。从正交性出发，容易导致“伪峰”的出现。因为在寻找正交点的过程中，频率点在整个频率轴上滑动，方向矢量与噪声子空间的关系在不断变换，在某一频点两者正交时，我们判定这个频点就是我们希望得到的频点之一，即这个频点包含在信号中。然而我们仅仅知道正交时，该频点在信号中，那么不正交时有什么意义呢？或者说两者之间的夹角的大小有什么意义呢？两者之间的夹角为89度时是不是比60度更像信号呢？MUSIC方法并没有给出上面问题的答案。

那么能不能构造一种新的方法，既能利用MUSIC带来的超分辨率，又能引入误差的概念，作为频点与信号符合程度的判定依据呢？答案就是使用Min-Norm MUSIC方法。

小结

MUSIC方法最核心的思想是：方向矢量张成的子空间和信号矢量张成的子空间是同一个子空间，判断2个子空间是否相同时很困难的，尤其是两个子空间对应的基不相同的时候。在这里，信号子空间的基使彼此正交的，但是方向子空间的基并不正交，为了得到信号频率的信息，必须让两个子空间产生关系，所以前面提出了很多必要条件，Min-Norm MUSIC 对谱峰的高度做出了解释。