$n$ 阶线性齐次常微分方程与一阶常微分方程系统的等价转换

考虑如下 $n$ 阶线性齐次常微分方程：$$a_0{x}^{(n)}+a_1{x}^{(n-1)}+\dots +a_{n-1}{x}^{(1)}+a_{n}x=0,a_0\ne 0,\text{\hspace{1em}(1)}$$其中系数 $a_0,\dots ,a_n$ 均为实数，则方程（1）可等价转换为如下$n$维一阶系统$$\dot{x}=Ax，\text{\hspace{1em}(2)}$$其中 $A$ 为系统（2）的系数矩阵，具有如下形式$$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \dots & 0\\ 0& 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ -\frac{a_n}{a_0}& -\frac{a_{n-1}}{a_0}& -\frac{a_{n-2}}{a_0}& \dots & -\frac{a_1}{a_0}\end{array}\right].\text{\hspace{1em}(3)}$$转变过程如下：
~~~~~~       令$$\{\begin{array}{l}{x}_1=x\\ x_2=x^{(1)}\\ x_3=x^{(2)}\\ ⋮\\ x_n=x^{(n-1)}\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$将方程（1）左右两边同除以$a_0$，移项可得$$x^{(n)}=-\frac{a_n}{a_0}x-\frac{a_{n-1}}{a_0}{x}^{(1)}-\dots -\frac{a_1}{a_0}{x}^{(n-1)},\text{\hspace{1em}(5)}$$联立（4）和（5）可得$$\left(\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\\ ⋮\\ {\dot{x}}_{n-1}\\ {\dot{x}}_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \dots & 0\\ 0& 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ -\frac{a_n}{a_0}& -\frac{a_{n-1}}{a_0}& -\frac{a_{n-2}}{a_0}& \dots & -\frac{a_1}{a_0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_{n-1}\\ x_n\end{array}\right),\text{\hspace{1em}(6)}$$令$x=(x_1{x}_2\dots x_n{)}^T$，则有系统（2）成立。

多项式的根与常系数矩阵特征值的关联

从上一节系统稳定性判定分析（一）---- 基于时域状态方程的常系数线性系统内部稳定性判定 可知，当线性时不变系统系数矩阵的特征值均具有负实部时，系统具有渐近稳定性，若该系统具有唯一平衡点，则系统最终收敛于该平衡点。在实际生活中，我们可以应用常微分方程描述事物的发展规律，分析事物的运动特性，为刻画事物之间的逻辑关系，通常可能会用到高阶常微分方程，事物的动力特性可以通过分析常微分方程的性质得以说明。
定义多项式$$f(\lambda )=a_0{\lambda }^n+a_1{\lambda }^{n-1}+\dots +a_{n-1}\lambda +a_n,\text{\hspace{1em}(7)}$$根据常微分方程与常微分方程组的特征值解法总结笔记可以得知，方程 (1) 的特征方程即为 $f(\lambda )=0$，通过求解上述多项式的根即可确定方程 (1) 解的形式。从系统稳定性角度，可有如下等价性成立：

性质 (3) 式中矩阵 $A$ 的特征值与 (7) 式中多项式的根具有相同的取值。

证明. 如下应用数学归纳法进行证明。
(1) 对于1阶情况，即当 $n=1$ 时，此时$f(\lambda )=a_0\lambda +a_n$，多项式的根为 $-a_n/a_0$。相应地，其对应的一阶系统的系数矩阵 $A$ 为 $A_1=[-\frac{a_n}{a_0}]$，经计算，$A$ 的特征值亦为 $-a_n/a_0$，上述性质满足。
(2) 假定当 $n=k-1$ 时，上述性质满足，即有$$det(\lambda I_{k-1}-A_{k-1})={\lambda }^{k-1}+\frac{a_1}{a_0}{\lambda }^{k-2}+\dots +\frac{a_{k-2}}{a_0}\lambda +\frac{a_{k-1}}{a_0}.\text{\hspace{1em}(8)}$$则当 $n=k$ 时，方程 (1) 对应的 $k$ 维状态方程的系数矩阵 $A_k$ 为$$A_k=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \dots & 0\\ 0& 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ -\frac{a_k}{a_0}& -\frac{a_{k-1}}{a_0}& -\frac{a_{k-2}}{a_0}& \dots & -\frac{a_1}{a_0}\end{array}\right]$$其特征行列式为 $$det(\lambda I_k-A_k)=\left|\begin{array}{ccccc}\lambda & -1& 0& \dots & 0\\ 0& \lambda & -1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ \frac{a_k}{a_0}& \frac{a_{k-1}}{a_0}& \frac{a_{k-2}}{a_0}& \dots & \lambda +\frac{a_1}{a_0}\end{array}\right|$$
将上述行列式按第一列展开，可得：
$$\begin{array}{rl}det(\lambda I_k-A_k)& =\lambda det(\lambda I_{k-1}-A_{k-1})+(-1{)}^{1+k}\frac{a_k}{a_0}(-1{)}^{k-1}\\ & =\lambda det(\lambda I_{k-1}-A_{k-1})+\frac{a_k}{a_0},\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$将式 (8) 代入式 (9) 中可得
$$\begin{array}{rl}det(\lambda I_k-A_k)& =\lambda det(\lambda I_{k-1}-A_{k-1})+\frac{a_k}{a_0}\\ & =\lambda ({\lambda }^{k-1}+\frac{a_1}{a_0}{\lambda }^{k-2}+\dots +\frac{a_{k-2}}{a_0}\lambda +\frac{a_{k-1}}{a_0})+\frac{a_k}{a_0}\\ & ={\lambda }^k+\frac{a_1}{a_0}{\lambda }^{k-1}+\dots +\frac{a_{k-1}}{a_0}\lambda +\frac{a_k}{a_0},\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$(10) 式两侧同乘系数 $a_0$即得 (7) 式，即当 $n=k$ 时，上述性质成立。
因此，综上所述，(3) 式中矩阵 $A$ 的特征值与 (7) 式中多项式的根具有相同的取值。

有关多项式得概念

（1）若$n$ 阶实系数多项式 $f(\lambda )$ 的所有零点均具有负实部，则称该多项式是稳定的;
（2）若$n$ 阶实系数多项式 $f(\lambda )$ 的所有零点中至少一个零点的实部为正，则称该多项式是不稳定的；
（3）若$n$ 阶实系数多项式 $f(\lambda )$既不是稳定的，也不是不稳定的，则称其为临界的。

一个稳定的多项式被称为Hurwitz多项式。