完全背包问题

当前有 N 种物品，第 i 种物品的体积是 ci​，价值是 wi​。

每种物品的数量都是无限的，可以选择任意数量放入背包。

现有容量为 V 的背包，请你放入若干物品，使总体积不超过 V，并且总价值尽可能大。

解析
虽然物品个数是无限的，但是实际上，由于背包容量有上限，每个物品最多选取的个数也是有限制的，这样可以转换成多重背包问题，进而可以转换成 01 背包问题。

可以用多重背包的思想来解决完全背包。

for (int i = 1; i <= N; i++) {for (int j = 0; j <= V; j++) {for (int k = 0; k * c[i] <= j; k++) {dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - c[i] * k] + w[i] * k, dp[i][j]);}}
}

时间效率优化

我们可以注意到

dp[i][v]=max(dp[i−1][v],dp[i−1][v−ci​]+wi​,dp[i−1][v−ci​×2]+wi​×2…)

而

dp[i][v−ci​]=max(dp[i−1][v−ci​],dp[i−1][v−ci​×2]+wi​,dp[i−1][v−ci​×3]+wi​×2…)

也就是说，我们完全可以用 dp[i][v−ci​] 的信息去更新 dp[i][v]，而不用去多此一举去枚举 k 了，转移可以直接变成如下：

dp[i][v]=max(dp[i−1][v],dp[i][v−ci​]+w[i])

for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 0; j <= v; j++) {if (j >= c[i]) {dp[i][j] = max(dp[i][j - c[i]] + w[i], dp[i - 1][j]);} else {dp[i][j] = dp[i - 1][j];}}
}

完整代码

 

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;int dp[21][1010];
int w[21], c[21];int main() {int N, V;cin >> N >> V;for (int i = 1; i <= N; i++) {cin >> w[i] >> c[i];}for(int i = 1; i <= N; i++){for(int j = 0; j <= V;  j++){if(j >= c[i]) {dp[i][j] = max(dp[i][j - c[i]] + w[i], dp[i - 1][j]);}else {dp[i][j] = dp[i-1][j];}}}cout << dp[N][V] << endl;return 0;
}