曲线积分
第一类曲线积分:对弧长的积分计算方法
定理:设 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在曲线弧 L L L上有定义且连续, L L L的参数方程是
{ x = φ ( t ) y = ψ ( t ) ( α ≤ t ≤ β ) \begin{cases} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{cases}(\alpha\le t\le\beta) {x=φ(t)y=ψ(t)(α≤t≤β)
若 φ ( t ) , ψ ( t ) \varphi(t),\psi(t) φ(t),ψ(t)在 [ α , β ] [\alpha, \beta] [α,β]上具有连续的一阶偏导数,且 φ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) ≠ 0 \varphi'^2(t)+\psi'^2(t)\ne0 φ′2(t)+ψ′2(t)=0,则曲线积分 ∫ L f ( x , y ) d s \int_Lf(x,y)ds ∫Lf(x,y)ds存在,且
∫ L f ( x , y ) d s = ∫ α β f ( φ ( t ) , ψ ( t ) ) φ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t ( α ≤ β ) \int_Lf(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t),\psi(t))\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}dt(\alpha\le \beta) ∫Lf(x,y)ds=∫αβf(φ(t),ψ(t))φ′2(t)+ψ′2(t)dt(α≤β)
参数方程的一个特例是
{ x = x y = y ( x ) ( α ≤ x ≤ β ) \begin{cases} x=x\\ y=y(x) \end{cases}(\alpha\le x\le\beta) {x=xy=y(x)(α≤x≤β)
第二类曲线积分:沿坐标轴进行积分
考虑一个变力做功的场景:变力为 F ( x , y ) = P ( x , y ) i + Q ( x , y ) j \bold F(x,y)=P(x,y)\bold i+Q(x,y)\bold j F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j,沿着曲线做功
∫ L F ( x , y ) d r = ∫ L P ( x , y ) d x + ∫ L Q ( x , y ) d y \int_L\bold F(x,y)d\bold r=\int_LP(x,y)dx+\int_LQ(x,y)dy ∫LF(x,y)dr=∫LP(x,y)dx+∫LQ(x,y)dy其中 F ( x , y ) = P ( x , y ) i + Q ( x , y ) j , d r = d x i + d y j \bold F(x,y)=P(x,y)\bold i+Q(x,y)\bold j, d\bold r=dx\bold i+dy\bold j F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j,dr=dxi+dyj
两类曲线积分的关系
∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ L P ( x , y ) cos α + Q ( x , y ) cos β d s \int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_LP(x,y)\cos\alpha+Q(x,y)\cos\beta ds ∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫LP(x,y)cosα+Q(x,y)cosβds其中 α , β \alpha, \beta α,β是有向曲线在 ( x , y ) (x,y) (x,y)处的方向角(和坐标轴的夹角)。
推导
假设 x , y x,y x,y满足参数方程
{ x ( t ) = φ ( t ) y ( t ) = ψ ( t ) \begin{aligned} \begin{cases} x(t)&=\varphi(t)\\ y(t)&=\psi(t) \end{cases} \end{aligned} {x(t)y(t)=φ(t)=ψ(t)
对于第二类曲线积分
I = ∫ P ( x , y ) d x + ∫ Q ( x , y ) d y = ∫ a b P ( φ ( t ) , ψ ( t ) ) φ ′ ( t ) d t + ∫ a b Q ( φ ( t ) , ψ ( t ) ) ψ ′ ( t ) d t \begin{aligned} I&=\int P(x,y)dx+\int Q(x,y)dy\\ &=\int_a^b P(\varphi(t),\psi(t))\varphi'(t)dt+\int_a^b Q(\varphi(t),\psi(t))\psi'(t)dt \end{aligned} I=∫P(x,y)dx+∫Q(x,y)dy=∫abP(φ(t),ψ(t))φ′(t)dt+∫abQ(φ(t),ψ(t))ψ′(t)dt
考虑曲线在 ( x , y ) (x,y) (x,y)的切线方向向量
τ = φ ′ ( t ) i + ψ ′ ( t ) j \bold\tau=\varphi'(t)\bold i+\psi'(t)\bold j τ=φ′(t)i+ψ′(t)j
则其两个方向角
cos α = φ ′ ( t ) φ ′ ( t ) 2 + ψ ′ ( t ) 2 cos β = ψ ′ ( t ) φ ′ ( t ) 2 + ψ ′ ( t ) 2 \cos\alpha = \frac{\varphi'(t)}{\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}}\\ \cos\beta = \frac{\psi'(t)}{\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}}\ cosα=φ′(t)2+ψ′(t)2φ′(t)cosβ=φ′(t)2+ψ′(t)2ψ′(t)
考虑下面函数的第一类曲线积分
I ′ = ∫ P ( x , y ) cos α + Q ( x , y ) cos β d s = ∫ P ( φ ( t ) , ψ ( t ) ) φ ′ ( t ) φ ′ ( t ) 2 + ψ ′ ( t ) 2 + ∫ Q ( φ ( t ) , ψ ( t ) ) ψ ′ ( t ) φ ′ ( t ) 2 + ψ ′ ( t ) 2 d s = ∫ ( P ( φ ( t ) , ψ ( t ) ) φ ′ ( t ) φ ′ ( t ) 2 + ψ ′ ( t ) 2 + ∫ Q ( φ ( t ) , ψ ( t ) ) ψ ′ ( t ) φ ′ ( t ) 2 + ψ ′ ( t ) 2 ) φ ′ ( t ) 2 + ψ ′ ( t ) 2 d t = ∫ P ( φ ( t ) , ψ ( t ) ) φ ′ ( t ) + ∫ Q ( φ ( t ) , ψ ( t ) ) ψ ′ ( t ) d t = I \begin{aligned} I' &= \int P(x,y)\cos\alpha+Q(x,y)\cos\beta ds\\ &=\int P(\varphi(t), \psi(t)) \frac{\varphi'(t)}{\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}} +\int Q(\varphi(t), \psi(t)) \frac{\psi'(t)}{\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}} ds\\ &=\int \left (P(\varphi(t), \psi(t)) \frac{\varphi'(t)}{\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}} +\int Q(\varphi(t), \psi(t)) \frac{\psi'(t)}{\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}} \right)\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}dt\\ &=\int P(\varphi(t), \psi(t)) \varphi'(t)+\int Q(\varphi(t), \psi(t)) \psi'(t)dt\\ &=I \end{aligned} I′=∫P(x,y)cosα+Q(x,y)cosβds=∫P(φ(t),ψ(t))φ′(t)2+ψ′(t)2φ′(t)+∫Q(φ(t),ψ(t))φ′(t)2+ψ′(t)2ψ′(t)ds=∫(P(φ(t),ψ(t))φ′(t)2+ψ′(t)2φ′(t)+∫Q(φ(t),ψ(t))φ′(t)2+ψ′(t)2ψ′(t))φ′(t)2+ψ′(t)2dt=∫P(φ(t),ψ(t))φ′(t)+∫Q(φ(t),ψ(t))ψ′(t)dt=I
理解
怎么直观理解呢?让我们会到变力做功问题。按照定义,适合计算的场景是第二类曲线积分。但是实际上也可以使用第一类曲线积分来进行计算。也就是计算曲线上每一点做功的量。 x x x方向上每一点移动微小距离从 A A A到 B B B做功的量
W x = P ( x , y ) i → ⋅ τ → = P ( x , y ) τ cos α = P ( x , y ) cos α τ = P ( x , y ) cos α d s \begin{aligned} W_x&=P(x,y)\overrightarrow{\bold i}\cdot\overrightarrow{\bold{\tau}}\\ &=P(x,y)\tau\cos{\alpha}\\ &=P(x,y)\cos{\alpha}\ \tau\\ &=P(x,y)\cos{\alpha}\ ds \end{aligned} Wx=P(x,y)i⋅τ=P(x,y)τcosα=P(x,y)cosα τ=P(x,y)cosα ds
可以将此处的功看做 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)在此处的线密度, Q ( x , y ) Q(x,y) Q(x,y)类似。其中 τ → \overrightarrow{\bold\tau} τ是指向从 A A A指向 B B B的向量,当 A A A到 B B B距离很近时,也就是其切向量。第一类和第二类曲线积分关系理解的一个问题是, P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)已经是 x x x轴分量了,为什么还需要乘 c o s α cos\alpha cosα,这是因为为了计算其做功,需要使用其在路径方向上的分量来计算。就好比,为了计算做功,首先对力进行 x y xy xy方向的正交分解,但是因为移动的方向和坐标轴也不垂直或平行,需要分别对两个分量在路径方向的分量上再次分解。另外一种理解方式是,这个 cos α \cos\alpha cosα不是乘在 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)上,而是乘在 d s ds ds上,这种理解就是将路径也作了正交分解,然后和对应分量进行求积。
举个例子,计算恒力 F ( x , y ) = − i + j F(x,y)=-\bold i+\bold j F(x,y)=−i+j沿圆周 x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x2+y2=1从 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0)到 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)做的功。根据根据高中知识(同时格林公式加以验证),恒力做功和路径无关,做的功为 W = F s = 2 ⋅ 2 = 2 J W=Fs=\sqrt 2\cdot\sqrt 2=2J W=Fs=2⋅2=2J
使用第二类曲线积分
W = ∫ L F → d r → = ∫ 1 0 P ( x , y ) d x + ∫ 0 1 Q ( x , y ) d y = 2 \begin{aligned} W &=\int_L\overrightarrow{\bold F}d\overrightarrow{\bold r} \\ &=\int_{1}^{0}P(x,y)dx+\int_{0}^{1}Q(x,y)dy\\ &=2 \end{aligned} W=∫LFdr=∫10P(x,y)dx+∫01Q(x,y)dy=2
使用第一类曲线积分,在任意一点 ( x , y ) (x,y) (x,y)
d W = F → d r → = ∣ F → ∣ ∣ d r → ∣ cos α ( α 是 F → ( − 1 , 1 ) 和曲线切线 ( 1 , − x 1 − x 2 ) 的夹角,不是方向角 ) = ∣ F → ∣ cos α d s = 2 ⋅ − x + 1 − x 2 1 ⋅ 2 d s = 2 ⋅ − x + 1 − x 2 1 ⋅ 2 1 + y ′ 2 d x \begin{aligned} dW&=\overrightarrow{\bold F}d\overrightarrow{\bold r} \\ &=|\overrightarrow{\bold F}||d\overrightarrow{\bold r} |\cos\alpha(\alpha是\overrightarrow{\bold F}(-1,1)和曲线切线(1,\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}})的夹角,不是方向角)\\ &=|\overrightarrow{\bold F}|\cos\alpha ds \\ &=\sqrt 2\cdot \frac{-x+\sqrt{1-x^2}}{1\cdot\sqrt 2}ds\\ &=\sqrt 2\cdot \frac{-x+\sqrt{1-x^2}}{1\cdot\sqrt 2}\sqrt{1+y'^2}dx \end{aligned} dW=Fdr=∣F∣∣dr∣cosα(α是F(−1,1)和曲线切线(1,1−x2−x)的夹角,不是方向角)=∣F∣cosαds=2⋅1⋅2−x+1−x2ds=2⋅1⋅2−x+1−x21+y′2dx
以上的计算还是比较复杂一点的,是直接计算,没有对F进行两次正交分解。
考虑 F → \overrightarrow{\bold F} F的 x x x分量做功
d W x = ∫ P ( x , y ) i d r = ∫ P ( x , y ) ∣ d r → ∣ cos α ( α 是 x 轴方向角 ) = ∫ 1 − x 2 d s = ∫ 1 − x 2 ⋅ 1 1 − x 2 d x = 1 \begin{aligned} dW_x&=\int P(x,y)\bold id\bold r\\ &=\int P(x,y)|d\overrightarrow{\bold r} |\cos\alpha(\alpha是x轴方向角)\\ &=\int \sqrt{1-x^2}ds\\ &=\int \sqrt{1-x^2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=1 \end{aligned} dWx=∫P(x,y)idr=∫P(x,y)∣dr∣cosα(α是x轴方向角)=∫1−x2ds=∫1−x2⋅1−x21dx=1
格林公式(非常重要)
设闭区域 D D D由分段光滑曲线 L L L围成,若函数 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)及 Q ( x , y ) Q(x,y) Q(x,y)在 D D D上有连续一阶偏导数,则有
∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y = ∮ L P d x + Q d y \iint\limits_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy=\oint_LPdx+Qdy D∬(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy=∮LPdx+Qdy
其中 L L L是区域 D D D边界上取正向的曲线。
证明:首先假设区域 D D D既是X型,又是Y型的,则
∬ D ∂ P ∂ y d x d y = ∫ a b ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) ∂ P ∂ y d y d x = ∫ a b ( P ( x , φ 2 ( x ) ) − P ( x , φ 1 ( x ) ) ) d x \begin{aligned} &\iint\limits_D\frac{\partial P}{\partial y}dxdy\\ =&\int_a^b\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}\frac{\partial P}{\partial y}dydx\\ =&\int_a^b\left (P(x,\varphi_2(x))-P(x,\varphi_1(x))\right)dx \end{aligned} ==D∬∂y∂Pdxdy∫ab∫φ1(x)φ2(x)∂y∂Pdydx∫ab(P(x,φ2(x))−P(x,φ1(x)))dx
另一方面
∮ L P d x = ∫ B C P d x + ∫ C F G P d x + ∫ G A P d x + ∫ A E B P d x = 0 + ∫ b a P ( x , φ 2 ( x ) ) d x + 0 + ∫ a b P ( x , φ 1 ( x ) ) d x = ∫ a b ( − P ( x , φ 2 ( x ) ) + P ( x , φ 1 ( x ) ) ) d x = − ∬ D ∂ P ∂ y d x d y \begin{aligned} &\oint_LPdx\\ =&\int_{BC}Pdx+\int_{CFG}Pdx+\int_{GA}Pdx+\int_{AEB}Pdx\\ =&0+\int_b^aP(x,\varphi_2(x))dx+0+\int_a^bP(x,\varphi_1(x))dx\\ =&\int_a^b\left (-P(x,\varphi_2(x))+P(x,\varphi_1(x))\right)dx\\ =&-\iint\limits_D\frac{\partial P}{\partial y}dxdy \end{aligned} ====∮LPdx∫BCPdx+∫CFGPdx+∫GAPdx+∫AEBPdx0+∫baP(x,φ2(x))dx+0+∫abP(x,φ1(x))dx∫ab(−P(x,φ2(x))+P(x,φ1(x)))dx−D∬∂y∂Pdxdy
同理,因为区域 D D D也是Y型的,可得
∮ L Q d y = ∬ D ∂ Q ∂ x d x d y \oint_L Qdy = \iint\limits_D\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy ∮LQdy=D∬∂x∂Qdxdy
若区域不是X型或者Y型,则可以通过将其切割的方式,得到若干既是X型,又是Y型的区域。在切割线上,二重积分为0,曲线积分方向相反恰好相互抵消。
格林公式还是很神奇的,意思是,一个闭区域的二重积分可以只通过边界就确定,和内部情况无关。乍一看很难理解,怎么可能呢?但是仔细一想,二重积分的被积函数是 Q Q Q的偏导数。可以这么理解,偏导数在一个闭区域里无论怎样变化,你多了一重积分,都不重要了,只和闭区域边界上变化量有关,而这个变化量是可以通过边界上看到的。也就是二重积分关心的是细节,但是累积之后其实只和进入和流出边界的变化量有关,边界值是一个最终结果,可以确定变化量。实际格林公式的证明过程也是这么个道理。高斯公式类似。
曲线积分和路径无关的条件
设区域 G G G是一个单连通区域,若函数 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)和 Q ( x , y ) Q(x,y) Q(x,y)在 G G G内具有一阶连续偏导数,则曲线积分 ∫ = P d x + Q d y \int=Pdx+Qdy ∫=Pdx+Qdy在 G G G内与路径无关的充要条件是
∂ Q ∂ x = ∂ P ∂ y \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} ∂x∂Q=∂y∂P在 G G G内恒成立。
曲面积分
第一类曲面积分
定义:设曲面 Σ \Sigma Σ是光滑的,函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)在 Σ \Sigma Σ上有界. 把 Σ \Sigma Σ任意分成 n n n个小块 Δ S i \Delta S_i ΔSi( Δ S i \Delta S_i ΔSi同时也表示第 i i i个小块的面积),设 f ( ξ i , η i , ζ i ) Δ S i ( i = 1 , 2 , 3... n ) f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i(i=1,2,3...n) f(ξi,ηi,ζi)ΔSi(i=1,2,3...n),并作和 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i , ζ i ) Δ S i \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i i=1∑nf(ξi,ηi,ζi)ΔSi,如果当各个小块曲面的直径最大值 λ → 0 \lambda\to0 λ→0时,这个和的极限总存在,且与曲面 Σ \Sigma Σ的分法及点 ( ξ i , η i , ζ i ) (\xi_i,\eta_i,\zeta_i) (ξi,ηi,ζi)的取法无关,那么称此极限为函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)在曲面 Σ \Sigma Σ上对面积的曲面积分或者第一类曲面积分,记作 ∬ Σ f ( x , y , z ) d S \iint\limits_\Sigma f(x,y,z)dS Σ∬f(x,y,z)dS,即
∬ Σ f ( x , y , z ) d S = lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i , ζ i ) Δ S i \iint\limits_\Sigma f(x,y,z)dS=\lim_{\lambda\to0}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i Σ∬f(x,y,z)dS=λ→0limi=1∑nf(ξi,ηi,ζi)ΔSi
其中, f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)叫做被积函数, Σ \Sigma Σ叫做积分曲面。
第一类曲面积分计算方法
∬ Σ f ( x , y , z ) d S = ∬ D x y f ( x , y , z ) z x 2 + z y 2 + 1 d x d y \iint\limits_\Sigma f(x,y,z)dS=\iint\limits_{D_{xy}} f(x,y,z)\sqrt{z_x^2+z_y^2+1}dxdy Σ∬f(x,y,z)dS=Dxy∬f(x,y,z)zx2+zy2+1dxdy
严格证明可能需要使用积分中值定理。这里只做一个说明:
Δ S i ⋅ cos γ = Δ σ i \Delta S_i\cdot\cos\gamma=\Delta\sigma_i ΔSi⋅cosγ=Δσi, γ \gamma γ是 z z z轴方向角,有
cos γ = k ⋅ n ∣ k ∣ ∣ n ∣ = − 1 z x 2 + z y 2 + 1 \cos\gamma=\frac{\bold k\cdot\bold n}{|\bold k||\bold n|}=\frac{-1}{\sqrt{z_x^2+z_y^2+1}} cosγ=∣k∣∣n∣k⋅n=zx2+zy2+1−1
∬ Σ f ( x , y , z ) d S = ∬ D x y f ( x , y , z ) 1 cos γ d x d y = ∬ D x y f ( x , y , z ) z x 2 + z y 2 + 1 d x d y \iint\limits_\Sigma f(x,y,z)dS\\ =\iint\limits_{D_{xy}} f(x,y,z)\frac{1}{\cos\gamma}dxdy\\ =\iint\limits_{D_{xy}} f(x,y,z)\sqrt{z_x^2+z_y^2+1}dxdy Σ∬f(x,y,z)dS=Dxy∬f(x,y,z)cosγ1dxdy=Dxy∬f(x,y,z)zx2+zy2+1dxdy
第二类曲面积分
高斯公式
定理 设空间闭区域 Ω \Omega Ω是有分段光滑的闭曲面 Σ \Sigma Σ围成,若函数 P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) P(x,y,z), Q(x,y,z),R(x,y,z) P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在 Ω \Omega Ω上具有连续的一阶偏导数,则有
∭ Ω ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z = ∯ Σ P d y d z + Q d x d z + R d x d y \iiint\limits_{\Omega}\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=\oiint\limits_\Sigma Pdydz+Qdxdz+Rdxdy Ω∭∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R=Σ∬Pdydz+Qdxdz+Rdxdy或
∭ Ω ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z = ∯ Σ P cos α + Q cos β + R cos γ d S \iiint\limits_{\Omega}\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=\oiint\limits_\Sigma P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma dS Ω∭∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R=Σ∬Pcosα+Qcosβ+RcosγdS
这里, Σ \Sigma Σ是 Ω \Omega Ω整个边界曲面的外侧, cos α , cos β , cos γ \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma cosα,cosβ,cosγ是 Σ \Sigma Σ在点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)处的法向量方向余弦。
沿任意闭曲面积分为0的条件
斯托克斯公式
定理1 设 Γ \Gamma Γ为分段光滑的空间有向闭曲线, Σ \Sigma Σ是以 Γ \Gamma Γ为边界的分片光滑的有向曲面, Γ \Gamma Γ的正向与 Σ \Sigma Σ的侧符合右手规则,若函数 P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在曲面 Σ \Sigma Σ(连通边界 Γ \Gamma Γ)上具有一阶连续偏导数,则有
∬ Σ ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) d y d z − ( ∂ R ∂ x − ∂ P ∂ z ) d y d z + ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d y d z = ∮ Γ P d x + Q d y + R d z \iint\limits_\Sigma(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz -(\frac{\partial R}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial z})dydz +(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dydz\\ =\oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz Σ∬(∂y∂R−∂z∂Q)dydz−(∂x∂R−∂z∂P)dydz+(∂x∂Q−∂y∂P)dydz=∮ΓPdx+Qdy+Rdz
表述成行列式形式
∬ Σ ∣ d y d z d z d x d x d y ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ = ∮ Γ P d x + Q d y + R d z \iint\limits_\Sigma\left| \begin{aligned} dydz &\ \ \ \ \ \ dzdx & dxdy \\ \frac{\partial}{\partial x} &\ \ \ \ \ \ \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P &\ \ \ \ \ \ Q &R \\ \end{aligned} \right|=\oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz Σ∬ dydz∂x∂P dzdx ∂y∂ Qdxdy∂z∂R =∮ΓPdx+Qdy+Rdz
课本上给了一种证明,本身可以做点简化,另外就是只是通过公式化的推导,并没有对斯托克斯公式本身的含义做很好的解释,这里做些改进。
证明:先假设 Σ \Sigma Σ与平行于 z z z轴的直线相交不多于一点,并设 Σ \Sigma Σ为曲面 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)的上侧, Σ \Sigma Σ的正向边界曲线 Γ \Gamma Γ在 x O y xOy xOy面上的投影为平面有向曲线 C C C, C C C锁围成的闭区域为 D x y D_{xy} Dxy
我们设法把曲面积分 ∬ Σ ∂ P ∂ z d z d x − ∂ P ∂ y d x d y \iint\limits_\Sigma \frac{\partial P}{\partial z}dzdx-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy Σ∬∂z∂Pdzdx−∂y∂Pdxdy化为闭区域 D x y D_{xy} Dxy上的二重积分,然后通过格林公式使它与曲线积分相联系。
∬ Σ ∂ P ∂ z d z d x − ∂ P ∂ y d x d y = ∬ Σ ∂ P ∂ z d z d y d y d x − ∂ P ∂ y d x d y = ∬ Σ ∂ P ∂ z z y d x d y − ∂ P ∂ y d x d y \iint\limits_\Sigma \frac{\partial P}{\partial z}dzdx-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy \\ =\iint\limits_\Sigma \frac{\partial P}{\partial z}\frac{dz}{dy}dydx-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy\\ =\iint\limits_\Sigma \frac{\partial P}{\partial z}z_ydxdy-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy Σ∬∂z∂Pdzdx−∂y∂Pdxdy=Σ∬∂z∂Pdydzdydx−∂y∂Pdxdy=Σ∬∂z∂Pzydxdy−∂y∂Pdxdy
另外的方法:
我们把曲面 Σ \Sigma Σ使用平面组 x = a i , y = b i x=a_i,y=b_i x=ai,y=bi切割成一块一块,对于其中的一块由平面 x = a 1 , x = a 2 , y = b 1 , y = b 2 x=a_1, x=a_2, y=b_1,y=b_2 x=a1,x=a2,y=b1,y=b2和曲面的交点为 A ( a 1 , b 1 , z A ) , B ( a 2 , b 1 , z B ) , C ( a 2 , b 2 , z C ) , D ( a 1 , b 2 , z D ) A(a_1,b_1,z_A),B(a_2,b_1,z_B),C(a_2,b_2,z_C),D(a_1,b_2,z_D) A(a1,b1,zA),B(a2,b1,zB),C(a2,b2,zC),D(a1,b2,zD),来求曲线积分
∮ Γ R d z = ∫ A B + ∫ B C + ∫ C D + ∫ D A R d z \oint_\Gamma Rdz=\int_{AB}+\int_{BC}+\int_{CD}+\int_{DA} Rdz ∮ΓRdz=∫AB+∫BC+∫CD+∫DARdz
由格林公式
∬ D y z ∂ R ∂ y d y d z = ∫ A B + ∫ C D R d z − ∬ D y z ∂ R ∂ x d x d z = ∫ B C + ∫ D A R d z \iint\limits_{D_{yz}}\frac{\partial R}{\partial y}dydz =\int_{AB}+\int_{CD} Rdz\\ -\iint\limits_{D_{yz}}\frac{\partial R}{\partial x}dxdz =\int_{BC}+\int_{DA} Rdz Dyz∬∂y∂Rdydz=∫AB+∫CDRdz−Dyz∬∂x∂Rdxdz=∫BC+∫DARdz
也就是说, R R R沿曲线 Γ \Gamma Γ的线积分,可以拆成两部分,一部分是是x轴方向的积分,另一部分是y轴方向的积分。
梯度、散度、旋度在向量分析中会有更详细的研究和笔记。