数据结构与算法笔记：基础篇 - 栈：如何实现浏览器的前进和后退功能？

概述

浏览器的前进、后退功能，你肯定很熟悉吧？

当依次访问完一串页面 a-b-c 之后，点击浏览器的后退按钮，就可以查看之前浏览过的页面 b 和 a。当后退到页面 a，点击前进按钮，就可以重新查看页面 b 和 c。但是，如果你后退到页面 b 后，点击新的页面 d，那就无法再通过前进、后退功能查看页面 c 了。

假设你是浏览器的开发工程师，你会如何实现这个功能呢？

这就要用到本章讲的 “栈” 这种数据结构了。

如何理解 “栈”？

关于 “栈”，有一个非常贴切的例子，就是一摞叠在一起的盘子。我们平时放盘子时，都是从下往上一个一个的放；取的时候，也是从上往下一个一个地依次取，不能从中间任意抽出。后进者先出，先进者后出，这就是典型的 “栈” 结构。

从栈的操作特性上来看，栈是一种 “操作受限” 的线性表，只允许在一端插入和删除数据。

第一次接触这种数据类型时，我对它存在的意义产生了很大的疑惑。因为我觉得，相比数组和链表，栈给我的只有限制，并没有任何优势。那我直接使用数组或链表不就好了吗？为什么还要用这个 “操作受限” 的 “栈” 呢？

事实上，从功能上来说，数组或链表确实可以替代栈，但你要知道，特定的数据结构是对特定场景的抽象，而且，数组或链表暴露了太多的接口，操作上的确灵活，但使用时就比较不可控，自然也就容易出错。

当某个数据集合只涉及在一端插入和删除数据，并且满足后进先出、先进后出的特性，这是应该首选 “栈” 这种数据结构。

如何实现一个 “栈”？

从刚才栈的定义里，我们可以看出，栈主要包含两个操作，入栈和出栈，也就是在栈顶插入一个数据和从栈顶删除一个数据。理解了栈的定义后，我们来看下如何用代码实现一个栈。

实际上，栈既可以用数组来实现，也可以用链表来实现。

用数组实现的栈，我们叫做顺序栈。
用链表实现的栈，我们叫做链式栈。

这里实现一个基于数组的顺序栈。

这段代码使用 Java 来实现，但不涉及任何高级语法，并且用了中文做了详细的注释。

public class ArrayStack {private String[] items; // 数组private int count; // 栈中元素个数private int n; // 栈大小public ArrayStack(int n) {this.items = new String[n];this.count = 0;this.n = n;}// 入栈操作public boolean push(String item) {if (count == n) {// 数组空间不够了，直接返回false，入栈失败return false;}items[count] = item;count++;return true;}// 出栈操作public String pop() {if (count == 0) {// 栈为空，直接返回nullreturn null;}// 返回下标为count-1的数组元素，并且栈中元素个数减1String temp = items[count - 1];count--;return temp;}
}

了解了定义和基本操作，那它的操作时间、框架复杂度时多少呢？

不管是顺序栈还是链式栈，存储数据只需要一个大小为 n 的数组就够了。在入栈和出栈的过程中，只需要一两个临时变量存储空间，所以空间复杂度时 $O (1)$ 。

注意，这里存储数据需要一个大小为 n 的数组，并不是说空间复杂度就是 $O (n)$ 。因为，这 n 个空间是必须的，无法省掉。所以我们说空间复杂度的时候，是除了原本的数据存储空间外，算法运行还需要额外的存储空间。

框架复杂度分析是不是很简单？时间复杂度也不难。不管是顺序栈还是链式栈，入栈、出栈只涉及栈顶个人数据的操作，所以时间复杂度都是 $O (1)$ 。

支持动态扩容的顺序栈

刚才那个基于数组实现的栈，是一个固定大小的栈，也就是说，在初始化栈时需要实现制定栈的大小。当栈满之后，就无法再往栈里添加数据了。尽管链式栈的大小不受限，但要存储 next 指针，内存消耗相对较多。那我们如何基于数组实现一个可以支持动态扩容的栈呢？

还记得在数组那篇文章，是如何来支持一个支持动态扩容的数组吗？当数组空间不够时，我们就重新申请一块更大的内存，将原来数组中的数据统统拷贝过去。这样就实现了一个支持动态扩容的数组。

所以，如果要实现一个支持动态扩容的栈，我们只需要底层依赖一个支持动态扩容的数组就可以了。当栈满了之后，我们就申请一个更大的数组，将原来的数据搬移到新数组中。

在这里插入图片描述
实际上，支持动态扩容的顺序栈，我们平时开发中并不常用到。讲这个的目的，主要还是希望带你练习一下前面将的复杂度分析方法。

你不用死记硬背入栈、出栈的时间复杂度，你需要掌握的是分析方法。能够自己分析才算是真正掌握了。现在就带你一起分析一下支持动态扩容的顺序栈的入栈、出栈的时间复杂度。

对于出栈操作来说，我们不会涉及内存的重新申请和数据搬移，所以出栈的时间复杂度还是 $O (1)$ 。但是对于入栈来说，当占用有空闲空间时，入栈操作的时间复杂度是 $O (1)$ 。但当空间不够时，就需要申请内存和数据搬移，所以时间复杂度编程了 $O (n)$ 。

也就是说，对于入栈操作，最好情况时间复杂度是 $O (1)$ ，最坏情况时间复杂度是 $O (n)$ 。那平均情况下的时间复杂度又是多少呢？还记得我们在复杂度那篇文章中讲的摊还分析法吗？这个入栈操作的平均时间复杂度可以用摊还分析法来分析。正好也借此再回顾一下摊还分析法。

为了分析的方便，我们需要预先做一些假设和定义：

栈空间不够时，我们重新申请一个原来大小两倍的数组；
为了简化分析，假设只有入栈操作没有出栈操作；
定义不涉及内存搬移的入栈操作为 simple-push，时间复杂度为 $O (1)$ 。

如果当前栈大小为 k，并且已满，当再有新的数据要入栈时，就需要重新申请 2 倍大小的内存，并且做 k 个数据的搬移操作，然后再入栈。

我们将 k 个数据的搬移操作，均摊到前面 k 次的 simple-push 操作。
均摊后，每个入栈只需要一次 simple-push 操作和一次搬移操作。
也就是说，均摊后，入栈操作的均摊时间复杂度就为 $O (1)$ 。

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通过这个例子的实战分析，也印制了前面讲的，均摊时间复杂度一般都等于最好情况时间复杂度。因为在大部分情况下，入栈的操作时间复杂度都是 $O (1)$ ，只有在个别时刻才会退化为 $O (n)$ ，所以把好是多的入栈操作均摊到其他入栈操作上，平均情况下的耗时就接近 $O (1)$ 。

栈在函数调用中的应用

接下来在看栈的另一个常见的应用场景，编译器如何利用栈来实现表达式求值。

为了方便解释，我们将算术表达式简化为只包含加减乘除四则运算，比如：34+13*9+44-12/3。对于这个四则运算，人脑可以很快求接触答案，但是对于计算机来说，理解这个表达式本身就是个挺难得事儿。如果换作你，让你来实现这样一个表达式求值的功能，你会怎么做？

实际上，编译器就是通过两个栈来实现的。其中一个是保存操作数的栈，另一个是保存运算符的栈。我们从左向右遍历表达式：

当遇到数字，我们就直接压入操作数栈；
当遇到运算符，就与运算符栈的栈顶元素进行比较。
- 如果运算符比运算符栈顶元素的优先级高，就将当前的运算符压入栈；
- 如果运算符比运算符栈顶元素的优先级低或者相同，从运算符中取栈顶运算符，从操作数栈的栈顶取 2 个操作数，然后进行计算，再把计算的记过压入操作数栈，继续比较。

我们将 3+5*8-6 这个表达式的计算过程画了一张图，你可以结合图来理解上面的计算过程。
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栈在括号匹配中的应用

除了用栈来实现表达式求值，还可以借助栈来检查表达式中的括号匹配。

假设表达式中只包含三种括号，圆括号 ()、花括号 {} 和方括号 []，并且它们可以任意嵌套。比如 {[]()[{}]} 或 [{()}([])] 等都为合法格式，而 {[}()] 或 [({)] 问哦不合法格式。那我现在给你一个包含三种括号的表达式字符串，如何检查它们是否合法呢？

这里也可以使用栈来解决。用栈来保存未匹配的左括号，从左到右一次扫描字符串。当扫描到左括号时，将其压入栈中；当扫描到有括号时，从栈顶取出一个左括号。如果能够匹配，比如 ( 跟 ) 匹配，[ 跟 ] 匹配，{ 跟 } 匹配，则继续扫描剩下的字符串。如果扫描过程中，遇到不能匹配的右括号，或者栈中没有数据，则说明为非法格式。

当所有的括号都扫描完成之后，如果栈为空，则说明字符串为合法字符串；否则，说明有未匹配的左括号，为非法格式。

如何实现浏览器的前进、后退功能？

其实，用两个栈就可以完美解决。

我们使用两个栈，X 和 Y，我们把首次浏览的页面压入栈 X，当点击后退按钮时，再一次从栈 X 中出栈，并将出栈的数据依次放入栈 Y。当我们点击前进按钮时，依次从栈 Y 中取出数据，放入栈 X。当 X 中没有数据时，那就说明没有页面可以后退浏览了。当栈 Y 中没有数据，那就说明没有页面可以点击前进按钮浏览了。

比如，你顺序查看了 a，b，c 三个页面，我们依次把 a，b，c 压入栈 X，这个时候，两个栈的数据就是这个样子的。
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当你通过后退按钮，从页面 c 退到页面 a 之后，我们就一次把 c 和 b 从栈 X 中取出，并依次放入栈 Y。这个时候数据就是这样的。