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一、前言

在机器学习和数据科学领域，高维数据的可视化是一个极具挑战但又至关重要的问题。高维数据难以直观地理解和分析，而有效的可视化方法能够帮助我们发现数据中的潜在结构、模式和关系。本文以经典的MNIST手写数字数据集为例，探讨如何利用t-分布随机邻域嵌入（t-SNE）这一强大的降维技术，将高维的图像数据降维到二维空间，并进行可视化展示。通过本文，我们将深入了解t-SNE的原理、算法步骤，以及如何在Python中实现并应用它，从而更好地理解和探索高维数据的内在特性。

二、技术与原理简介

在深入探讨t-SNE之前，我们首先需要区分机器学习中的两大主要范畴：监督学习和无监督学习。

1. 监督学习

监督学习是指在已知输入数据和对应标签的情况下，训练模型学习输入与输出之间的映射关系。模型通过学习大量的带标签数据，能够对新的、未见过的数据进行预测或分类。常见的监督学习算法包括：

线性回归: 用于预测连续型变量。
逻辑回归: 用于分类问题。
支持向量机 (SVM): 用于分类和回归问题，尤其擅长处理高维数据。
决策树: 基于树状结构进行决策，易于理解和解释。
随机森林: 集成多个决策树，提高预测的准确性和鲁棒性。
神经网络: 模拟人脑神经元结构，能够学习复杂的非线性关系。

2. 无监督学习

无监督学习是指在没有标签的情况下，训练模型发现数据中的潜在结构和模式。模型通过分析数据的内在特征，能够进行聚类、降维、关联规则挖掘等任务。常见的无监督学习算法包括：

聚类: 将数据划分为不同的簇，使得同一簇内的数据相似度较高，不同簇之间的数据相似度较低。常见的聚类算法包括K-means、层次聚类、DBSCAN等。
降维: 将高维数据降维到低维空间，同时尽可能保留数据的关键信息。常见的降维算法包括主成分分析 (PCA)、t-SNE、UMAP等。
关联规则挖掘: 发现数据中不同项之间的关联关系，例如购物篮分析。

3. 监督学习与无监督学习的区别

4. MNIST数据集简介

MNIST (Modified National Institute of Standards and Technology database) 是一个经典的手写数字数据集，广泛应用于机器学习和深度学习领域。它包含60,000个训练样本和10,000个测试样本，每个样本都是一个28x28像素的灰度图像，代表0到9之间的手写数字。

4.1 数据格式

MNIST数据集通常以两种格式提供：

图像格式: 每个样本都是一个图像文件，例如PNG或JPEG格式。
数值格式: 每个样本都被转换为一个784维的向量，其中每个元素代表一个像素的灰度值 (0到255)。

4.2 数据集特点

规模适中: MNIST数据集的规模适中，既可以用于快速原型验证，又可以用于训练复杂的模型。
易于获取: MNIST数据集可以从多个来源免费获取，例如Scikit-learn、TensorFlow等。
广泛应用: MNIST数据集被广泛应用于各种机器学习和深度学习算法的评估和比较。

5. t-SNE算法原理与数学推导

5.1 算法核心思想

t-SNE（t-Distributed Stochastic Neighbor Embedding）是一种非线性降维技术，通过以下步骤实现高维数据到低维空间的映射：

计算高维相似度：在原始空间中，计算每对样本间的相似度
构建低维嵌入空间：在目标空间（如2D）中，通过优化使相似度分布匹配
梯度下降优化：最小化两空间分布的KL散度

5.2 数学公式详解

5.2.1 高维相似度计算

对原始空间中的样本对(𝑥𝑖,𝑥𝑗) ，定义条件概率：

其中𝜎𝑖 为高斯核带宽，通过二分查找确定以满足** perplexity **参数（控制邻域大小）。

5.2.2 低维相似度建模

在目标空间中，定义联合概率：

采用t-分布（自由度为1的Student分布）以增强对异常值的鲁棒性。

5.2.3 目标函数优化

通过最小化KL散度实现分布匹配：

其中

优化过程使用梯度下降：

5.3 算法步骤流程

参数初始化：设置降维维度（如2D）、perplexity（通常5-50）、学习率等
高维相似度计算：为每个样本计算条件概率矩阵𝑃P
低维初始化：随机生成初始嵌入坐标𝑌Y
梯度下降优化：迭代更新𝑌Y以最小化KL散度
结果输出：返回低维坐标矩阵

三、代码详解

本文的代码主要分为以下几个部分：

1. 导入库

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns
from sklearn import datasets
from sklearn import manifold
%matplotlib inline

说明：

import matplotlib.pyplot as plt: 导入matplotlib库，用于绘制图像。
import numpy as np: 导入numpy库，用于进行数值计算。
import pandas as pd: 导入pandas库，用于数据处理。
import seaborn as sns: 导入seaborn库，用于数据可视化。
from sklearn import datasets: 导入sklearn库中的datasets模块，用于加载数据集。
from sklearn import manifold: 导入sklearn库中的manifold模块，用于降维。
%matplotlib inline: 在Jupyter Notebook中显示图像。

2. 加载数据

# 加载数据
data = datasets.fetch_openml('mnist_784', version=1, return_X_y=True)
pixel_values, targets = data
targets = targets.astype(int)# 将DataFrame转换为numpy数组以便更容易操作
# 如果pixel_values已经是numpy数组，这一步可以跳过
if isinstance(pixel_values, pd.DataFrame):pixel_values_array = pixel_values.values
else:pixel_values_array = pixel_values

说明：

data = datasets.fetch_openml('mnist_784', version=1, return_X_y=True): 使用datasets.fetch_openml函数加载MNIST数据集。'mnist_784'表示数据集的名称，version=1表示数据集的版本，return_X_y=True表示返回输入数据和标签。
pixel_values, targets = data: 将返回的数据解包为pixel_values和targets。pixel_values包含图像的像素值，targets包含图像的标签。
targets = targets.astype(int): 将标签转换为整数类型。
if isinstance(pixel_values, pd.DataFrame):: 检查pixel_values是否为pandas DataFrame类型。
pixel_values_array = pixel_values.values: 如果pixel_values为pandas DataFrame类型，则将其转换为numpy数组。
else: pixel_values_array = pixel_values: 否则，直接使用pixel_values。

3. 显示单个图像

# 显示单个图像
single_image = pixel_values_array[1].reshape(28, 28)
plt.imshow(single_image, cmap='gray')

说明：

single_image = pixel_values_array[1].reshape(28, 28): 选择第一个图像，并将其reshape为28x28的矩阵。
plt.imshow(single_image, cmap='gray'): 使用plt.imshow函数显示图像，cmap='gray'表示使用灰度颜色映射。

4. t-SNE降维

# t-SNE降维
tsne = manifold.TSNE(n_components=2, random_state=42)
transformed_data = tsne.fit_transform(pixel_values_array[:3000])

说明：

tsne = manifold.TSNE(n_components=2, random_state=42): 创建一个t-SNE对象。n_components=2表示将数据降维到二维空间，random_state=42表示设置随机种子，保证结果的可重复性。
transformed_data = tsne.fit_transform(pixel_values_array[:3000]): 使用fit_transform函数对数据进行降维。这里只使用了前3000个样本，因为t-SNE的计算复杂度较高。

5. 创建DataFrame用于可视化

# 创建DataFrame用于可视化
tsne_df = pd.DataFrame(np.column_stack((transformed_data, targets[:3000])),columns=["x", "y", "targets"]
)
tsne_df.loc[:, "targets"] = tsne_df.targets.astype(int)

说明：

tsne_df = pd.DataFrame(...): 创建一个pandas DataFrame对象，用于存储降维后的数据和标签。
np.column_stack((transformed_data, targets[:3000])): 将降维后的数据和标签按列拼接在一起。
columns=["x", "y", "targets"]: 设置DataFrame的列名。
tsne_df.loc[:, "targets"] = tsne_df.targets.astype(int): 将DataFrame中的标签转换为整数类型。

6. 可视化

# 可视化
# 注意：在新版本的seaborn中，size参数已更改为height
try:grid = sns.FacetGrid(tsne_df, hue="targets", size=8)
except TypeError:grid = sns.FacetGrid(tsne_df, hue="targets", height=8)grid.map(plt.scatter, "x", "y").add_legend()

说明：

grid = sns.FacetGrid(tsne_df, hue="targets", size=8): 创建一个seaborn FacetGrid对象，用于可视化降维后的数据。hue="targets"表示使用标签作为颜色编码，size=8表示设置图像的大小。
grid.map(plt.scatter, "x", "y").add_legend(): 使用plt.scatter函数绘制散点图，"x"和"y"表示散点图的横坐标和纵坐标，add_legend()表示添加图例。

7. 完整代码

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns
from sklearn import datasets
from sklearn import manifold
%matplotlib inline# 加载数据
data = datasets.fetch_openml('mnist_784', version=1, return_X_y=True)
pixel_values, targets = data
targets = targets.astype(int)# 将DataFrame转换为numpy数组以便更容易操作
# 如果pixel_values已经是numpy数组，这一步可以跳过
if isinstance(pixel_values, pd.DataFrame):pixel_values_array = pixel_values.values
else:pixel_values_array = pixel_values# 显示单个图像
single_image = pixel_values_array[1].reshape(28, 28)
plt.imshow(single_image, cmap='gray')# t-SNE降维
tsne = manifold.TSNE(n_components=2, random_state=42)
transformed_data = tsne.fit_transform(pixel_values_array[:3000])# 创建DataFrame用于可视化
tsne_df = pd.DataFrame(np.column_stack((transformed_data, targets[:3000])),columns=["x", "y", "targets"]
)
tsne_df.loc[:, "targets"] = tsne_df.targets.astype(int)# 可视化
# 注意：在新版本的seaborn中，size参数已更改为height
try:grid = sns.FacetGrid(tsne_df, hue="targets", size=8)
except TypeError:grid = sns.FacetGrid(tsne_df, hue="targets", height=8)grid.map(plt.scatter, "x", "y").add_legend()