力扣166题：分数到小数

在本篇文章中，我们将详细解读力扣第166题“分数到小数”。通过学习本篇文章，读者将掌握如何使用多种方法来解决这一问题，并了解相关的复杂度分析和模拟面试问答。每种方法都将配以详细的解释和ASCII图解，以便于理解。

问题描述

力扣第166题“分数到小数”描述如下：

给定两个整数，分别表示分数的分子 numerator 和分母 denominator，以字符串形式返回小数。如果小数部分是循环小数，则将循环部分括在括号内。

示例 1:

输入: numerator = 1, denominator = 2
输出: "0.5"

示例 2:

输入: numerator = 2, denominator = 1
输出: "2"

示例 3:

输入: numerator = 2, denominator = 3
输出: "0.(6)"

解题思路

方法一：模拟长除法

1. 初步分析：

   • 使用长除法模拟计算小数部分，并记录每一步余数的位置来检测循环。
   • 使用哈希表存储余数的位置，如果发现重复的余数，则表示循环节开始。

2. 步骤：

   • 处理分子和分母的符号，计算整数部分。
   • 模拟长除法计算小数部分，记录每一步余数的位置。
   • 如果发现重复的余数，则将循环部分括在括号内。

代码实现

def fractionToDecimal(numerator, denominator):if numerator == 0:return "0"result = []if (numerator < 0) ^ (denominator < 0):result.append("-")numerator, denominator = abs(numerator), abs(denominator)result.append(str(numerator // denominator))remainder = numerator % denominatorif remainder == 0:return "".join(result)result.append(".")remainders = {}while remainder != 0:if remainder in remainders:result.insert(remainders[remainder], "(")result.append(")")breakremainders[remainder] = len(result)remainder *= 10result.append(str(remainder // denominator))remainder %= denominatorreturn "".join(result)# 测试案例
print(fractionToDecimal(1, 2))  # 输出: "0.5"
print(fractionToDecimal(2, 1))  # 输出: "2"
print(fractionToDecimal(2, 3))  # 输出: "0.(6)"

ASCII图解

假设输入为 numerator = 2 和 denominator = 3，图解如下：

2 ÷ 3 = 0.6666...步骤：
整数部分: 0
小数部分:
2 * 10 = 20, 20 ÷ 3 = 6, 余数 = 2
2 * 10 = 20, 20 ÷ 3 = 6, 余数 = 2 (循环开始)结果：0.(6)

方法二：通过字符串操作

1. 初步分析：

   • 直接通过字符串操作来构建结果字符串。
   • 使用哈希表记录每个余数出现的位置，检测循环节。

2. 步骤：

   • 处理分子和分母的符号，计算整数部分。
   • 使用字符串操作计算小数部分，记录每个余数的位置。
   • 如果发现重复的余数，则将循环部分括在括号内。

代码实现

def fractionToDecimal(numerator, denominator):if numerator == 0:return "0"sign = "-" if (numerator < 0) ^ (denominator < 0) else ""numerator, denominator = abs(numerator), abs(denominator)integer_part = str(numerator // denominator)remainder = numerator % denominatorif remainder == 0:return sign + integer_partresult = [sign + integer_part + "."]remainder_map = {}while remainder != 0:if remainder in remainder_map:result.insert(remainder_map[remainder], "(")result.append(")")breakremainder_map[remainder] = len(result)remainder *= 10result.append(str(remainder // denominator))remainder %= denominatorreturn "".join(result)# 测试案例
print(fractionToDecimal(1, 2))  # 输出: "0.5"
print(fractionToDecimal(2, 1))  # 输出: "2"
print(fractionToDecimal(2, 3))  # 输出: "0.(6)"

复杂度分析

• 时间复杂度：
  • 模拟长除法方法：O(n)，其中 n 是小数部分的长度，主要消耗在余数的检测和计算上。
  • 字符串操作方法：O(n)，其中 n 是小数部分的长度，主要消耗在字符串构建和余数检测上。
• 空间复杂度：
  • 模拟长除法方法：O(n)，需要额外的哈希表空间来存储余数的位置。
  • 字符串操作方法：O(n)，需要额外的哈希表空间来存储余数的位置。

模拟面试问答

问题 1：你能描述一下如何解决这个问题的思路吗？

回答：我们需要将分数转换为小数，并检测是否存在循环小数。可以使用模拟长除法的方法，记录每一步余数的位置来检测循环。如果发现重复的余数，则表示循环节开始，将循环部分括在括号内。另一种方法是通过字符串操作直接构建结果，使用哈希表记录每个余数出现的位置，检测循环节。

问题 2：为什么要使用哈希表记录余数的位置？

回答：使用哈希表记录余数的位置可以有效检测循环小数。当发现重复的余数时，表示开始出现循环节，可以将循环部分括在括号内。这种方法可以快速确定循环节的起始位置和结束位置。

问题 3：你的算法的时间复杂度和空间复杂度是多少？

回答：模拟长除法方法的时间复杂度是 O(n)，空间复杂度是 O(n)，其中 n 是小数部分的长度。字符串操作方法的时间复杂度是 O(n)，空间复杂度是 O(n)。

问题 4：在什么情况下会出现循环小数？

回答：当分子和分母的最大公约数不为1时，且分母有质因数2或5之外的其他质因数时，分数转换为小数会出现循环小数。例如，2/3转换为小数时，会出现循环小数0.(6)。

问题 5：你能解释一下模拟长除法的方法吗？

回答：模拟长除法的方法通过逐步计算小数部分，每一步记录当前的余数位置。如果发现重复的余数，则表示开始出现循环节。将循环部分括在括号内，生成最终结果。

问题 6：如何处理分子或分母为负数的情况？

回答：首先判断分子和分母的符号，通过异或运算确定结果的符号。然后将分子和分母转换为正数，继续进行后续计算。最后将符号添加到结果字符串的开头。

问题 7：在代码中如何处理分数的整数部分和小数部分？

回答：首先计算整数部分，将整数部分添加到结果字符串中。然后计算小数部分，通过模拟长除法或字符串操作的方法逐步计算，检测循环节并构建最终结果。

问题 8：你能举例说明在面试中如何回答优化问题吗？

回答：在面试中，如果面试官问到如何优化算法，我会首先分析当前算法的瓶颈，如时间复杂度和空间复杂度，然后提出优化方案。例如，对于分数到小数问题，我会提到使用哈希表记录余数的位置，以快速检测循环节，并解释其原理和优势，最后提供代码实现和复杂度分析。

问题 9：如何验证代码的正确性？

回答：通过多个测试案例验证代码的正确性，包括正常情况和边界情况。例如，测试分数的整数部分和小数部分、前导零情况、循环小数情况等，确保代码在各种情况下都能正确运行。

问题 10：你能解释一下分数到小数转换的重要性吗？

回答：分数到小数的转换在数学计算、科学研究和工程应用中非常重要。例如，精确表示和计算分数值，确保计算结果的准确性。分数到小数的转换还用于金融和统计分析中，帮助人们更直观地理解和比较数值大小。

总结

本文详细解读了力扣第166题“分数到小数”，通过模拟长除法和字符串操作两种方法，高效地解决了这一问题，并提供了详细的ASCII图解和模拟面试问答。希望读者通过本文的学习，能够在力扣刷题的过程中更加得心应手。

参考资料

• 《算法导论》—— Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein
• 力扣官方题解