一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
输入：m = 3, n = 7
输出：28
示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
- 向右 -> 向下 -> 向下
- 向下 -> 向下 -> 向右
- 向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28
示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6
提示：
1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 109
思路
在过去，有这样一个词，那就是遇难则反，从起点推导出最小路径和是困难的，那我们就从终点去推导。
解题过程
我们都知道一个方块，只能向右或向下。在初始化dp之后，我们会有这样一条关系式：
d p [ i ] [ j ] = { 1 if i = = m − 1 a n d j = = n − 1 d p [ i + 1 ] [ j ] + d p [ i ] [ j + 1 ] if i + 1 < m a n d j + 1 < n d p [ i + 1 ] [ j ] if i + 1 < m d p [ i ] [ j + 1 ] if j + 1 < n dp[i][j] = \left\{\begin{matrix} 1 &\text{if } i == m-1 \ and \ j == n-1 \\ dp[i+1][j] + dp[i][j+1]&\text{if } i+1 < m \ and \ j+1 < n \\ dp[i+1][j]&\text{if } i+1 < m \\ dp[i][j+1] &\text{if } \ j+1 < n \end{matrix} \right. dp[i][j]=⎩ ⎨ ⎧1dp[i+1][j]+dp[i][j+1]dp[i+1][j]dp[i][j+1]if i==m−1 and j==n−1if i+1<m and j+1<nif i+1<mif j+1<n
复杂度
时间复杂度: O ( N ⋅ M ) O(N \cdot M) O(N⋅M)
空间复杂度: O ( N ⋅ M ) O(N \cdot M) O(N⋅M)
Code
class Solution {
public:int uniquePaths(int m, int n) {int dp[120][120];for(int i = 1; i <= m; ++i) {for(int j = 1; j <= n; ++j) {dp[i][j] = 0;}}dp[m-1][n-1] = 1;for(int i = m-1; i >= 0; --i) {for(int j = n-1; j >= 0; --j) {if(i == m-1 && j == n-1) continue;if(i+1 < m && j+1 < n) {dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j+1];} else {if(i+1 < m) {dp[i][j] = dp[i+1][j];}if(j+1 < n) {dp[i][j] = dp[i][j+1];}}}}return dp[0][0];}
};
