（原创文章，转载请注明出处）

博主是计算机专业大学生，不定期更新原创优质文章，感兴趣的小伙伴可以关注博主主页支持一下，您的每一个点赞、收藏和关注都是对博主最大的支持！

---

1 隐函数求导

1.1 公式

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$$

1.2 说明

$F\left(x,y\right)$在某一邻域有偏导且连续，且在点$\left(x_0,y_0\right)$有$F\left(x_0,y_0\right)=0$，$F_y\left(x_0,y_0\right)\ne 0$

1.3 例题

求由方程$x=y-sinxy$所确定的隐函数$y=f\left(x\right)$的导数$\frac{dy}{dx}$
解析：设：$F\left(x,y\right)=y-sinxy-x$
则：$F_x=-ycosxy-1$，$F_y=1-xcosxy$
结合公式可得：
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{-ycosxy-1}{1-xcosxy}=\frac{ycosxy+1}{1-xcosxy}$$

2 无条件极值

2.1 运用

主要针对二元函数$z=f\left(x,y\right)$，且邻域内有一二阶偏导

2.2 求解

（1）求一阶偏导：$f_x\left(x,y\right)$，$f_y\left(x,y\right)$，并解方程组：$\{\begin{array}{l}{f}_x\left(x,y\right)=0\\ f_x\left(x,y\right)=0\end{array}$
（2）求二阶偏导：$f_{xx}\left(x,y\right)$，$f_{xy}\left(x,y\right)$，$f_{yy}\left(x,y\right)$
（3）方程组的解即驻点，将得到的驻点值分别代入二阶偏导，得出以下值：
$f_{xx}\left(x_0,y_0\right)=A$，$f_{xy}\left(x_0,y_0\right)=B$，$f_{yy}\left(x_0,y_0\right)=C$
（4）有以下情况
① 若：$AC-B^2>0$，当$A<0$时，该点取极大值；当$A>0$时，该点取极小值
② 若：$AC-B^2<0$，则该点无极值
③ 若：$AC-B^2=0$，则该点可能有极值，可能没有极值

2.3 例题

求函数$f\left(x,y\right)=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x$的极值
解析：
一阶偏导方程组：$\{\begin{array}{l}{f}_x\left(x,y\right)=3x^2+6x-9=0\\ f_y\left(x,y\right)=-3y^2+6y=0\end{array}$
解得驻点：$\left(1,0\right)$，$\left(1,2\right)$，$\left(-3,0\right)$，$\left(-3,2\right)$
求二阶偏导：$\{\begin{array}{l}{f}_{xx}\left(x_0,y_0\right)=A=6x+6\\ f_{xy}\left(x_0,y_0\right)=B=0\\ f_{yy}\left(x_0,y_0\right)=C=-6y+6\end{array}$
在点$\left(1,0\right)$处：$AC-B^2=12\times 6>0$，又$A>0$，则该点有极小值$f\left(1,0\right)=-5$
在点$\left(1,2\right)$处：$AC-B^2=12\times \left(-6\right)<0$，该点无极值
在点$\left(-3,0\right)$处：$AC-B^2=-12\times 6<0$，该点无极值
在点$\left(-3,2\right)$处：$AC-B^2=-12\times \left(-6\right)>0$，又$A<0$，则该点有极大值$f\left(-3,2\right)=31$

3 条件极值

3.1 运用

主要针对二元函数及其多元函数，函数自变量有附加约束条件限制

3.2 求解

主要运用拉格朗日乘数法，这里以二元函数为例
（1）写出目标函数：$z=f\left(x,y\right)$
（2）写出约束条件：$\phi \left(x,y\right)=0$
（3）构造辅助函数：$L\left(x,y,\lambda \right)=f\left(x,y\right)+\lambda \phi \left(x,y\right)$（$\lambda$：拉格朗日乘数）
（4）分别对自变量和拉格朗日乘数求偏导，并列出以下方程组：
$$\{\begin{array}{l}{L}_x=f_x\left(x,y\right)+\lambda {\phi }_x\left(x,y\right)=0\\ L_y=f_y\left(x,y\right)+\lambda {\phi }_y\left(x,y\right)=0\\ L_{\lambda }=\left(x,y\right)=0\end{array}$$
（5）由此解出：$x_0$，$y_0$，$\lambda$，判定$\left(x_0,y_0\right)$是否为极值点要结合实际问题作出判定

3.3 例题

求表面积为$a^2$而体积最大的长方体体积
解析：
设：长方体的三条棱长分别为：$x$，$y$，$z$，则长方体体积，即目标函数为：
$$V=xyz$$
约束条件
$$2xy+2yz+2xz=a^2$$
构造拉格朗日函数
$$L\left(x,y,z,\lambda \right)=xyz+\lambda \left(2xy+2yz+2xz-a^2\right)$$
求偏导数
$$\{\begin{array}{l}{L}_x=yz+2\lambda \left(y+z\right)=0\\ L_y=xz+2\lambda \left(x+z\right)=0\\ L_z=xy+2\lambda \left(y+x\right)=0\\ L_{\lambda }=2xy+2yz+2xz-a^2=0\end{array}$$
解得
$$x=y=z$$
根据约束条件可得
$$x=y=z=\frac{\sqrt{6}}{6}a$$
最大体积为
$$V=\frac{\sqrt{6}}{36}{a}^3$$

4 二重积分

4.1 直角坐标下

X型区域
（1）特征：上下曲边，左右直边
（2）取值：$y_1\left(x\right)\le y\le y_2\left(x\right)$，$a\le x\le b$
（3）积分：
$${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dxdy={\int }_a^{b}dx{\int }_{y_1\left(x\right)}^{y_2\left(x\right)}f\left(x,y\right)dy$$
Y型区域
（1）特征：左右曲边，上下直边
（2）取值：$x_1\left(y\right)\le x\le x_2\left(y\right)$，$c\le y\le d$
（3）积分：
$${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dxdy={\int }_c^{d}dy{\int }_{x_1\left(y\right)}^{x_2\left(y\right)}f\left(x,y\right)dx$$

4.2 极坐标下

（1）极坐标：$\{\begin{array}{l}x=rcos\theta \\ y=rsin\theta \end{array}$
（2）范围：$0\le r\le +\infty$，$0\le \theta \le 2\pi$
（3）积分：
$${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dxdy={\iint }_D^{}f\left(rcos\theta ,rsin\theta \right)rdrd\theta ={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{r_1\left(\theta \right)}^{r_2\left(\theta \right)}f\left(rcos\theta ,rsin\theta \right)rdrd\theta$$

4.3 例题

计算：$I={\iint }_D^{}\left(1-x^2\right)d\sigma$，其中 D = { ( x , y ) ∣ 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x } D=\left\{\left(x,y\right)|0\le x\le1,0\le y\le x\right\} D={(x,y)∣0≤x≤1,0≤y≤x}
解析：
$${\iint }_D^{}\left(1-x^2\right)d\sigma ={\int }_0^{1}dx{\int }_0^{xx}\left(1-x^2\right)dy={\int }_0^1\left(1-x^2\right)xdx=\frac{1}{4}$$

5 曲线积分

5.1 第一型曲线积分

（1）一般形式
曲线$L$的方程为：$x=\phi (t)$，$y=\varphi \left(t\right)$，$\alpha \le t\le \beta$，则：
$${\int }_L^{}f\left(x,y\right)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f\left[\phi \left(t\right),\varphi \left(t\right)\right]\sqrt{{\left[\phi \prime \left(x\right)\right]}^2+{\left[\varphi \prime \left(x\right)\right]}^2}dt$$
（2）特殊形式
若$L$的方程为：$y=\phi \left(x\right)$，其中：$x\in \left[\alpha ,\beta \right]$，则：
$${\int }_L^{}f\left(x,y\right)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f\left(x,\phi \left(x\right)\right)\sqrt{1+{\left[\phi \prime \left(x\right)\right]}^2}dx$$
若$L$的方程为：$x=\varphi \left(y\right)$，其中：$y\in \left[c,d\right]$，则：
$${\int }_L^{}f\left(x,y\right)ds={\int }_c^{d}f\left(\varphi \left(y\right),y\right)\sqrt{1+{\left[\varphi \prime \left(x\right)\right]}^2}dy$$

5.2 第二型曲线积分

（1）一般形式
曲线$L$的方程为：$\{\begin{array}{l}x=\phi \left(t\right)\\ y=\varphi \left(t\right)\end{array}$，则曲线积分：
∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ α β { P ( φ ( t ) , ϕ ( t ) ) φ ′ ( t ) + Q ( φ ( t ) , ϕ ( t ) ) ϕ ′ ( t ) } d t \int_{L}^{\ }{P\left(x,y\right)dx+Q\left(x,y\right)dy}=\int_{\alpha}^{\beta}\left\{P\left(\varphi\left(t\right),\phi\left(t\right)\right)\varphi\prime\left(t\right)+Q\left(\varphi\left(t\right),\phi\left(t\right)\right)\phi\prime\left(t\right)\right\}dt ∫L ​P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫αβ​{P(φ(t),ϕ(t))φ′(t)+Q(φ(t),ϕ(t))ϕ′(t)}dt
（2）特殊形式
曲线$L$的方程为：$y=\phi \left(x\right)$，$x$在$a$和$b$之间，$x=a$，$x=b$分别对应$L$的起点和终点，则曲线积分：
$${\int }_L^{}P\left(x,y\right)dx+Q\left(x,y\right)dy={\int }_{\alpha }^{\beta }\left[P\left(x,\phi \left(x\right)\right)+Q\left(x,\phi \left(x\right)\right)\right]\phi \prime \left(x\right)dx$$

5.3 例题

（1）例题1： 求${\int }_L^{}\left(x^2,y^2\right)ds$，其中$L$为下半圆周$y=-\sqrt{1-x^2}$
解析：$L$参数方程：$\{\begin{array}{l}x=cost\\ y=sint\end{array}$其中：$\pi \le t\le 2\pi$，则：
$${\int }_L^{}\left(x^2,y^2\right)ds={\int }_{\pi }^{2\pi }\left[{\left(cost\right)}^2,{\left(sint\right)}^2\right]\sqrt{{\left(-sint\right)}^2+{\left(cost\right)}^2}dt={\int }_{\pi }^{2\pi }dt=\pi$$
（2）例题2： 计算$\frac{1}{2}{\int }_L^{}xdy-ydx$，其中$L$为从点$A\left(a,0\right)$到点$B\left(0,b\right)$的直线段，$a,b>0$
解析：直线段$\overline{AB}$的方程为$y=-\frac{b}{a}x+b$，起点$A$对应$x=a$，终点$B$对应$x=0$，则：
$$\frac{1}{2}{\int }_L^{}xdy-ydx=\frac{1}{2}{\int }_a^0\left[x\left(-\frac{b}{a}\right)-\left(-\frac{b}{a}x+b\right)\right]dx=\frac{1}{2}{\int }_a^0-bdx=\frac{1}{2}ab$$

6 格林公式

6.1 公式

$${\iint }_D^{}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy={\oint }_L^{}Pdx+Qdy$$

6.2 说明

区域$D$由光滑闭曲线$L$围成，函数$P\left(x,y\right)$，$Q\left(x,y\right)$在$D$上具有一阶连续偏导数，这里$L$是$D$的取正向的边界曲线

6.3 例题

求${\oint }_L^{}4x^{2}ydx+2ydy$，其中$L$为以$A\left(0,0\right)$，$B\left(1,2\right)$，$C\left(0,2\right)$为顶点的三角形区域的正向边界
解析：
$${\oint }_L^{}4x^{2}ydx+2ydy={\iint }_D^{}\left(0-4x^2\right)dxdy={\int }_0^1{\int }_{2x}^2\left(0-4x^2\right)dxdy=-\frac{2}{3}$$
本文为作者练习MarkDown语法和LaTeX数学公式使用，若有不妥之处，恳请读者批评指正