初等矩阵和矩阵的初等行变换

初等矩阵

• 矩阵的初等行变换
  

• 对单位阵E进行一次初等行变化得到的阵叫做初等阵。

这里只能进行一次初等行变换。

置换阵

• 给矩阵【左乘】一个【置换阵】，相当与对该矩阵进行了一次【置换阵】对应的【置换】初等行变换；
  

数乘阵

• 给矩阵【左乘】一个【数乘阵】，相当于对该矩阵进行了一个【数乘阵】对应的【数乘】初等行变换；

倍加阵

• 给一个矩阵【左乘】一个【倍加阵】，相当于给改矩阵进行了一次【倍加阵】对应的【倍加】初等行变换；

结论：

• 给矩阵进行一次初等行变化，就相当于对该矩阵左乘了一个对应的初等阵。

初等矩阵与初等行变换的推导关系

初等矩阵与初等行变换的推导过程

一、矩阵A进行一次【数乘】的初等行变化，相当于对矩阵A【左乘】了一个【数乘阵】得到A1。

二、对矩阵A1进行一次【置换】初等行变换，相当于对矩阵A1【左乘】了一个【置换阵】得到A2。把得到A1和得到A2对应的【左乘】的两个【初等阵】进行展开列举。

由于矩阵相乘具备结合律，因此把左侧【左乘】的两个【初等阵】（【数乘阵】和【置换阵】）先相乘，就得到了一个新的矩阵与A相乘，就得到了并A表达的A2。

三、给矩阵A2进行一次【倍加】操作，相当于给矩阵A2【左乘】了一个【倍加阵】得到A3。把刚才得到A2中使用的【左乘】的【初等阵】与现在的【倍加阵】展开列举，并使用结合律进行相乘，就得到了用A表达的A3。

由于矩阵相乘具备结合律，因此把左侧【左乘】的两个【初等阵】（【倍加阵】和得到A2的【初等阵】）先相乘，就得到了一个新的矩阵与A相乘。

四、同样的把矩阵A3进行一次【倍加】初等行变换，就相当于对矩阵A3【左乘】了一个【倍加阵】，得到A4。同时把得到A3的阵和得到A4的【倍加阵】进行展开，借用矩阵的结合律就得到了用A表示的矩阵A4。

五、利用同样的步骤可以得到A5的【左乘】乘法表达和A6的矩阵乘法表达。

A6就是最后的阶梯矩阵。

A5的矩阵乘法表达：

A6的矩阵乘法表达：

初等矩阵与初等行变换的推导结论

• 矩阵经过据此【初等行变换】成为另一个矩阵，相当于给该矩阵【左乘】一个【行变换矩阵】。
• 【行变换矩阵】是由若个【初等阵】一次相乘而得到。初等矩阵的内容和顺序对应初等行变换的倒序。
• 也就是说最开始进行【初等行变换】对应的【初等矩阵】越接近A，越往后的【初等行变换】对应的【初等矩阵】越远离A。
• 对【单位阵】进行一次【初等行变换】得到的这些【初等阵】具有十分重要的意义，是对后续学习【矩阵求逆】和【LU分解】的重要基础
  

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