文章目录

• • @[toc]
  • 第一章：行列式
  • • 第一节|方程组与行列式
    • • 二元线性方程组和二阶行列式
    • 第二节|$n$阶行列式
    • • 排列
      • 逆序数
      • 对换
      • 例题$1$
      • $n$阶行列式
    • 第三节|行列式的性质和计算
    • • 性质$1$
      • 性质$2$：互换$n$阶行列式的任意两行（列），行列式仅改变符号
      • 推论$1$：若行列式中某两行（列）的元素对应相等，则行列式为零
      • 性质$3$
      • 推论$2$：若行列式的两行（列）的元素对应成比例，则该行列式为$0$
      • 性质$4$
      • 性质$5$：把行列式的某行（列）的各元素乘$k$后加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变
      • 例题$1$
      • 对称行列式和反对称行列式
      • 例题$2$

第一章：行列式

---

第一节|方程组与行列式

二元线性方程组和二阶行列式

• 二元线性方程组

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2=b_2\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

• 二阶行列式

$$D=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$$

• 二阶行列式$D$称为二元线性方程组（$1$）的系数行列式

---

第二节|$n$阶行列式

排列

• 由$1$，$2$，$\cdots$，$n$组成的一个有序数组称为一个$n$级排列

逆序数

• 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，则称它们为一个逆序
• 一个排列中所有逆序的总数称为该排列的逆序数
• 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列
• $n$级排列$i_1{i}_2\cdots i_n$的逆序数记为$\tau (i_1{i}_2\cdots i_n)$

对换

• 将一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列，这样一个变换称为一个对换

• 对换改变排列的奇偶性

  • 证明
    • 先考虑相邻两个数的对换，设排列$\cdots jk\cdots$经$j$，$k$对换变成排列$\cdots kj\cdots$，排列中除$j$，$k$两个数本身顺序改变外，其他数的顺序并没有改变，而$j$，$k$之间，若$j<k$，则经过对换后的排列的逆序数比原排列的逆序数增加$1$，若$j>k$，则经对换后的排列的逆序数比原排列的逆序数减少$1$，因此，对换$j$，$k$的位置改变排列的奇偶性
    • 再看一般情况，设排列$\cdots j{i}_1{i}_2\cdots i_{m}k\cdots$，经$j$，$k$对换变成排列$\cdots k{i}_1{i}_2\cdots i_{m}j\cdots$，先对原排列施行$m$次相邻两个数的对换，原排列变为$\cdots jk{i}_1{i}_2\cdots i_m\cdots$，再经过$m+1$次相邻两个数的对换，原排列变为$\cdots k{i}_1{i}_2\cdots i_{m}j\cdots$，因为相邻两个数的对换改变排列的奇偶性，共施行了$2m+1$次相邻两个数的对换，于是改变了排列的奇偶性

• 在$n(\ge 2)$级排列中，奇偶排列各占一半，即各有$\frac{n!}{2}$个

例题$1$

• 问题：求排列$n(n-1)\cdots 321$的逆序数，并讨论其奇偶性
• 解答
  • $\tau (n(n-1)\cdots 321)=(n-1)+(n-2)+\cdots +3+2+1=\frac{n(n-1)}{2}$，当$n=4k$，$4k+1$时，该排列是偶排列，当$n=4k+2$，$4k+3$时，该排列是奇排列

$n$阶行列式

$$D=\sum _{(j_1{j}_2\cdots j_n)}(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}$$

• 也可写成

$$D=\sum _{(j_1{j}_2\cdots j_n)}(-1{)}^{\tau (i_1{i}_2\cdots i_n)+\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{i_1{j}_1}{a}_{i_2{j}_2}\cdots a_{i_n{j}_n}$$

• • 证明
    • 将项$a_{i_1{j}_1}{a}_{i_2{j}_2}\cdots a_{i_n{j}_n}$经一系列元素对换排成$a_{1j_1^{{}^{\prime }}}{a}_{2j_2^{{}^{\prime }}}\cdots a_{n{j}_n^{{}^{\prime }}}$，每作一次元素对换，相应的行下标和列下标所成排列也作了一次对换，因此逆序数之和奇偶性不变，于是

$$\sum _{(j_1{j}_2\cdots j_n)}(-1{)}^{\tau (i_1{i}_2\cdots i_n)+\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{i_1{j}_1}{a}_{i_2{j}_2}\cdots a_{i_n{j}_n}=\sum _{(j_1^{{}^{\prime }}{j}_2^{{}^{\prime }}\cdots j_n^{{}^{\prime }})}(-1{)}^{\tau (j_1^{{}^{\prime }}{j}_2^{{}^{\prime }}\cdots j_n^{{}^{\prime }})}{a}_{1j_1^{{}^{\prime }}}{a}_{2j_2^{{}^{\prime }}}\cdots a_{n{j}_n^{{}^{\prime }}}$$

---

第三节|行列式的性质和计算

性质$1$

$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=D^T=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \cdots & a_{n1}\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

• 证明
  • 在$D$中位于第$i$行，第$j$列的元素$a_{ij}$在$D^T$中位于第$j$行，第$i$列

$$D^T=\left|\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b_{n1}& b_{n2}& \cdots & b_{nn}\end{array}\right|$$

• • 则有$b_{ij}=a_{ji}$（$i$，$j=1$，$2$，$\cdots$，$n$）

$$\begin{array}{rl}{D}^T& =\sum _{(j_1{j}_2\cdots j_n)}(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{b}_{1j_1}{b}_{2j_2}\cdots b_{n{j}_n}\\ & =\sum _{(j_1{j}_2\cdots j_n)}(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{j_{1}1}{a}_{j_{2}2}\cdots a_{j_{n}n}\\ & =D\end{array}$$

性质$2$：互换$n$阶行列式的任意两行（列），行列式仅改变符号

• 证明
  • 设行列式

$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{k1}& a_{k2}& \cdots & a_{kn}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

• • 交换$D$的第$i$行和第$k$行，得行列式

$$D_1=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{k1}& a_{k2}& \cdots & a_{kn}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

• • $D$中任意一项$a_{1j_1}\cdots a_{i{j}_i}\cdots a_{k{j}_k}\cdots a_{n{j}_n}$也是$D_1$中的一项$a_{1j_1}\cdots a_{k{j}_k}\cdots a_{i{j}_i}\cdots a_{n{j}_n}$，其中$a_{k{j}_k}$是$D_1$中第$i$行第$j_k$列元素，$a_{i{j}_i}$是$D_1$中第$k$行第$j_i$列元素
  • 项$a_{1j_1}\cdots a_{i{j}_i}\cdots a_{k{j}_k}\cdots a_{n{j}_n}$在$D$中的符号为$(-1{)}^{\tau (j_1\cdots j_i\cdots j_k\cdots j_n)}$，项$a_{1j_1}\cdots a_{k{j}_k}\cdots a_{i{j}_i}\cdots a_{n{j}_n}$在$D_1$中的符号为$(-1{)}^{\tau (j_1\cdots j_k\cdots j_i\cdots j_n)}$

$$(-1{)}^{\tau (j_1\cdots j_i\cdots j_k\cdots j_n)}=-(-1{)}^{\tau (j_1\cdots j_k\cdots j_i\cdots j_n)}$$

• • 因此$D=-D_1$

推论$1$：若行列式中某两行（列）的元素对应相等，则行列式为零

性质$3$

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ k{a}_{i1}& k{a}_{i2}& \cdots & k{a}_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

• 证明

$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|,D_1=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ k{a}_{i1}& k{a}_{i2}& \cdots & k{a}_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

$$\begin{array}{rl}{D}_1& =\sum _{(j_1\cdots j_i\cdots j_n)}(-1{)}^{\tau (j_1\cdots j_i\cdots j_n)}{a}_{1j_1}\cdots k{a}_{i{j}_i}\cdots a_{n{j}_n}\\ & =k\sum _{(j_1\cdots j_i\cdots j_n)}(-1{)}^{\tau (j_1\cdots j_i\cdots j_n)}{a}_{1j_1}\cdots a_{i{j}_i}\cdots a_{n{j}_n}\\ & =kD\end{array}$$

推论$2$：若行列式的两行（列）的元素对应成比例，则该行列式为$0$

性质$4$

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}+a_{i1}^{{}^{\prime }}& a_{i2}+a_{i2}^{{}^{\prime }}& \cdots & a_{in}+a_{in}^{{}^{\prime }}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}^{{}^{\prime }}& a_{i2}^{{}^{\prime }}& \cdots & a_{in}^{{}^{\prime }}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

• 证明

$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}+a_{i1}^{{}^{\prime }}& a_{i2}+a_{i2}^{{}^{\prime }}& \cdots & a_{in}+a_{in}^{{}^{\prime }}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

$$D_1=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|,D_2=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}^{{}^{\prime }}& a_{i2}^{{}^{\prime }}& \cdots & a_{in}^{{}^{\prime }}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

$$\begin{array}{rl}D& =\sum _{(j_1\cdots j_i\cdots j_n)}(-1{)}^{\tau (j_1\cdots j_i\cdots j_n)}{a}_{1j_1}\cdots (a_{i{j}_i}+a_{i{j}_i}^{{}^{\prime }})\cdots a_{n{j}_n}\\ & =\sum _{(j_1\cdots j_i\cdots j_n)}(-1{)}^{\tau (j_1\cdots j_i\cdots j_n)}{a}_{1j_1}\cdots a_{i{j}_i}\cdots a_{n{j}_n}+\sum _{(j_1\cdots j_i\cdots j_n)}(-1{)}^{\tau (j_1\cdots j_i\cdots j_n)}{a}_{1j_1}\cdots a_{i{j}_i}^{{}^{\prime }}\cdots a_{n{j}_n}\\ & =D_1+D_2\end{array}$$

性质$5$：把行列式的某行（列）的各元素乘$k$后加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变

例题$1$

• 问题：计算$n$阶行列式

$$\left|\begin{array}{ccccc}a& b& b& \cdots & b\\ b& a& b& \cdots & b\\ b& b& a& \cdots & b\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ b& b& b& \cdots & a\end{array}\right|$$

• 解法一：

$$\left|\begin{array}{ccccc}a& b& b& \cdots & b\\ b& a& b& \cdots & b\\ b& b& a& \cdots & b\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ b& b& b& \cdots & a\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc}a+(n-1)b& b& b& \cdots & b\\ a+(n-1)b& a& b& \cdots & b\\ a+(n-1)b& b& a& \cdots & b\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a+(n-1)b& b& b& \cdots & a\end{array}\right|=[a+(n-1)b]\left|\begin{array}{ccccc}1& b& b& \cdots & b\\ 0& a-b& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& a-b& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a-b\end{array}\right|=[a+(n-1)b](a-b{)}^{n-1}$$

• 解法二：

$$\left|\begin{array}{ccccc}a& b& b& \cdots & b\\ b& a& b& \cdots & b\\ b& b& a& \cdots & b\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ b& b& b& \cdots & a\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc}a& b& b& \cdots & b\\ b-a& a-b& 0& \cdots & 0\\ b-a& 0& a-b& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ b-a& 0& 0& \cdots & a-b\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc}a+(n-1)b& b& b& \cdots & b\\ 0& a-b& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& a-b& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a-b\end{array}\right|=[a+(n-1)b](a-b{)}^{n-1}$$

对称行列式和反对称行列式

• 在行列式中，若$a_{ij}=a_{ji}$，则称$D$为对称行列式

• 在行列式中，若$a_{ij}=-a_{ji}$，则称$D$为反对称行列式

• 反对称行列式中主对角线上的元素等于$0$

例题$2$

• 问题：证明奇数阶反对称行列式的值等于$0$

• 解答

• • 设$D$是反对称行列式，$D$可以写成

$$D=\left|\begin{array}{ccccc}0& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1n}\\ -a_{12}& 0& a_{23}& \cdots & a_{2n}\\ -a_{13}& -a_{23}& 0& \cdots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ -a_{1n}& -a_{2n}& -a_{3n}& \cdots & 0\end{array}\right|$$

$$D=D^T=\left|\begin{array}{ccccc}0& -a_{12}& -a_{13}& \cdots & -a_{1n}\\ a_{12}& 0& -a_{23}& \cdots & -a_{2n}\\ a_{13}& a_{23}& 0& \cdots & -a_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{1n}& a_{2n}& a_{3n}& \cdots & 0\end{array}\right|=(-1{)}^n\left|\begin{array}{ccccc}0& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1n}\\ -a_{12}& 0& a_{23}& \cdots & a_{2n}\\ -a_{13}& -a_{23}& 0& \cdots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ -a_{1n}& -a_{2n}& -a_{3n}& \cdots & 0\end{array}\right|=(-1{)}^{n}D$$

• • 因$n$为奇数，故$D=0$

---