每周一算法:传递闭包

题目描述

不等式排序

给定 n n n个变量和 m m m个不等式。其中 n n n小于等于 26 26 26,变量分别用前 n n n 的大写英文字母表示。

不等式之间具有传递性,即若 A > B A>B A>B B > C B>C B>C,则 A > C A>C A>C

请从前往后遍历每对关系,每次遍历时判断:

  • 如果能够确定全部关系且无矛盾,则结束循环,输出确定的次序;
  • 如果发生矛盾,则结束循环,输出有矛盾;
  • 如果循环结束时没有发生上述两种情况,则输出无定解。

输入格式

输入包含多组测试数据。

每组测试数据,第一行包含两个整数 n n n m m m

接下来 m m m 行,每行包含一个不等式,不等式全部为小于关系

当输入一行 0 0 0 0 0 0 时,表示输入终止。

输出格式

每组数据输出一个占一行的结果。

结果可能为下列三种之一:

  • 如果可以确定两两之间的关系,则输出 Sorted sequence determined after t relations: yyy...y.,其中t指迭代次数,yyy...y是指升序排列的所有变量。
  • 如果有矛盾,则输出: Inconsistency found after t relations.,其中t指迭代次数。
  • 如果没有矛盾,且不能确定两两之间的关系,则输出 Sorted sequence cannot be determined.

样例 #1

样例输入 #1

4 6
A<B
A<C
B<C
C<D
B<D
A<B
3 2
A<B
B<A
26 1
A<Z
0 0

样例输出 #1

Sorted sequence determined after 4 relations: ABCD.
Inconsistency found after 2 relations.
Sorted sequence cannot be determined.

提示

【数据范围】

2 ≤ n ≤ 26 2≤n≤26 2n26,变量只可能为大写字母 A ∼ Z A\sim Z AZ

算法思想

根据题目描述,有 m m m个不等式,每个不等式均为小于关系,问最终能否确定 n n n个变量从小到大的次序。例如,每个关系是 A A A 的成绩排名高于 B B B 的排名,问最终能否确定班级排名?如下图所示:

在这里插入图片描述

在交际网络中,给定若干个元素和若干对二元关系,且关系具有传递性。通过传递性推导出尽量多的元素之间的关系,这类问题被称为传递闭包

使用「Floyd」算法可以解决传递闭包问题,其基本思想是:

  • 建立邻接矩阵 d d d,其中
    • d [ i , j ] = 1 d[i,j]=1 d[i,j]=1表示 i < j i<j i<j
    • 除了 i < j i<j i<j之外的情况, d [ i , j ] = 0 d[i,j]=0 d[i,j]=0
  • 每输入一对关系时,使用Floyd算法对 d d d进行传递闭包:
    • d[i][j] |= d[i][k] & d[k][j]
  • 传递闭包完成后,若存在变量 i , j i,j i,j使得
    • d [ i , j ] d[i,j] d[i,j] d [ j , i ] d[j,i] d[j,i]均为 1 1 1,则说明题目中给出的 m m m个不等式矛盾。
    • d [ i , j ] d[i,j] d[i,j] d [ j , i ] d[j,i] d[j,i]均为 0 0 0,则说明题目中给出的 m m m个不等式不能确定每一对变量之间的大小关系。
  • 对于每一对 i , j i,j i,j d [ i , j ] d[i,j] d[i,j] d [ j , i ] d[j,i] d[j,i]有且仅有一个为 1 1 1,则说明能确定每对变量之间的大小关系。

当变量之间的大小关系确定后,如何输出排好序的序列呢?

  • 建立一个状态数组 s t st st,其中
    • s t [ i ] = 0 st[i] = 0 st[i]=0表示当前变量还未输出
    • s t [ i ] = 1 st[i] = 1 st[i]=1表示当前变量已经输出
  • 从小到大遍历所有尚未输出的变量 i i i,即 s t [ i ] = 0 st[i]=0 st[i]=0,并且对于其它尚未输出的变量 j j j,使得 d [ j , i ] d[j,i] d[j,i]均为 0 0 0,那么 i i i就是尚未输出的最小的变量。

算法时间复杂度

「Floyd」算法解决传递闭包问题的时间复杂度为 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 30;
int n, m, d[N][N]; //传递闭包矩阵
bool st[N];
void floyd()
{for(int k = 0; k < n; k ++)for(int i = 0; i < n; i ++)for(int j = 0; j < n; j ++)d[i][j] |= d[i][k] & d[k][j];
}
int check() //检查当前关系
{for(int i = 0; i < n; i ++)if(d[i][i]) return 2; //当前关系存在矛盾for(int i = 0; i < n; i ++)for(int j = i + 1 ; j < n; j ++)if(d[i][j] == 0 && d[j][i] == 0) //双向都无法确定return 0;return 1;
}
char get_min()
{for(int i = 0; i < n; i ++) //从小到大遍历{if(st[i]) continue; //如果已经输出bool flag = true;for(int j = 0; j < n; j ++) //枚举其它尚未输出的变量{if(!st[j] && d[j][i] != 0){flag = false;break;}}if(flag) {st[i] = true;return 'A' + i;}}
}
int main()
{while(cin >> n >> m, n || m){memset(d, 0, sizeof d); //将矩阵初始化为0,表示关系不确定int type = 0, p; //type表示当前变量关系是否已经确定,p表示在输入第几个不等式时确定关系的for(int i = 1; i <= m; i ++){char s[5];cin >> s;int a = s[0] - 'A', b = s[2] - 'A';if(type == 0) //关系尚未确定{d[a][b] = 1;floyd(); //传递闭包type = check(); //检查当前所有不等式的关系if(type) p = i; //如果关系已确定,或者矛盾}}if(type == 0) puts("Sorted sequence cannot be determined."); else if(type == 2) printf("Inconsistency found after %d relations.\n", p);else{memset(st, 0, sizeof st);printf("Sorted sequence determined after %d relations: ", p);for(int i = 0; i < n; i ++) printf("%c", get_min()); //每次输出最小的printf(".\n");}}return 0;
}

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