线性系统性能分析方法3——频率特性分析法（频域分析法）

一种图解的分析方法，不必直接求解系统输出的时域表达式，不需要求解系统的闭环特征根，具有较多的优点。如：

①根据系统的开环频率特性揭示闭环系统的动态性能和稳态性能，得到定性和定量的结论，可以简单迅速地判断某些环节或者参数对系统闭环性能的影响，并提出改进系统的方法。

②时域指标和频域指标之间有对应关系，而且频率特性分析中使用大量简洁的曲线、图表及经验公式，简化控制系统的分析与设计。

③具有明确的物理意义，它可以通过实验的方法，借助频率特性分析仪等测试手段直接求得元件或系统的频率特性，建立数学模型作为分析与设计系统的依据，这对难于用理论分析的方法去建立数学模型的系统尤其有利。

④频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直观，并且可以拓展应用到某些非线性系统中。

1.频率特性的基本概念

（1）频率响应

频率响应是时间响应的特例，是控制系统对正弦输入信号的稳态正弦响应。即一个稳定的线性定常系统，在正弦信号的作用下，稳态时输出仍是一个与输入同频率的正弦信号，且稳态输出的幅值与相位是输入正弦信号频率的函数。

例：如图所示一阶RC网络，

ui(t)与uo(t)分别为输入与输出信号，其传递函数为：

其中T=RC，为电路的时间常数，单位为s。

在零初始条件下，当输入信号为一正弦信号，即ui(t)=Uisinωt。

Ui与ω分别为输入信号的振幅与角频率，可以运用时域法求电路的输出。

输出的拉氏变换为：

对上式进行拉氏反变换可得输出的时域表达式：

稳态输出与输入幅值比为：

输出与输入相位差为：

二者均仅与输入频率ω，以及系统本身的结构与参数有关。

实际上，频率响应的概念具有普遍意义。对于稳定的线性定常系统（或元件），当输入信号为正弦信号r(t)=sinωt时，过渡过程结束后，系统的稳态输出必为：

Css(t)=A(ω)sin(ωt+φ(ω))

如下图所示。

（2）频率特性

对系统的频率响应作进一步的分析，稳态输出与输入的幅值比A与相位差φ只与系统的结构、参数及输入正弦信号的频率ω有关。在系统结构、参数给定的前提下，幅值比A与相位差φ仅是ω的函数，可以分别表示为A(ω)与φ(ω)。因此，频率特性可定义为：

线性定常系统（或元件）在零初始条件下，当输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化时，系统稳态输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频率变化而呈现的变化规律为系统的频率特性。

频率特性可以反映出系统对不同频率的输入信号的跟踪能力，在频域内全面描述系统的性能。只与系统的结构、参数有关，是线性定常系统的固有特性。

A(ω)反映幅值比随频率而变化的规律，称为幅频特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在幅值上是放大（A＞1）还是衰减（A＜1）。

φ(ω)反映相位差随频率而变化的规律，称为相频特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在相位上是超前（φ＞0º）还是滞后（φ＜0º）。

系统的频率特性包含幅频特性与相频特性两方面，且强调频率ω是一个变量。

对于（1）中所举的例子，其幅频特性和相频特性的表达式分别为：

2.频率特性的复数表示方法

对于线性定常系统，当输入一个正弦信号r(t)=sinωt时，则系统的稳态输出必为：

Css(t)=A(ω)sin(ωt+φ(ω))

由于输入、输出信号均为正弦信号，因此可以利用电路理论将其表示为复数形式，则输入输出之比的指数表示法为：

可见，输出输入的复数比恰好表示了系统的频率特性，其幅值与相角分别为幅频特性、相频特性的表达式。

幅角表示法为：

如下图所示，当ω是一个特定的值时，可以在复平面上用一个向量去表示G(jω)。向量的长度为A(ω)，向量与正实轴之间的夹角为φ(ω)，并规定逆时针方向为正，即相角超前；规定顺时针方向为负，即相角滞后。

另外还可以将向量分解为实数部分和虚数部分，即：

R(ω)称为实频特性，I(ω)称为虚频特性。由复变函数理论可知：

以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。

并且由表达式可知，A(ω)与R(ω)为ω的偶函数，φ(ω)与I(ω)是ω的奇函数。

3.由传递函数求取频率特性

实际上，由于微分方程、传递函数、频率特性是描述系统各变量之间相互关系的数学表达式，都是控制系统的数学模型。类似于微分方程与传递函数之间可以相互转换，系统的频率特性也可以由已知的传递函数通过简单的转换得到，这种求取方法称为解析法。

系统的输出分为两部分，第一部分为瞬态分量，对应特征根；第二部分为稳态分量，它取决于输入信号的形式。对于一个稳定系统，系统所有的特征根的实部均为负，瞬态分量必将随时间趋于无穷大而衰减到零。因此，系统响应正弦信号的稳态分量必为同频率的正弦信号。

设n阶系统的传递函数为：

为简化分析，假定系统的特征根全为不相等的负实根。

输入信号为：r(t)=sinωt

将输入信号与传递函数相乘可得输出信号，再进行拉氏变换可得：

对输出求拉氏反变换可得：

系数Kc和K-c由留数定理确定，可以求出：

A(ω)是系统的输出与输入幅值比，为系统的幅频特性表达式。φ(ω)是系统的输出与输入幅值比，为系统的相频特性表达式。系统的频率特性为：

可推得一个十分重要的结论：系统的频率特性可由系统的传递函数G(s)将jω代替其中的s而得到。由拉氏变换可知，传递函数的复变量s=σ+jω。当σ=0时，s =

jω。所以G(jω)就是σ=0时的G(s)。即当传递函数的复变量s用jω代替时，传递函数转变为频率特性，这就是求取频率特性的解析法。

因此，在求已知传递函数系统的正弦稳态响应时，可以避开时域法需要求拉氏变换及反变换的繁琐计算，直接利用频率特性的物理意义简化求解过程。

频率特性的物理意义

1.在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确定的数值，不是频率特性。当输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性。

2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外界因素无关。

3.频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号的频率有关。

4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有“低通滤波”与“相位滞后”作用。

频率特性的数学意义

频率特性是描述系统固有特性的数学模型，与微分方程、传递函数之间可以相互转换。

以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经典控制理论中最常用的数学模型。

4.常用频率特性曲线

①幅相频率特性曲线（奈氏曲线），图形常用名为奈奎斯特图或奈氏图，坐标系为极坐标。奈氏图反映A(ω)与φ(ω)随ω变化的规律。

②对数频率特性曲线，包括对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线。图形常用名为对数坐标图或波德图，坐标系为半对数坐标。波德图反映L(ω)=20lgA(ω)与φ(ω)随lgω变化的规律。

③对数幅相频率特性曲线，图形常用名尼柯尔斯图或对数幅相图，坐标系为对数幅相坐标。尼柯尔斯图反映L(ω)=20lgA(ω)随φ(ω)的变化规律，主要用于求取闭环频率特性。

5.幅相频率特性曲线（奈氏图）基本概念

绘制奈氏图的坐标系是极坐标与直角坐标系的重合。取极点为直角坐标的原点，极坐标轴为直角坐标的实轴。

由于系统的频率特性表达式为：

对于某一特定频率ωi下的G(jωi)总可以用复平面上的一个向量与之对应，该向量的长度为A(ωi)，与正实轴的夹角为φ(ωi)。

由于A(ω)和φ(ω)是频率的函数，当ω在0→∞的范围内连续变化时，向量的幅值与相角均随之连续变化，不同ω下的向量的端点在复平面上扫过的轨迹即为该系统的幅相频率特性曲线（奈氏曲线），如下图所示。

在绘制奈氏图时，常把ω作为参变量，标在曲线旁边，并用箭头表示频率增大时曲线的变化轨迹，以便更清楚地看出该系统频率特性的变化规律。

由各自的表达式可以发现，系统的幅频特性与实频特性是ω的偶函数，而相频特性与虚频特性是ω的奇函数，即G(jω)与G(-jω)互为共轭。因此，假定ω可为负数，当ω在-∞→0的范围内连续变化时，相应的奈氏图曲线G(jω)必然与G(-jω)对称于实轴。ω取负数虽然没有实际的物理意义，但是具有鲜明的数学意义，主要用于控制系统的奈氏稳定判别中。

当系统或元件的传递函数已知时，可以采用解析的方法先求取系统的频率特性，再求出系统幅频特性、相频特性或者实频特性、虚频特性的表达式，再逐点计算描出奈氏曲线。具体步骤如下：

①用jω代替s，求出频率特性G(jω)；

②求出幅频特性A(ω)与相频特性φ(ω)的表达式，也可求出实频特性与虚频特性，帮助判断G(jω)所在的象限。

③在0→∞的范围内选取不同的ω，根据A(ω)与φ(ω)表达式计算出对应值，在坐标图上描出对应的向量G(jω)，将所有G(jω)的端点连接描出光滑的曲线即可得到所求的奈氏曲线。

6.典型环节的奈氏图

（1）比例环节

传递函数：

用jω替换s，可求得比例环节的频率特性表达式为：

幅频特性：

相频特性：

比例环节的幅相频率特性：

比例环节的幅频特性、相频特性均与频率ω无关。所以当ω由0变到∞，G(jω)始终为实轴上的一个点，说明比例环节能完全、真实地复现任何频率的输入信号，幅值上有放大或衰减作用；φ(ω)=0º，表示输出与输入同相位，既不超前也不滞后。

（2）积分环节

传递函数：

用jω替换s，可求得积分环节的频率特性表达式为：

幅频特性：

相频特性：

φ(ω)=-90º

积分环节的幅相频率特性：

积分环节的幅相频率特性如图所示，在0＜ω＜∞的范围内，幅频特性与负虚轴重合。

积分环节的奈氏图表明积分环节是低通滤波器，放大低频信号、抑制高频信号，输入频率越低，对信号的放大作用越强；并且有相位滞后作用，输出滞后输入的相位恒为90º。

（3）微分环节

传递函数：

用jω替换s，可求得微分环节的频率特性表达式为：

幅频特性：

A(ω)=|ω|=ω

相频特性：

φ(ω)=90º

微分环节的幅相频率特性：

理想微分环节的奈氏图如图所示，在0＜ω＜∞的范围内，其奈氏图与正虚轴重合。

可见，理想微分环节是高通滤波器，输入频率越高，对信号的放大作用越强；并且有相位超前作用，输出超前输入的相位恒为90º，说明输出对输入有提前性、预见性作用。

（4）惯性环节

传递函数：

用jω替换s，可求得惯性环节的频率特性表达式为：

幅频特性：

相频特性：

根据实频特性与虚频特性表达式，可以判断出实频特性恒≥0，而虚频特性恒≤0，由此可见惯性环节的奈氏图必在坐标系的第四象限。

惯性环节的幅相频率特性：

惯性环节的奈氏图是一个位于第四象限的半圆，圆心为(1/2，0)，直径为1。若惯性环节的比例系数变为K，则幅频特性成比例扩大K倍，而相频特性保持不变，即奈氏图仍为一个半圆，但圆心为(K/2，0)，直径为K。

由惯性环节的奈氏图可知，惯性环节为低通滤波器，且输出滞后于输入，相位滞后范围为0º→-90º。

（5）一阶微分环节

传递函数：

用jω替换s，可求得一阶微分环节的频率特性表达式为：

幅频特性：

相频特性：

可见一阶微分环节的实频特性恒为1，而虚频特性与输入频率ω成正比。

当ω从0变到∞时，可以根据幅频特性与相频特性表达式描点绘制奈氏图，可以绘出三个点，见下表：

惯性环节的幅相频率特性：

根据这些数据绘出幅相频率特性，是平行于正虚轴向上无穷延伸的直线。

由一阶微分环节的奈氏图可知，一阶微分环节具有放大高频信号的作用，输入频率ω越大，放大倍数越大；且输出超前于输入，相位超前范围为0º→90º，输出对输入有提前性、预见性作用。

一阶微分环节的典型实例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二阶系统的动态性能，但存在放大高频干扰信号的问题。

（6）二阶振荡环节

传递函数：

用jω替换s，可求得二阶振荡环节的频率特性表达式为：

可以判断出虚频特性恒≤0，故曲线必位于第三与第四象限。

幅频特性：

相频特性：

以ξ为参变量，计算不同频率ω时的幅值和相角，其中几个重要的特征点见表。

在极坐标上画出ω由0变到∞时的矢量端点的轨迹，便可得到振荡环节的幅相频率特性，如图所示，且ξ1＞ξ2。且振荡环节与负虚轴的交点频率为ω=1/T，幅值为1/(2ξ)。

二阶振荡环节的幅相频率特性：

由奈氏图可知，振荡环节具有相位滞后的作用，输出滞后于输入的范围为0º→-180º；同时ξ的取值对曲线形状的影响较大，可分为以下两种情况。

ξ＞0.707

幅频特性A(ω)随ω的增大而单调减小，如上图中ξ1所对应曲线，此刻环节有低通滤波作用。当ξ＞1时，振荡环节有两个相异负实数极点，若ξ足够大，一个极点靠近原点，另一个极点远离虚轴（对瞬态响应影响很小），奈氏曲线与负虚轴的交点的虚部为1/(2ξ)≈0，奈氏图近似于半圆，即振荡环节近似于惯性环节，幅相频率特性如下图所示。

0≤ξ≤0.707

当ω增大时，幅频特性A(ω)并不是单调减小，而是先增大，达到一个最大值后再减小直至衰减为0，这种现象称为谐振。奈氏图上距离原点最远处所对应的频率为谐振频率Mr，所对应的向量长度为谐振峰值Mr=A(ωr)=A(ωr)/A(0)。谐振表明系统对频率ωr下的正弦信号的放大作用最强。

由幅频特性A(ω)对频率ω求导数，并令其等于零，可求得谐振角频率ωr和谐振峰值Mr。

可得振荡环节的谐振角频率为：

谐振峰值为：

可见随ξ的减小，谐振峰值Mr增大，谐振频率ωr也越接近振荡环节的无阻尼自然振荡频率ωn。谐振峰值Mr越大，表明系统的阻尼比ξ越小，系统的相对稳定性就越差，单位阶跃响应的最大超调量σ%也越大。当ξ=0时，ωr≈ωn，Mr≈∞，即振荡环节处于等幅振荡状态。

（7）延迟环节

传递函数：

用jω替换s，可求得延迟环节的频率特性表达式为：

幅频特性：

相频特性：

延迟环节的幅相频率特性：

ω=∞时，φ(ω)=-∞，即输出相位滞后输入为无穷大。当ω从0连续变化至∞时，奈氏曲线沿原点作半径为1的无穷次旋转，τ越大，转动速度越大。

故延迟环节的奈氏图是一个以原点为圆心，半径为1的圆。即延迟环节可以不失真地复现任何频率的输入信号，但输出滞后于输入，而且输入信号频率越高，延迟环节的输出滞后就越大。

在低频区，频率特性表达式根据泰勒公式展开为：

当ω很小时，有：

即在低频区，延迟环节的频率特性近似于惯性环节。从奈氏图也可见，二者的曲线在低频区基本重合。

延迟环节与其他典型环节相结合不影响幅频特性，但会使相频特性的最大滞后为无穷大。如某系统传递函数是惯性环节与延迟环节相结合，传递函数为：

幅相频率特性为：

幅相频率特性：

可见随ω的增大，幅频特性A(ω)单调减小，而相位滞后单调增加，相频特性φ(ω)从0°一直变化到-∞。故该系统的奈氏图是螺旋状曲线，绕原点顺时针旋转∞次，最后终止于原点，与实轴、虚轴分别有无数个交点。

7.开环奈氏图的绘制

（1）定义

系统的频率特性有两种，由反馈点是否断开分为闭环频率特性Ф(jω)与开环频率特性Gk(jω)，分别对应于系统的闭环传递函数Ф(s)与开环传递函数Gk(s)。由于系统的开环传递函数较易获取，并与系统的元件一一对应，在控制系统的频率分析法中，分析与设计系统一般是基于系统的开环频率特性。

系统的开环频率特性为：

对于由多个典型环节组合而成的系统（延迟环节除外），其频率特性应该满足下面的规律（重要）：

控制系统是由典型环节组成的，则系统频率特性的绘制与典型环节的频率特性的绘制方法是基本相同的。可根据复变函数的性质求出系统开环频率特性的幅频特性A(ω)与相频特性φ(ω)的表达式，或由分母有理化求出实频特性与虚频特性，再由奈氏图的基本绘制方法求出系统的开环奈氏图。

（2）开环奈氏图基本绘制规律

当系统开环传递函数为多个典型环节组合时，其开环奈氏图的绘制与根轨迹的绘制类似，具有一定的规律。可以先根据开环传递函数的某些特征绘制出近似曲线，再利用A(ω)与φ(ω)等的表达式描点，在曲线的重要部分修正。

1）低频段的确定（ω→0）

Gk(jω)的低频段（ω较小，第二部分近似为1）表达式为：

根据向量相乘是幅值相乘、相位相加的原则，求出低频段幅频特性与相频特性表达式分别为：

可见低频段的形状（幅值与相位），均与系统的型别v与开环传递系数K有关。

0型系统，v=0：A(0)=K，φ(0)=0º，低频特性为实轴上的一点(K，0)。
Ⅰ型系统，v=1：A(0)=∞，φ(0)=-90º。
Ⅱ型系统，v=2：A(0)=∞，φ(0)=-180º。

2）高频段的确定（ω→∞）

不失一般性，假定系统开环传递函数全为不相等的负实数极点与零点。

m为分子多项式的阶数，n为分母多项式的阶数，且一般m＜n。

故A(∞)=0，高频段终止于坐标原点；而最终相位为φ(∞)=-(n-m)90°，由n-m确定特性以什么角度进入坐标原点。

①(n-m)=1，则φ(∞)=-90°，即幅相特性沿负虚轴进入坐标原点。

②(n-m)=2，则φ(∞)=-180°，即幅相特性沿负实轴进入坐标原点。

③(n-m)=3，则φ(∞)=-270°，即幅相特性沿正虚轴进入坐标原点。

3）奈氏图与实轴、虚轴的交点

将频率特性表达式按照分母有理化的方法分解为实部与虚部。

①曲线与实轴的交点处的频率由虚部为0求出：

Im[G(jω)]=I(ω)=0

求出交点处的ω，再代回频率特性表达式求出交点的坐标。

②曲线与虚轴的交点处的频率由实部为0求出：

Re[G(jω)]=R(ω)=0

求出交点处的ω，再代回频率特性表达式求出交点的坐标。

4）开环零点对曲线的影响

①如果系统的开环传递函数没有开环零点，则在ω由0增大到∞过程中，特性的相位单调连续减小（滞后连续增加），特性曲线平滑地变化。奈氏曲线应该是从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。

②如果系统的开环传递函数有开环零点，则在ω由0增大到∞过程中，特性的相位不再是连续减小。视开环零点的时间常数的数值大小不同，特性曲线的相位可能在某一频段范围内呈增加趋势，此时，特性曲线出现凹部。

5）常见系统的开环传递函数与开环概略奈氏图

8.对数频率特性图（Bode图）及其绘制

对数频率特性图（Bode图）将幅频和相频特性分别画出，并按对数分度运算，使系统的分析和设计变得十分简便。

（1）伯德（Bode）图的构成

对数幅频特性图的横坐标是对ω取以10为底的对数进行分度的。

标注角频率的真值，以方便读数。ω每变化十倍，横坐标1gω就增加一个单位长度，记为decade或简写dec，称之为“十倍频”或“十倍频程”。

横坐标对于ω是不均匀的，但对1gω却是均匀的线性分度。由于0频无法表示，横坐标的最低频率是由所需的频率范围来确定的。

若横轴上有两点ω1与ω2，则该两点的距离不是ω2-ω1，而是lgω2-lgω1，如2与20、10与100之间的距离均为一个单位长度，即一个十倍频程。

横坐标为lgω。

纵坐标是对幅值分贝(dB)数进行分度，用L(ω)=20lgA(ω)表示。

对数相频特性图的横坐标分度方法同对数幅频特性，而纵坐标则对相角进行线性分度，单位为度（°），仍用φ(∞)表示。

在极坐标中绘制幅相频率特性，要花较多时间，而在绘制对数幅频特性时，有：

（2）Bode图的特点

1）横坐标按频率ω取对数分度，低频部分展宽，而高频部分缩小。与对实际控制系统（一般为低频系统）的频率分辨要求吻合。

2）幅频特性取分贝数［20Lg|GH|］后，使各因子间的乘除运算变为加减运算，在Bode图上则变为各因子幅频特性曲线的叠加，大大简化了作图过程，使系统设计和分析变得容易。

3）可采用由直线段构成的渐近特性（或稍加修正）代替精确Bode图，使绘图十分简便。

4）在控制系统的设计和调试中，开环放大系数K是最常变化的参数。而K的变化不影响对数幅频特性的形状，只会使幅频特性曲线作上下平移。

（3）典型Bode图

1）比例环节

说明比例环节可以完全、真实地复现任何频率的输入信号，幅值上有放大或衰减作用；

φ(ω)=0º，表示输出与输入同相位，既不超前也不滞后。

2）积分环节(1/s)

对数幅频特性和对数相频特性分别为：

频率每增加10倍，幅频特性下降20dB，故积分环节的对数幅频特性是一条斜率为-20dB/dec的斜线，并且在ω=1这一点穿过0dB线。

表明积分环节是低通滤波器，放大低频信号、抑制高频信号，输入频率越低，对信号的放大作用越强；并且有相位滞后作用，输出滞后输入的相位恒为90º。

3）微分环节（s）

微分环节的对数幅频特性是一条斜+20dB/dec的斜线，并且在ω=1这一点穿过0dB线。

积分环节与理想微分环节的对数幅频特性相比较，只相差正负号，二者以ω轴为基准，互为镜象；同理，二者的相频特性互以ω轴为镜象。

可见，理想微分环节是高通滤波器，输入频率越高，对信号的放大作用越强；并且有相位超前作用，输出超前输入的相位恒为90º，说明输出对输入有提前性、预见性作用。

4）惯性环节

为简化对数频率特性曲线的绘制，常常使用渐近对数幅频特性曲线（特别是在初步设计阶段）。

①低频段

在Tω<<1(或ω<<1/T)的区段，可以近似地认为Tω≈0，从而有：

故在频率很低时，对数幅频特性可以近似用零分贝线表示，这称为低频渐近线。

②高频段

在Tω>>1(或ω>>1/T)的区段，可以近似地认为：

L(ω)为因变量，lgω为自变量，因此对数频率特性曲线是一条斜线，斜率为-20dB/dec，称为高频渐近线，与低频渐近线的交点为ωT=1/T，ωT称为转折频率，是绘制惯性环节的对数频率特性时的一个重要参数。

同时，如需由渐近对数幅频特性曲线获取精确曲线，只须分别在低于或高于转折频率的一个十倍频程范围内对渐近对数幅频特性曲线进行修正就足够了。

精确相频特性为：φ(ω) = -arctan (ωT)；

对数相频特性曲线将对应于ω=1/T及φ(ω)=-45°这一点斜对称，如图所示，可以清楚地看出在整个频率范围内，φ(ω)呈滞后持续增加的趋势，极限为-90º。

当惯性环节的时间常数T改变时，其转折频率1/T将在Bode图的横轴上向左或向右移动。与此同时，对数幅频特性及对数相频特性曲线也将随之向左或向右移动，但它们的形状保持不变。

5）一阶微分环节（Ts＋1）

①低频段

在Tω<<1(或ω<<1/T)的区段，对数幅频特性可以近似用零分贝线表示，为低频渐近线。

②高频段

在Tω>>1(或ω>>1/T)的区段，可以近似地认为高频渐近线是一条斜线，斜率为20dB/dec，当频率变化10倍频时，L(ω)变化20dB。转折频率为ωT=1/T。

一阶微分环节具有放大高频信号的作用，输入频率ω越大，放大倍数越大；且输出超前于输入，相位超前范围为0º→90º，输出对输入有提前性、预见性作用。

6）二阶振荡环节

①低频段

Tω<<1(或ω<<1/T)时，L(ω) = 20lg1 = 0dB，低频渐近线与0dB线重合。

②高频段

Tω>>1(或ω>>1/T)时，并考虑到（0≤ξ≤1），有L(ω) = -20lg(Tω)2= -40lg(Tω)=-40lgT-40lgω dB。这说明高频段是一条斜率为-40dB/dec的斜线，称为高频渐近线。

ωT=1/T为低频渐近线与高频渐近线交点处的横坐标，称为转折频率，也就是二阶振荡环节的无阻尼自然振荡频率ωn。

可见ξ<0.4时，渐近线需要加尖峰修正。随ξ的减小，谐振峰值Mr增大，谐振频率ωr也越接近振荡环节的无阻尼自然振荡频率ωn。谐振峰值Mr越大，表明系统的阻尼比ξ越小，系统的相对稳定性就越差，单位阶跃响应的最大超调量σ%也越大。当ξ=0时，ωr≈ωn，Mr≈∞，即振荡环节处于等幅振荡状态。

可知，当ω=0时，φ(ω)=0；ω=1/T时，φ(ω)=-90°；ω→∞时，φ(ω)→-180°。与惯性环节相似，振荡环节的对数相频特性曲线将对应于ω=1/T及φ(ω) =-90°这一点斜对称。

7）延迟（滞后）环节（e-Ts）

φ(ω)是呈指数规律下降的曲线，随ω增加而滞后无限增加。

9.开环伯德图的绘制

系统的频率特性有两种，由反馈点是否断开分为闭环频率特性Ф(jω)与开环频率特性Gk(jω)，分别对应于系统的闭环传递函数Ф(s)与开环传递函数Gk(s)。由于系统的开环传递函数较易获取，并与系统的元件一一对应，在控制系统的频率分析法中，分析与设计系统一般是基于系统的开环频率特性。控制系统的开环频率特性为：