前言

前面章节补充了一下基本的线性代数中关于向量和矩阵的背景知识，这一节咱们讲解一下在二维和三维中常用的空间变换，主要包括：平移、旋转、缩放等！

正文

矩阵和向量相乘

假设有一个矩阵 $M$，有一个向量$P=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$，则令 ${\vec{P}}^{\prime }=M\times \vec{P}=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$.

从上节，我们已经知道矩阵和向量相乘结果还是个向量，假设我们把向量 $P$ 看作一个坐标，那么 $P^{\prime }$ 的坐标就是矩阵 $M$ 应用之后的结果，此时我们称对点$P$应用矩阵$M$的变换。

二维变换

假设在二维空间下，矩阵$M$ 是2x2的，向量$P=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ 是二维向量。

矩阵乘向量在二维空间本质理解： 假设我们将 $M$ 按照列方向，分解成两个列向量 $(\overrightarrow{{\alpha }_1},\overrightarrow{{\alpha }_2})$，则 $\overrightarrow{P^{\prime }}=(x\overrightarrow{{\alpha }_1}+y\overrightarrow{{\alpha }_2})$

结果表明： 矩阵和向量相乘，就相当于向量的轴分量作为权重，给矩阵的列向量加权求和！

类似的，我们也可以把矩阵按照行向量分解，也可以表达成矩阵的行向量加权相加的形式。只不过列向量分解形式更为常见！

1、缩放

缩放矩阵M如下，$S_x$ 为x轴向的缩放因子，$S_y$ 为y轴向的缩放因子。
$$\left[\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ 0& s_y\end{array}\right]$$
则$P^{\prime }=MP=\left[\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ 0& s_y\end{array}\right]\ast \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{s}_x\ast x\\ s_y\ast y\end{array}\right)$

举个例子：$M=\left[\begin{array}{cc}0.5& 0\\ 0& 0.5\end{array}\right]$ ，$P=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)$，则$P^{\prime }=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$，如下图所示：

2、旋转

默认地，正角度旋转代表逆时针，如下图所示的红色正方形，就是旋转45°

旋转矩阵 $R_{\theta }$ 如下：
$$\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

基本推导如下图：

我们使用最笨的待定系数法求解，将矩阵$R_{\theta }$ 设为 $\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]$，然后将两个点的前后结果带入计算，如下：
$$\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)，\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=>\left(\begin{array}{c}-\sin \theta \\ \cos \theta \end{array}\right)$$
所以自然得到：
$$\begin{array}{rl}A& =\cos \theta \\ B& =-\sin \theta \\ C& =\sin \theta \\ D& =cos\theta \end{array}$$

3、平移

平移就是让x轴和y轴的坐标分别偏移一定的量，如下图所示：

$$\begin{gathered} x^{\prime }=x+t_x \\ {y}^{\prime }=y+t_y \end{gathered}$$

我们记 $P=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ ，$P^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$，$T=\left(\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\end{array}\right)$ ，则上述可以表示为$\overrightarrow{P^{\prime }}=\vec{P}+\vec{T}$

但是我们发现，上述的形式没有用上矩阵，但在数学、物理中，人们都讲究统一，因此人们引入了齐次坐标的概念。

为了迎合平移也能统一使用矩阵进行变换，认为的给二维的向量添加一个维度，升为三维，如下：
$$position=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)，vector=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 0\end{array}\right)$$
我们发现，位置向量咱们第三维补充1，方向向量咱们第三维补充0。

于是，咱们自然而然就可以定义出平移矩阵T，如下：
$$\begin{gathered} T=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right] \\ 注：t_x表示x轴的偏移量，t_y表示y轴的偏移量 \end{gathered}$$
于是，针对位置点的平移、以及位置向量的平移计算结果如下：

我们发现，方向向量的结果没有变化，这难道出问题了么？并没有，因为方向向量本身就是位置无关的，不变才是对的，而针对某个顶点是变化了的，这就符合咱们的要求！

4、齐次坐标下总结

引入齐次坐标后，缩放和旋转矩阵多了一个维度，这里列举一下：

缩放矩阵：
$$S=\left[\begin{array}{ccc}{s}_x& 0& 0\\ 0& s_y& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
旋转矩阵：
$$R=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

平移矩阵：
$$T=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

三维变换

首先，由于多引入了一个维度，复杂度上升。坐标系自然而然分为两种：左手系、右手系，示意图如下：

**为了方便，后续三维空间中的矩阵变换讲解以右手系为例！**左手系也是类似，大家熟练之后可自行推导！

同理，在三维坐标系下，同样为了统一平移的操作，引入齐次坐标后，变换矩阵都是4x4的，这里不多赘述！

1、缩放

由于缩放最是容易，也最容易理解，这里直接给出缩放矩阵：
$$\begin{gathered} S=\left[\begin{array}{cccc}{s}_x& 0& 0& 0\\ 0& s_y& 0& 0\\ 0& 0& s_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right] \\ 注：s_x、s_y、s_z分别为x、y、z轴的缩放比例 \end{gathered}$$

2、平移

也是类似，这里直接给出平移矩阵：
$$\begin{gathered} T=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& t_y\\ 0& 0& 1& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right] \\ 注：t_x、t_y、t_z分别为x、y、z轴的偏移量 \end{gathered}$$

3、旋转

由于三维世界中，旋转并不是绕一个点，而是绕一个旋转轴，所以最简单的旋转就是绕：x、y、z轴的旋转。

旋转规则： 绕某个轴旋转 $\theta$ 角度，就是表明逆着此轴的方向眼睛看过去，逆时针旋转 $\theta$ 角度。

例如如下示意图就是绕z轴旋转$\theta$ 角度：

并且我们一定要理解，绕z轴转动时，所有点的z坐标是不会变化的！

这里需要对照二维空间中的旋转矩阵的理解，本质上：二维旋转就是将两个相互垂直的基向量作为坐标轴，逆时针旋转的结果

所以，上述的绕z轴的旋转，可以理解为基向量就是 $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

这里给出一个基本任意正交基向量 $\vec{i}、\vec{j}$ 的旋转示意图：

绕X轴旋转：

示意图如下：

因此，我们只是将基向量变成 $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

所以，很容易构造出以下等式：
$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta & 0\\ 0& \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right] \\ \left(\begin{array}{c}x\\ i\\ j\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ \cos \theta \ast i-\sin \theta \ast j\\ \sin \theta \ast i+\cos \theta \ast j\\ 1\end{array}\right) \end{gathered}$$

自然而然可以得出，绕x轴的旋转矩阵如下：
$$R_x=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta & 0\\ 0& \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

绕Z轴旋转：

同理，示意图：

容易构造出以下等式：
$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{cccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0& 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right] \\ \left(\begin{array}{c}i\\ j\\ z\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\cos \theta \ast i-\sin \theta \ast j\\ \sin \theta \ast i+\cos \theta \ast j\\ z\\ 1\end{array}\right) \end{gathered}$$
自然而然可以得出，绕z轴的旋转矩阵如下：
$$R_z=\left[\begin{array}{cccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0& 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

绕Y轴旋转：

Y轴相比X和Z比较特殊，也是新手初学三维空间旋转最容易困惑的地方。但在咱们这里不存在，示意图如下：

容易构造出以下等式：
$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{cccc}\cos \theta & 0& \sin \theta & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -\sin \theta & 0& \cos \theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right] \\ \left(\begin{array}{c}j\\ y\\ i\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\sin \theta \ast i+\cos \theta \ast j\\ y\\ \cos \theta \ast i-\sin \theta \ast j\\ 1\end{array}\right) \end{gathered}$$
咱们发现，这里的形式稍微较绕x和绕z不一样了

本质就是因为这里的正交基分别是：$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

自然而然可以得出，绕y轴的旋转矩阵如下：
$$R_y=\left[\begin{array}{cccc}\cos \theta & 0& \sin \theta & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -\sin \theta & 0& \cos \theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

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