用贪心算法计算十进制数转二进制数(小数部分)

在上一篇博文用贪心算法计算十进制数转二进制数(整数部分)-CSDN博客中,小编介绍了用贪心算法进行十进制整数转化为二进制数的操作步骤,那么有朋友问我,那十进制小数转二进制,可以用贪心算法来计算吗?我研究了一下,发现也是可以用的,下边介绍一下操作步骤。

目录

一、乘2正向取整法

二、十进制小数转化为二进制小数的数学原理

三、贪心算法

1、贪心算法简介

2、操作步骤

3、结论


一、乘2正向取整法

在介绍贪心算法之前,还是先介绍一下常用的计算方法,就是“乘2取整”法。

这种方法就是把十进制的小数部分乘2,并记录得到的积的整数部分,把积的整数部分减掉,再把积的小数部分进行乘2,并记录得到的积的整数部分,依次乘2取整,直到乘2后得到的积为1,也就是整数部分为1,小数部分为0时,转化完成。转化完成后,从上往下(正向)依次把整数部分排列起来,就是转化后的二进制小数。

图1 乘2取整法

注意,并不是所有的十进制小数都能精确地转化为二进制小数。如果出现乘2后的积一直不为1的情况时,此十进制小数就不能精确转化为二进制小数,只能无限接近。

例如,十进制小数0.15就无法精确地转换为二进制,转化的结果为0.001001100110011……循环不尽,无法得到精确转化值。

二、十进制小数转化为二进制小数的数学原理

通过观察图1,可以看出:

0.6875=1\times 2^{-1}+0\times 2^{-2}+1\times 2^{-3}+1\times 2^{-4}                                       (1)

一般的表达式为:

   a=\sum_{i=1}^{i=n}\left ( c_{i}\ast 2^{-i} \right ),c_{i}\in \left \{ 0,1 \right \}                                                              (2)

十进制小数转化为二进制小数的过程就是把系数c_{i}i=1i=n(从最高位到最低位)的排列。   

在(1)式中,c_{1}=1,c_{2}=0,c_{3}=1,c_{4}=1,所以\left ( 0.6875 \right )_{10}=\left ( 0.1011 \right )_{2}

如果把(1)式中的系数 c_{_i}=0 的项去掉,那么有

0.6875=1\times 2^{-1}+1\times 2^{-3}+1\times 2^{-4}                                           (3)

也就是把十进制小数转换为二进制小数的过程,实际上就是把十进制小数转换为若干个以2为底的幂运算之和,那么一般表达式为:

a=\sum_{i=0}^{i=m}2^{-n_{i}}                                                                       (4)

在(3)式中,n_{0}=1,n_{1}=3,n_{2}=4。也就是在十进制小数0.6825转换为二进制小数后,数位序号为1,3,4的项系数为1,其他项系数都为0(数位序号从左向右依次增1,最低位序号为1),如表1所示,表格中橙色项系数为1,白色项系数为0。

表1 十进制小数0.6875的二进制转换结果
位序号1234
位权重1/21/41/81/16
项系数1011
二进制数1011

三、贪心算法

那么如何快速计算出(4)式的n_{i}呢?与十进制整数转化二进制数类似,也可以用贪心算法进行计算。

1、贪心算法简介

贪心算法(又称贪婪算法)是指,在对问题求解时,总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说,不从整体最优上加以考虑,他所做出的是在某种意义上的局部最优解。

2、操作步骤

假设十进制数为a,根据公式(4),用贪心算法思维进行十进制小数转二进制小数计算的步骤为:

(1)先找出a中最大的那一项2^{-n_{i}},并记录n_{i}

(2)把最大项的值从​​​​​​​a中减掉:a=a-2^{-n_{i}}

(3)跳转到步骤(1)循环计算,直到​​​​​​​a=0a\leqslant给定极小值,计算结束。

为了人工计算更直观,我们通常把2^{-n_{i}}写为小数形式0.5,0.25,0.125,0.0625,0.03125

因此(1)式右边的指数形式转化为小数形式

0.6825=1\times 0.5+0\times 0.25+1\times0.125+1\times 0.0625                              (5)

同样,可以把(3)式改写为:

0.6825=1\times 0.5+1\times0.125+1\times 0.0625                                        (6)

下边以十进制小数a=0.6875转化为二进制小数为例,介绍贪心算法的计算步骤:

(1)找出0.6875中最大的项为0.5,也就是2^{-1},记录n_{0}=1

(2)a=0.6875-0.5=0.1875

(3)找出0.1875中最大的项为0.125,也就是2^{-3},记录n_{1}=3

(4)a=0.1875-0.125=0.0625

(5)找出0.0625中最大的项为0.0625,也就是2^{-4},记录n_{1}=4

(6)a=0.0625-0.0625=0,计算结束;

计算的结果为:0.6875=0.5+0.125+0.0625=2^{-1}+2^{-3}+2^{-4}

二进制小数位序号为1,3,4的项为1,其他位序号的项为0,计算结果为\left ( 0.6875 \right )_{10}=\left ( 0.1011 \right )_{2}

3、结论

对比乘2取整法和贪心法,可以发现,对于可以转化为精确二进制小数的情况来说,贪心算法计算量少,准确率较高,不容易算错,也更直观,更好理解和记忆,但是需要我们事先记住一些常用的2^{-n}的值,这样才有助于我们更快找出最大项。表2为1\leqslant n\leqslant 52^{-n}的值。

表2 常用2为底幂的值

2^{-n}2^{-1}2^{-2}2^{-3}2^{-4}2^{-5}
0.50.250.1250.06250.03125

(本文结束)

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