批处理作业调度问题 (回溯法)

一、问题解析

二、实例剖析

三、算法思路

四、代码实现

结果：

总结

前言

【问题】n 个作业{1, 2, …, n}要在两台机器上处理，每个作业必须先由机器 1 处理，再由机器 2 处理，机器 1 处理作业i所需时间为 ai，机器 2 处理作业 i 所需时间为 bi（1 ≤ i ≤ n），批处理作业调度问题（batch-job scheduling problem）要求确定这 n 个作业的最优处理顺序，使得从第 1 个作业在机器 1 上处理开始，到最后一个作业在机器 2 上处理结束所需时间最少。

一、问题解析

【想法】显然，批处理作业的一个最优调度应使机器 1 没有空闲时间，且机器 2的空闲时间最小。

存在一个最优作业调度使得在机器 1 和机器 2 上作业以相同次序完成。
由于是一种作业调度顺序的方案，因此该问题的解空间树是排列树。

二、实例剖析

例如，有三个作业{1, 2, 3}，在机器 1 上所需的处理时间为(2, 5, 4)，在机器 2上所需的处理时间为(3, 2, 1)，则存在 6 种可能的调度方案：{(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)}，相应的完成时间为{12, 13, 12, 14, 13, 16}，最佳调度方案是(1, 2, 3)和(2, 1, 3)，最短完成时间为 12。

其他情况如上类似，这里就不再赘述！！

三、算法思路

【算法】设数组a[n]存储 n 个作业在机器 1 上的处理时间，b[n]存储 n 个作业在机器 2 上的处理时间。设数组x[n]表示 n 个作业批处理的一种调度方案，其中x[i]表示第 i 个处理的作业编号，sum1[n]和sum2[n]保存在调度过程中机器 1 和机器 2的当前完成时间，其中sum1[i]表示在安排第 i 个作业后机器 1 的当前完成时间，sum2[i]表示在安排第 i 个作业后机器 2 的当前完成时间，且根据下式进行更新：

关键点：

⭐sum1[i] = sum1[i-1] + a[ x[i] ]

⭐sum2[i] = max(sum1[i], sum2[i-1]） +b[ x[i] ]

算法：回溯法求解批处理调度BatchJob

输入：n 个作业在机器 1 上的处理时间 a[n]，在机器 2 上的处理时间 b[n]

输出：最短完成时间bestTime，最优调度序列 x[n]

1. 初始化解向量 x[n] = {-1}；最短完成时间bestTime = MAX;

2. 初始化调度方案中机器 1 和机器 2 的完成时间：

sum1[n] = sum2[n] = {0}; i = 0;

3. 当 i >= 0 时调度第 i 个作业：

3.1 依次考察每一个作业，如果作业 x[i] 尚未处理，则转步骤 3.2，

否则尝试下一个作业，即 x[i]++；

3.2 处理作业 x[i]：

3.2.1 sum1[i]=sum1[i-1]+ a[x[i]]；

3.2.2 sum2[i]=max{sum1[i], sum2[i-1]}+ b[x[i]]；

四、代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>using namespace std;int bestTime = INT_MAX;
vector<int> bestSchedule;
vector<int> currentSchedule;void backtrack(vector<int>& a, vector<int>& b, vector<bool>& processed, vector<int>& sum1, vector<int>& sum2, int index, int n) {if (index == n) {if (sum2[n-1] < bestTime) {bestTime = sum2[n-1];bestSchedule = currentSchedule;}return;}for (int i = 0; i < n; i++) {if (!processed[i]) {processed[i] = true;currentSchedule[index] = i;sum1[index] = (index > 0 ? sum1[index-1] : 0) + a[i];sum2[index] = max(sum1[index], (index > 0 ? sum2[index-1] : 0)) + b[i];backtrack(a, b, processed, sum1, sum2, index + 1, n);processed[i] = false;}}
}int batchJobScheduling(vector<int>& a, vector<int>& b) {int n = a.size();vector<bool> processed(n, false);vector<int> sum1(n, 0);vector<int> sum2(n, 0);currentSchedule.resize(n);backtrack(a, b, processed, sum1, sum2, 0, n);return bestTime;
}int main() {vector<int> a = {2, 3, 1};vector<int> b = {3, 1, 2};int result = batchJobScheduling(a, b);cout << "Best processing time: " << result << endl;cout << "Best schedule: ";for (int job : bestSchedule) {cout << job << " ";}cout << endl;return 0;
}