题目描述

• 给定一个长度为n的整数数列，请你计算数列中的逆序对的数量。
• 逆序对的定义如下：对于数列的第i个和第j个元素，如果满足i<j且a[i]>a[j]，则其为一个逆序对；否则不是。
• 输入格式：
  • 第一行包含整数n，表示数列的长度。
  • 第二行包含n个整数，表示整个数列。
• 输出格式：
  • 输出一个整数，表示逆序对的个数。
• 数据范围：
  • 1≤n≤100000，
  • 数列中的元素的取值范围[1,10的9次方]。

解题代码（蛮力版）

起初解题的基本思路是：每次从序列中按照顺序取出一个元素，然后逐一比较该元素与其后方的每一个元素是否构成逆序对。这种算法是一种平方时间复杂度的算法，实现代码如下所示：

#include<cstdio>
using namespace std;const int N = 1e6 + 10;
int a[N];
int n;
int count(0);int main(void)
{scanf("%d",&n);for(int i(0);i<n;++i) scanf("%d",&a[i]);for(int i(0); i < n - 1; ++i)for(int j(i+1); j < n; ++j)if(a[i] > a[j]) count++;printf("%d",count);return 0;
}

上述代码在输入的数据量很大时运行超时，因此需要时间复杂度更低的算法。

解题代码（基于归并排序）

基于归并排序的解题代码如下：

#include<cstdio>
using namespace std;const int N(1e5 + 10);
int a[N];
int n;
int temp[N];typedef long long LL;LL merge_sort(int* a, const int& left, const int& right)
{if(left >= right) return 0;const int mid((left + right) >> 1);int i(left), j(mid + 1), k(0);LL count = (merge_sort(a, left, mid) + merge_sort(a, mid + 1, right));while(i <= mid && j <= right){if(a[i] <= a[j]) temp[k++] = a[i++];else{temp[k++] = a[j++];count += (mid - i + 1);}}while(i <= mid) temp[k++] = a[i++];while(j <= right) temp[k++] = a[j++];for(int i(0), j(left); j <= right;) a[j++] = temp[i++];return count;
}int main(void)
{scanf("%d",&n);for(int i(0); i < n; ++i) scanf("%d",&a[i]);printf("%lld",merge_sort(a, 0, n-1));return 0;
}

注意事项：

• long long数据类型的使用：上述代码中使用了long long这种数据类型，这是考虑到如果使用int会超出范围所致，分析如下：
  • 一个长度为n的序列最多含有n(n-1)/2个逆序对，当n很大时，大致为n²/2。当n的取值为题目中的上限100000时，则最多有50亿个逆序对，超过了int的表示范围（21亿多），因此需要使用比int表示范围更大的整数类型。
  • 比int类型表示范围更大的整数类型有两种，分别是long和long long。int占用四个字节，但是，long可能占有四个字节可能占用八个字节，因此其表示范围不一定比int更大，所以需要使用一定占用八个字节的long long数据类型。
  • 代码中，习惯使用typedef long long LL为long long类型进行重命名。
• 计算前后段逆序对的时间：注意需要在归并排序之前就计算原始序列的两段子序列逆序对，而不是在代码最后完成归并排序了再进行计算，这样会导致计算结果不同。