1049.最后一块石头的重量II

文档讲解：代码随想录

题目链接：. - 力扣（LeetCode）

 本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。

和昨天讲解的416. 分割等和子集 (opens new window)非常像了。

本题物品的重量为stones[i]，物品的价值也为stones[i]。

对应着01背包里的物品重量weight[i]和 物品价值value[i]。

背包的容量为所有石块的重量的一半

尽量凑，找到背包中能装下的最大值，

接下来进行动规五步曲：

确定dp数组以及下标的含义

dp[j]表示容量（这里说容量更形象，其实就是重量）为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]。

可以回忆一下01背包中，dp[j]的含义，容量为j的背包，最多可以装的价值为 dp[j]。

相对于 01背包，本题中，石头的重量是 stones[i]，石头的价值也是 stones[i] ，可以 “最多可以装的价值为 dp[j]” == “最多可以背的重量为dp[j]”

 确定递推公式

01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题则是：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);

一些同学可能看到这dp[j - stones[i]] + stones[i]中 又有- stones[i] 又有+stones[i]，看着有点晕乎。

大家可以再去看 dp[j]的含义。

dp数组如何初始化

既然 dp[j]中的j表示容量，那么最大容量（重量）是多少呢，就是所有石头的重量和。

因为提示中给出1 <= stones.length <= 30，1 <= stones[i] <= 1000，所以最大重量就是30 * 1000 。

而我们要求的target其实只是最大重量的一半，所以dp数组开到15000大小就可以了。

当然也可以把石头遍历一遍，计算出石头总重量 然后除2，得到dp数组的大小。

接下来就是如何初始化dp[j]呢，因为重量都不会是负数，所以dp[j]都初始化为0就可以了，这样在递归公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);中dp[j]才不会初始值所覆盖。

遍历顺序

倒叙遍历

最后结果推导

最后dp[target]里是容量为target的背包所能背的最大重量。

那么分成两堆石头，一堆石头的总重量是dp[target]，另一堆就是sum - dp[target]。

在计算target的时候，target = sum / 2 因为是向下取整，所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的。

那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]。

class Solution:def lastStoneWeightII(self, stones: List[int]) -> int:#整个石头的重量可能不是2的倍数？，向下取整total_sum = sum(stones)target = total_sum//2dp = [0] * (target+1)for stone in stones:#注意循环的范围for j in range(target,stone-1,-1):dp[j]  = max(dp[j],dp[j-stone]+stone)##最后的返回值为什么是这样的return total_sum-2*dp[-1]

难点：怎么转化为是01背包问题

补充：

• %（取模运算符）：

  • 功能：计算两个数相除的余数。
  • 例子：7 % 3 的结果是 1，因为 7 除以 3 的余数是 1。

• /（除法运算符）：

  • 功能：计算两个数相除的商，结果是浮点数。
  • 例子：7 / 3 的结果是 2.3333333333333335，因为 7 除以 3 是 2.333...。

• //（整数除法运算符）：

  • 功能：计算两个数相除的商，结果是整数（向下取整）。
  • 例子：7 // 3 的结果是 2，因为 7 除以 3 是 2.333...，向下取整得到 2。

494.目标和 

文档讲解：代码随想录

题目链接：. - 力扣（LeetCode）

 和之前的组合总和有点像，后面对比一下

放加法的是一个集合(left)，减法是一个集合(right)

left组合 - right组合 = target。

left + right = sum，而sum是固定的。right = sum - left

公式来了， left - (sum - left) = target 推导出 left = (target + sum)/2 。(如果不能整除，说明题目中没有满足的组合)

target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来。

此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合。也就是装满容量为left的容器有多少方法

纯01背包问的是装满这个背包，它的最大价值是多少，分割等和子集问的是能不能装满这个背包，最后一块石头的重量是给我们一个背包，让我们尽量去装，而本题问的是给一个背包的容量，有多少种方法装满，这三道题都是01背包在不同层面上的应用

确定dp数组以及下标的含义

 dp[j]装满容量为j的背包有多少种方法

 确定递推公式

有哪些来源可以推出dp[j]呢？

只要搞到nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。

例如：dp[j]，j 为5，

• 已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。
• 已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。
• 已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]中方法 凑成 容量为5的背包
• 已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]中方法 凑成 容量为5的背包
• 已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]中方法 凑成 容量为5的背包

那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。

所以求组合类问题的公式，都是类似这种：

dp[j] += dp[j - nums[i]]

 dp数组如何初始化（不懂）

从递推公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递推结果将都是0。

这里有录友可能认为从dp数组定义来说 dp[0] 应该是0，也有录友认为dp[0]应该是1。

其实不要硬去解释它的含义，咱就把 dp[0]的情况带入本题看看应该等于多少。

如果数组[0] ，target = 0，那么 bagSize = (target + sum) / 2 = 0。 dp[0]也应该是1， 也就是说给数组里的元素 0 前面无论放加法还是减法，都是 1 种方法。

遍历顺序

01背包倒序遍历

class Solution:def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:total_sum = sum(nums)if (total_sum+target) %2 !=0 :return 0if abs(target)> total_sum:return 0left = (total_sum+target) // 2dp=[0] *(left+1) #装满left背包有多少方法dp[0]=1   #为什么要这样初始化？for num in nums:for j in range(left,num-1,-1):dp[j] += dp[j-num]return dp[left]

474.一和零

 文档讲解：代码随想录

题目链接：​​​​​​​​​​​​​​. - 力扣（LeetCode）

本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！

而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包。

m和n就是形容一种容器，装满这个容器最多有多少个元素就输出多少个

理解成多重背包的同学主要是把m和n混淆为物品了，感觉这是不同数量的物品，所以以为是多重背包。

但本题其实是01背包问题！

只不过这个背包有两个维度，一个是m 一个是n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。

容器有两个维度，物品也是有两个维度，x个0，和y个1，重量就是[x,y]

确定dp数组以及下标的含义

二维dp数组

dp[m][n] ：装满m个0，n个1最多背了多少个物品

 确定递推公式

两个维度，放不放当前物品（x,y）

dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-x][j-y] + 1)

 dp数组如何初始化

dp[0][0] = 0

非0下标也初始为0

遍历顺序

先遍历物品，再遍历背包，背包倒序遍历

class Solution:def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:dp = [[0 for _ in range(n+1)] for _ in range(m+1)]#遍历物品for str in strs:x = 0y = 0for char in str:if char == '0':x+=1else:y += 1#遍历背包for i in range(m,x-1,-1): #存放0的个数，如果写为0，结果会不对for j in range(n,y-1,-1):#存放1的个数dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-x][j-y]+1)return dp[m][n]