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\begin{document}\begin{CJK}{UTF8}{gkai}%正文放在此行下与\end{CJK}之间就行\tableofcontents\newpage\section{介绍}\label{sec:introduction}高等数学题库，方便查询公式、题目和答案及其 \LaTeX 代码，可以在开卷的数学竞赛中提高解析效率。\begin{itemize}\item 第\ref{sec:detail}节，基本数学符号和表达式\item 第\ref{sec:detail2}节，导数公式和题目\item 第\ref{sec:detail3}节，概率统计公式和题目\end{itemize}\section[基本数学符号和表达式]{基本数学符号和表达式}\label{sec:detail}平方根 $\sqrt{x}$立方根 $\sqrt[3]{x}$分数的代码是 $\frac{a}{b}$求和的代码是 $\sum_{i=1}^{n} i$积分 $\int_{a}^{b} f(x) dx$一重积分 $$ \int_{x=0}^3 x^2\ = 9 $$二重积分号 $\iint$二重积分 $$ \iint dxdy = S $$三重积分号 $\iiint$三重积分 $$ \iiint dxdydz = V $$封闭积分 $\oint$平均积分 $\int\hspace{-0.95em}-\ f(x)\, \mathrm{d}x$极限 $\lim_{x \to \infty} f(x)$乘积 $\prod_{i=1}^{n} a_i$无穷大 $\infty$正无穷大： $+\infty$负无穷大： $-\infty$圆周率 $\pi$虚数单位 $i$指数 $e^{x}$对数 $\log_{a} b$绝对值 $|x|$向量 $\vec{a}$希腊字母 $\alpha, \beta, \gamma, \Theta$上标 $x^2$下标 $x_i$\begin{table}[htbp]\centering\caption{希腊字母表}\begin{tabular}{|c|c|}  \hline  序号 & 希腊字母 \\ \hline1 & $\alpha$ \\ \hline2 & $\beta$ \\ \hline3 & $\gamma$ \\ \hline4 & $\delta$ \\ \hline5 & $\epsilon$ 或 $\varepsilon$ \\ \hline6 & $\zeta$ \\ \hline7 & $\eta$ \\ \hline8 & $\theta$ 或 $\vartheta$ \\ \hline9 & $\iota$ \\ \hline10 & $\kappa$ \\ \hline11 & $\lambda$ \\ \hline12 & $\mu$ \\ \hline13 & $\nu$ \\ \hline14 & $\xi$ \\ \hline15 & $o$ \\ \hline16 & $\pi$ \\ \hline17 & $\rho$ \\ \hline18 & $\sigma$ 或 $\varsigma$ \\ \hline19 & $\tau$ \\ \hline20 & $\upsilon$ \\ \hline21 & $\phi$ 或 $\varphi$ \\ \hline22 & $\chi$ \\ \hline23 & $\psi$ \\ \hline24 & $\omega$ \\ \hline\end{tabular}\end{table}矩阵：\begin{equation}\begin{gathered}\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\quad\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}\quad\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\quad\begin{Bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{Bmatrix}\quad\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\quad\begin{Vmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{Vmatrix}\end{gathered}\end{equation}单位矩阵 $$\begin{bmatrix}1&0&0 \\0&1&0 \\0&0&1 \\\end{bmatrix}$$m×n矩阵 $$A=\begin{bmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}} \\{a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}} \\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots} \\{a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}} \\\end{bmatrix}$$行列式 $$D=\begin{vmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}} \\{a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}} \\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots} \\{a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}} \\\end{vmatrix}$$多行公式\begin{equation}\begin{split}C(\mathcal{A},\mathcal{P},\mathcal{F}) & = \sum_{i\in\mathcal{N}-\{0\}} t_{i}^{process}\\&=\sum_{i\in\mathcal{N}-\{0\}}\left(\sum_{j\in\mathcal{N}}\alpha_{i,j}(t_{i,j}^{offloading}+t_{i,j}^{up}) \right.\\ &\left.+(1-\sum_{j\in\mathcal{N}}\alpha_{i,j})t_{i}^{l}\right)\end{split}\end{equation}角度符号可以写为：$109^\circ 28^\prime 16^{\prime \prime}$省略号\ldots\vdots加粗符号 \textbf{x}斜体 \textit{$\Theta$}行列式的TeX代码是 $\det A$偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$偏微分方程 $\frac{\partial^2z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2z}{\partial y^2}=-2z$$$\frac{\partial u}{\partial t}= h^2 \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)$$一阶微分方程 $$ \frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x)\\ \left. \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \right|_{x=0} = 3x+1 $$二阶微分方程 $$y''+py'+qy=f(x)\\\frac{d^2y}{dx^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=f(x)$$基本函数 $$f(n)=\sum_{i=1}^{n}{n*(n+1)}$$$$x^{y}=(1+{\rm e}^x)^{-2xy}$$ $$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt\,.$$$$y(x)=x^3+2x^2+x+1$$ 分段函数 $$f_n =\begin {cases}a  &\text {if $n=0$}  \\r \cdot f_{n -1} &\text {else}\end{cases}$$齐次方程 $$\left \{ \begin{array}{c}a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{array}\right.$$\section[导数]{导数}\label{sec:detail2}\begin{table}[]  \centering  \caption{常用导数表}  \label{tab:derivative_table}\begin{tabular}{|c|c|c|}  \hline  序号 & 数学表达式 & 导数表达式 \\ \hline  1 & $f(x) = C$ & $f'(x) = 0$ \\ \hline  2 & $f(x) = x^n$ & $f'(x) = nx^{n-1}$ \\ \hline  3 & $f(x) = \sin x$ & $f'(x) = \cos x$ \\ \hline  4 & $f(x) = \cos x$ & $f'(x) = -\sin x$ \\ \hline  5 & $f(x) = \tan x$ & $f'(x) = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ \\ \hline 6 & $f(x) = \cot x$ & $f'(x) = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$ \\ \hline7 & $f(x) = \sec x$ & $f'(x) = \sec x \tan x = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$ \\ \hline8 & $f(x) = \csc x$ & $f'(x) = -\csc x \cot x = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}$ \\ \hline9 & $f(x) = \ln x$ & $f'(x) = \frac{1}{x}$ \\ \hline  10 & $f(x) = \ln(ax + b)$ & $f'(x) = \frac{a}{ax + b}$ \\ \hline 11 & $y = \ln[f(x)]$ & $y' = \frac{f'(x)}{f(x)}$ \\ \hline 12 & $f(x) = e^x$ & $f'(x) = e^x$ \\ \hline  13 & $f(x) = a^x$ & $f'(x) = a^x \ln a$ \\ \hline  14 & $f(x) = \log_a x$ & $f'(x) = \frac{1}{x \ln a}$ \\ \hline  15 & $f(x) = \sqrt{x}$ & $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ \\ \hline  16 & $f(x) = \frac{1}{x}$ & $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ \\ \hline  17 & $f(x) = \sin(ax + b)$ & $f'(x) = a\cos(ax + b)$ \\ \hline  18 & $f(x) = \cos(ax + b)$ & $f'(x) = -a\sin(ax + b)$ \\ \hline  19 & $f(x) = \tan(ax + b)$ & $f'(x) = a\sec^2(ax + b)$ \\ \hline   20 & $f(x) = e^{ax + b}$ & $f'(x) = ae^{ax + b}$ \\ \hline  21 & $f(x) = (u \cdot v)$ & $f'(x) = u' \cdot v + u \cdot v'$ \\ \hline  22 & $y = f(g(x))$ & $y' = g'(x)f'(g(x))$ \\ \hline    23 & $y = f(g(x))$ & $y'' = g''(x)f'(g(x)) + g'^2(x)f''(g(x))$ \\ \hline  24 & $f(x) = \frac{u}{v}$ & $f'(x) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$ \\ \hline  25 & $y = \frac{f'(x)}{f(x)}$ & $y' = \frac{f''(x)f(x) - f'^2(x)}{f^2(x)}$ \\ \hline\end{tabular}  \end{table}\subsection{求一阶导数及其值}\subsubsection{求一阶导数方程的值}设$f(x)=10x^2$，试按定义求 $f'(-1)$。解：$f'(x)=20x$$f'(-1)=-20$。\subsubsection{求一阶导数方程}设$f(x)=2x^2 + \ln x$， 试按定义求 $f''(x)$。解: $f''(x)=(1/x + 4x)'=4 - 1/x^2$。\subsection{求二阶导数}设$f(x)=(x + 10)^6$，试按定义求 $f'''(2)$。解: $f'''(x)=(6(10 +x)^5)''=(30(10 + x)^4)'=120(10 +x)^3$，$f'''(2)=207360$。设$f''(x)$存在，求函数$y=f(x^2)$的二阶导数$\frac{\partial^2y}{\partial x^2}$。解: $y'=2xf'(x^2)$，$y''=2f'(x^2) + 4f''(x^2)x^2$。\subsection{求解函数在某一点的切线与法线方程}求曲线$y=\cos x$上点$(\frac{\pi}{3},\frac{1}{2})$处的切线方程和法线方程。解：$y'|_{x=\frac{\pi}{3}}=(-\sin x)|_{x=\frac{\pi}{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，故曲线在点$(\frac{\pi}{3},\frac{1}{2})$处的切线方程为：$y=\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3}\left(-\frac{\pi}{3} + x\right)$，曲线在点$(\frac{\pi}{3},\frac{1}{2})$处的法线方程为：$y=\frac{1}{2} + \frac{-\frac{\pi}{3} + x}{2\sqrt{3}}$。\section[概率论与数理统计]{概率论与数理统计}\label{sec:detail3}\begin{table}[]\centering\caption{部分概率统计符号表}\begin{tabular}{|c|c|p{8cm}|}\hline序号 & 符号 & 用途说明 \\ \hline1 & $P(A)$ & 事件A的概率 \\ \hline2 & $P(AB)$ & 事件A和事件B同时发生的概率，若事件A与事件B互不相容，则$P(AB) = 0$\\ \hline3 & $P(A|B)$ & 在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率 \\ \hline4 & $\overline{A}$ & 事件A的对立事件（非A） \\ \hline5 & $\overline{A}\overline{B}$ & 事件A不发生且事件B也不发生的情况 \\ \hline6 & $P(A \cup B)$ & 事件A或事件B至少有一个发生的概率 \\ \hline7 & $P(A \cap B)$ & 事件A和事件B同时发生的概率 \\ \hline8 & $\varnothing$ & 空集（没有元素的集合） \\ \hline9 & $X$ & 随机变量 \\ \hline10 & $E(X)$ & 随机变量X的期望（均值） \\ \hline11 & $Var(X)$ & 随机变量X的方差 \\ \hline12 & $Cov(X,Y)$ & 随机变量X和Y的协方差 \\ \hline13 & $\rho_{XY}$ & 随机变量X和Y的相关系数 \\ \hline14 & $\sigma^2$ & 方差的一般表示符号 \\ \hline15 & $\mu$ & 均值的一般表示符号 \\ \hline16 & $f(x)$ & 连续型随机变量的概率密度函数 \\ \hline17 & $F(x)$ & 随机变量的累积分布函数 \\ \hline18 & $\boldsymbol{\chi}^2$ & 卡方分布 \\ \hline19 & $t$ & t分布 \\ \hline20 & $F$ & F分布 \\ \hline21 & $Beta(a,b)$ & Beta分布 \\ \hline22 & $Poisson(\lambda)$ & 托塞分布 \\ \hline23 & $N(\mu,\sigma^2)$ & 正态分布 \\ \hline\end{tabular}\end{table}\begin{table}[]\centering\caption{随机事件运算公式表}\begin{tabular}{|c|p{6cm}|p{9cm}|}\hline序号 & 随机事件运算公式 & 说明 \\ \hline1 & $A \cup B$ & 事件的并集，表示事件A发生或事件B发生或两者都发生的情况。 \\ \hline2 & $A \cap B$ & 事件的交集，表示事件A和事件B同时发生的情况。 \\ \hline3 & $\overline{A}$ & 事件的补集，表示事件A不发生的情况。 \\ \hline4 & $A - B$ & 事件的差集，表示事件A发生但事件B不发生的情况。 \\ \hline5 & $A \oplus B$ & 事件的对称差集，表示事件A发生而B不发生，或事件B发生而A不发生的情况。 \\ \hline6 & $(A \cup B)C = AC \cup AB$ &  事件A和B，A和C相互独立的情况下的概率分配律 \\ \hline7 & $AC \cap (AB \cup C) = ABC \cup AC = AC$ & 随机事件A与B相互独立，A与C相互独立，$BC = \oslash$，由事件的运算性质分配律可知。 \\ \hline8 & $P(AB) = P(A)P(B)$ & 在事件A和B相互独立的情况下成立。 \\ \hline9 & $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(B) \cdot P(A|B)$ & 并集的概率公式，用于计算两个事件至少有一个发生的概率。 \\ \hline10 & $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$ & 条件概率公式，用于计算两个事件同时发生的概率。 \\ \hline11 & $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$ & 条件概率公式的另一种形式，也用于计算两个事件同时发生的概率。 \\ \hline12 & $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ & 补集的概率公式，表示事件A不发生的概率。 \\ \hline13 & $P(A \oplus B) = P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)$ & 对称差集的概率公式，表示A和B中只有一个发生的概率。 \\ \hline14 & $P(A\overline{B}) = P(A - B) = P(A) - P(AB)$ & 公式  $P(A\overline{B}) = P(A - B) $表明，事件A发生但B不发生的概率，与事件A中去掉与B同时发生的部分后剩下的部分的概率是相等的。公式 $P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB) $提供了计算 P(A−B) 的具体方法，即先计算事件A发生的总概率，然后从中减去事件A和B同时发生的概率。 \\ \hline15 & $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$ & 在事件B已经发生的条件下（即在样本空间 B 中），事件A发生的概率就是事件A和B同时发生的样本空间在事件B的样本空间中的比例。 \\ \hline16 & $P(A|\overline{B}) = \frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{P(A) - P(AB)}{1 - P(B)}$ & $A\overline{B}$表示A发生且B不发生，这可以看作是A发生但去掉A和B同时发生的部分，即：$P(A\overline{B}) = P(A - B) = P(A) - P(AB)$事件$\overline{B}$表示B不发生，其概率为：$P(\overline{B}) = 1 - P(B)$因为任何事件发生的概率加上它不发生的概率总是1。将上述两个关系代入条件概率的公式中。 \\ \hline17 & $P((A \cup B)C) = P(AC \cup AB) = P(AC) +  P(BC) - P(ABC) = P(A)P(C) + P(B)P(C) - P(AB)P(C)$ & 在事件A、B、C相互独立的情况下，概率分配律和加法公式的展开。 \\ \hline\end{tabular}\end{table}\begin{table}[]\centering\caption{概率性质表}\label{tab:prob_properties}\begin{tabular}{|c|p{6cm}|p{8cm}|}\hline序号 & 概率性质运算公式 & 概率性质运算公式的说明 \\ \hline1 & $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ & 并集的概率等于各自概率之和减去交集的概率（加法公式） \\ \hline2 & $P(\overline{A} \cup \overline{B}) =  P(\overline{A}\overline{B}) = 1 - P(AB)$ & 事件A和B同时不发生的概率与它们同时发生的概率之间的互补关系 \\ \hline3 & $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = P(B) \times P(A|B)$ & 条件概率与联合概率的关系（乘法公式） \\ \hline4 & $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ & 某个事件不发生的概率等于1减去该事件发生的概率（补集的概率） \\ \hline5 & $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ & 在B发生的条件下A发生的概率（条件概率） \\ \hline6 & $P(A-B) = P(A) - P(AB)$ & 事件A发生但事件B不发生的概率，也可以理解为事件A与事件B的补集（即非B）的交集的概率。而 P(A) 是事件A发生的概率，P(AB) 是事件A和事件B同时发生的概率。 \\ \hline7 & $P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) - \sum_{i<j} P(A_i \cap A_j) + \sum_{i<j<k} P(A_i \cap A_j \cap A_k) - \dots$ & 任意数量事件的并集的概率（包含-排除原理） \\ \hline8 & 由于$AB \subset A$，$AB \subset B$，按概率的性质有$P(AB) \leqslant P(A)$ 且$P(AB) \leqslant P(B)$，因此$P(AB) \leqslant \frac{P(A) + P(B)}{2}$ & 两个事件同时发生的概率（即它们的交集的概率）不会超过其中任何一个事件单独发生的概率 \\ \hline9 & $P(AB)=P(ABC)+P(AB \cap \overline{C})$ & 事件A、事件B发生可以分为两种情况：一种是事件C也发生，即$P(ABC)$；另一种是事件C不发生，即我们要求的$P(AB \cap \overline{C})$，它表示事件A、事件B发生且事件C不发生的概率。\\ \hline10 & $P(AB|\overline{C})=\frac{P(AB \cap \overline{C})}{P(\overline{C})}=\frac{P(AB\overline{C})}{P(\overline{C})}=\frac{P(AB)-P(ABC)}{P(\overline{C})}$ & 计算在给定某个条件（这里是事件C不发生）下，两个事件（这里是事件A和事件B）同时发生的概率。 \\ \hline11 & $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)$ & 事件A、B、C中至少有一个发生的概率。 \\ \hline12 & $P(ABC) = P(AB)P(C)$ & A，B，C是3个随机事件，且A，C相互独立，B，C相互独立，则$A \cup B$与C相互独立的充分必要条件是AB，C相互独立。 \\ \hline% 你可以继续添加更多的行\end{tabular}\end{table}\begin{table}[]\centering\caption{等可能概型表}\label{tab:my_label}\begin{tabular}{|c|p{5cm}|p{8cm}|}\hline序号 & 等可能概型公式 & 等可能概型公式说明 \\ \hline1 & $P(A) = \frac{m}{n}$ & 其中，$A$是某一事件，$m$是该事件包含的基本事件个数，$n$是样本空间中基本事件的总数，且所有基本事件发生的可能性相等。 \\ \hline2 & $P(A_i) = \frac{1}{n}$ & 当每个基本事件$A_i$发生的概率都相等时，且共有$n$个基本事件时，每个基本事件$A_i$发生的概率为$\frac{1}{n}$。 \\ \hline% 这里可以添加更多的行\end{tabular}\end{table}\begin{table}[]\centering\caption{条件概率与事件的相互独立性表}\label{tab:conditional_independence}\begin{tabular}{|c|p{6cm}|p{8cm}|} \hline序号 & 运算公式 & 说明 \\ \hline1 & $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ & 条件概率的定义，当$P(B) > 0$ \\ \hline2 & $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$ & 条件概率的另一种形式 \\ \hline3 & $A \perp B$ 或 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ & 事件A和B相互独立 \\ \hline4 & $P(A|B) = P(A)$ & 当事件B发生时，事件A发生的概率不变，即A、B独立 \\ \hline5 & $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B|A)P(C|A \cap B)$ & 条件概率链式法则 \\ \hline6 & $A \perp B \text{ 且 } B \perp C \nRightarrow A \perp C$ & 独立性的非传递性 \\ \hline7 & $P(AC|AB \cup C) = \frac{P(AC \cap (AB \cup C))}{P(AB \cup C)} = \frac{P(A)P(C)}{P(A)P(B) + P(C)}$ & 随机事件A与B相互独立，A与C相互独立，$BC = \oslash$时的条件概率公式 \\ \hline\end{tabular}\end{table}\begin{table}[]\caption{全概率公式与贝叶斯公式表}\begin{tabular}{|c|c|p{8cm}|}\hline序号 & 全概率公式与贝叶斯公式 & 说明 \\ \hline1 & $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) P(A | B_i)$ & 全概率公式，用于计算事件A发生的概率，其中$B_1, B_2, ..., B_n$是完备事件组，且$P(B_i) > 0$ \\ \hline2 & $P(B_i | A) = \frac{P(B_i) P(A | B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j) P(A | B_j)}$ & 贝叶斯公式，用于计算在事件A已经发生的条件下，事件$B_i$发生的条件概率 \\ \hline\end{tabular}\label{tab:probability_formulas}\end{table}\subsection{古典概型}在5双不同的鞋子中任取4只，则这4只鞋子中至少有2只鞋子配成1对的概率是多少?解：这是一个古典概型问题。设$A=$“所取的4只鞋子中至少有2只鞋子配成1对”，则$\overline{A}=$“所Q取的4只鞋子中，没有2只能配成1对”。首先，在10只鞋子中随机取4只，因此样本点总数$n=\left( \begin{array}{c} 10 \\ 4 \end{array} \right)=210$,又$\overline{A}$可表现为先从5双中取4双，再从每双中各取1只，因此事件A的样本点个数$n_A=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)=80$，从而$P(A) =1-P(\overline{A})=1-\frac{80}{210}=\frac{13}{21}$注1：古典概型的解题关键是计算样本空间的样本点总数n和随机事件A的样本点个数$n_A$。因此，应该先分析完成随机试验和随机事件的先后步骤，并正确计算每个步骤的结果数。在计数过程中恰当地使用“排列”或“组合”。注2：当求解一个较复杂的事件概率时，常常考虑求它的逆事件，可以简化问题求解。将红、黑、白3个球放置到4个不同的盒子中去(设盒子足够大，可以容纳所有的球)，求下列事件的概率：(1)3个球都在某一指定的盒子里；(2)3个球都在某一盒子里；(3)指定的3个盒子里各有1个球；(4)3个球在不同的3个盒子里。解：这是一个古典概型问题。首先，将3个球放入4个盒子，因此样本点总数$n=4^3=64$。(1)设A=“3个球都在某一指定的盒子里”，则$P(A)=\frac{1}{64}$；(2)设B=“3个球都在某一盒子里”，B与A的区别在于:A中盒子已经事先确定了，而B中盒子没有事先确定，因此B比A多了选盒子的过程，事件B的样本点个数$n_B=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right)=4$.所以$P(B)=\frac{4}{64}=\frac{1}{16}$；(3)设C=“指定的3个盒子里各有1个球”，将不同颜色的球放入指定的3个盒子，事件C的样本点个数$n_c=A^3_3= 6$，所以$P(C)=\frac{6}{64}=\frac{3}{32}$；(4)设D=“3个球在不同的3个盒子里”，D与C的区别在于：D比C多了选盒子的过程，事件D的样本点个数$n_D=A^3_4=24$，所以$P(D)=\frac{24}{64}=\frac{3}{8}$。设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到3种颜色的球都取到为止，则取球次数恰为4的概率为$\frac{2}{9}$。解：设事件A=“直到3种颜色的球都取到为止，则取球次数恰为4次”，不妨定义事件B=“前3次取球中红色出现2次，白色出现1次，或白色出现2次，红色出现1次”，$P(B) = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \end{array} \right)^2\frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{9}$。事件C=“第4次取球取到黑色”，显然$P(C) = \frac{1}{3}$，则事件BC表示事件A中的一种情况，且由于是有放回地取球，因此事件B与事件C相互独立，$P(BC) = P(B)P(C) = \frac{2}{9} \times \frac{1}{3}$。类似地，事件A还可以有另外两种情况，即第4次出现的颜色是红色或白色，所以共有3种不同的情况，因此$P(A) = 3 \times P(B)P(C) = 3 \times \frac{2}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$。\subsection{事件的独立性和互斥性（或不相容性）}对于任意事件A和B，有若$AB \neq \oslash$，则A，B有可能独立。这个问题涉及到概率论中两个重要但容易混淆的概念：事件的独立性和事件的互斥性（或称为不相容性）。为了清晰地理解这两个概念及其区别，我们可以从以下几个方面进行阐述：1. 事件的独立性定义：如果两个事件A和B满足$P(AB) = P(A)P(B)$，则称事件A和B是独立的。解释：- 独立性是描述两个事件之间在概率上的一种关系，即一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。- 独立性并不要求事件A和B必须同时发生（即$AB \neq \oslash$），也不要求它们不能同时发生（即$AB \neq \oslash$的否定）。- 独立性是概率论中的一个重要概念，它允许我们在计算复合事件的概率时，将问题分解为更简单的问题。2. 事件的互斥性（或不相容性）定义：如果两个事件A和B满足$AB = \oslash$，则称事件A和B是互斥的（或不相容的）。解释：- 互斥性是描述两个事件在发生上的一种关系，即两个事件不能同时发生。- 互斥性是事件本身的性质，与概率无关。无论这两个事件的概率是多少，只要它们不能同时发生，就是互斥的。- 互斥性与独立性是两个完全不同的概念。互斥的事件不一定独立（例如，在抛掷一个骰子的实验中，事件“点数为1”和事件“点数为2”是互斥的，但不是独立的，因为知道一个事件发生后，另一个事件就不可能发生了），而独立的事件也不一定互斥（例如，在抛掷两个独立骰子的实验中，两个骰子都出现点数为1的事件是独立的，但不是互斥的，因为两个事件可以同时发生）。3. 总结- 事件的独立性是描述两个事件在概率上的一种关系，即一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。- 事件的互斥性是描述两个事件在发生上的一种关系，即两个事件不能同时发生。- 两者是两个不同的概念，之间没有必然的联系。一个事件可以与另一个事件既独立又互斥（但这在实际情况中很少见），也可以只满足其中一个条件，或者两个条件都不满足。解：注意A与B独立的条件是$P(AB) = P(A)P(B)$，是一个关于事件概率的性质。而$AB = \oslash$是指A与B互不相容，是事件本身的性质，与概率性质无关，两者是两个不同的概念，之间无必然关系，因此若$AB \neq \oslash$，则A，B有可能独立。\subsection{独立事件和条件概率}设随机事件A与B相互独立，A与C相互独立，$BC = \oslash$，$P(A) = P(B) = \frac{1}{2}$，$P(AC|AB \cup C) = \frac{1}{4}$，求P(C)。解：这是一道综合性的考试真题，涉及事件的性质、事件的互斥与独立的定义和条件概率的求解。由条件概率公式知：$P(AC|AB \cup C) = \frac{P(AC \cap (AB \cup C))}{P(AB \cup C)}$由事件的运算性质分配律可知$AC \cap (AB \cup C) = ABC \cup AC = AC$，由A与C相互独立可知$P(AC) = P(A)P(C)$。由$BC = \oslash$可知AB与C互不相容，所以$P(AB \cup C) = P(AB) + P(C)$，由A与B相互独立可知$P(AB) = P(A)P(B)$，即$P(AC|AB \cup C) = \frac{P(A)P(C)}{P(A)P(B) + P(C)} = \frac{0.5P(C)}{0.5 \times 0.5 + P(C)} = \frac{1}{4}$，经计算可得$P(C) = \frac{1}{4}$。这是一道关于概率论中独立事件和条件概率的题目。首先，我们需要理解题目给出的条件和要求，然后逐步推导出答案。题目条件：1.随机事件A与B相互独立。2.随机事件A与C相互独立。3.$BC = \oslash$（即事件B和C是互斥的，不能同时发生）。4.已知 P(A)=0.5，P(B)=0.5。5.需要求解的是 P(C)。解题步骤：1.理解独立性和互斥性：- 独立性：如果事件A的发生不影响事件B的发生概率，则称A与B独立。即 $P(AB) = P(A)P(B)$。- 互斥性：如果事件A和B不能同时发生，则称A与B互斥。即 $P(AB) = 0$。2.应用条件概率公式：题目中并未直接给出求P(C)的直接条件，但给出了$P(AC|AB \cup C)$的表达式（尽管这个表达式在解题过程中并未直接使用）。不过，我们可以利用独立性和互斥性来构建与P(C) 相关的等式。3.利用事件的运算性质：- $AC \cap (AB \cup C) = AC$（因为AC已经是$AB \cup C$的子集）。- 由于A与C独立，有$P(AC) = P(A)P(C)$。- 由于$BC = \oslash$，则AB与C互不相容，即$P(AB \cap C) = 0$。因此，$P(AB \cup C) = P(AB) + P(C)$。4.构建等式求解 P(C)：- 虽然题目中未直接使用条件概率$P(AC|AB \cup C)$，但我们可以利用 P(AC) 和$P(AB \cup C)$的关系来构建等式。然而，在本题中，更直接的方法是利用独立性和$P(AB \cup C) = P(AB) + P(C)$。- 由于 A 与 B 独立，$P(AB) = P(A)P(B)= 0.5 \times 0.5 = 0.25$。- 将 P(AB) 和 P(C) 代入$P(AB \cup C) = P(AB)+P(C)$，得到 0.25 + P(C)。- 接下来，我们需要找到一个与 P(C) 直接相关的等式。由于 A 与 C 独立，我们可以考虑 P(AC)，即 P(AC)=P(A)P(C)=0.5P(C)。但这里需要注意的是，题目并未直接要求使用 P(AC) 来求解，因此这一步主要是展示独立性的应用。- 然而，在没有其他额外信息的情况下，我们实际上无法直接通过等式求解 P(C)，因为题目没有给出足够的信息来构建一个只包含 P(C) 的等式。但通常，在类似的题目中，可能会给出更多关于 P(C) 或其他相关事件的概率信息。5.注意：- 在本题中，由于信息不足，我们无法直接计算出 P(C) 的确切值。- 题目可能是一个简化的版本，用于说明独立性和互斥性的概念，以及如何在概率论中应用这些概念。总结：这道题目展示了如何在概率论中处理独立事件和互斥事件，并如何利用这些性质来构建等式。然而，由于信息不足，我们无法直接求解 P(C)。在实际应用中，通常需要更多的信息来构建一个完整的等式系统，从而求解出未知的概率值。\subsection{事件的两两独立定义和并事件的概率求解}设两两独立的事件A，B和C满足条件：$ABC = \oslash$，$P(A) = P(B) = P(C) < \frac{1}{2}$，且已知$P(A \cup B \cup C) = \frac{9}{16}$，求P(A)。解：这是一道涉及事件的两两独立定义和并事件的概率求解的题目。因A、B、C两两独立，则$P(AB) = P(A)P(B)$，$P(AC) = P(A)P(C)$，$P(BC) = P(B)P(C)$，又$P(A) = P(B) = P(C)$，则$P(AB) = P(AC) = P(BC) = [P(A)]^2$，所以$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) = 3P(A) - 3[P(A)]^2 = \frac{9}{16}$。此方程得$P(A) = \frac{1}{4}$或$P(A) = \frac{3}{4}$，再由已知条件$P(A) < \frac{1}{2}$，得$P(A) = \frac{1}{4}$。\subsection{事件的性质、概率的性质和独立性的定义}设A，B，C是3个随机事件，且A，C相互独立，B，C相互独立，则$A \cup B$与C相互独立的充分必要条件是AB，C相互独立。解：这是一道涉及事件的性质，概率的性质和独立性的定义等。首先，由事件的运算性质分配律可知，$(A \cup B)C = AC \cup AB$，由概率的加法公式可展开为：$P((A \cup B)C) = P(AC \cup AB) = P(AC) +  P(BC) - P(ABC)$。又因A，C相互独立，所以，$P(AC) = P(A)P(C)$；B，C相互独立，所以，$P(BC) = P(B)P(C)$。因此，可得$P((A \cup B)C) = P(A)P(C) + P(B)P(C) - P(ABC)$。另一方面，$P(A \cup B)P(C) = (P(A) + P(B) - P(AB))P(C) = P(A)P(C) + P(B)P(C) - P(AB)P(C)$。显然，$A \cup B$与C相互独立的充分必要条件是$P(ABC) = P(AB)P(C)$，故$A \cup B$与C相互独立的充分必要条件是AB，C相互独立。为了理解这道概率论题目和它的答案，我们需要逐步分析题目中的条件和结论。题目分析题目条件：- 设A，B，C是3个随机事件。- A与C相互独立。- B与C相互独立。题目要求：- 找出$A \cup B$（A和B的并集）与C相互独立的充分必要条件。解题思路：1.理解事件独立性的定义：- 如果两个事件A和B相互独立，那么$P(AB) = P(A)P(B)$。2.利用概率的分配律和加法公式：- 分配律：$(A \cup B)C = AC \cup ABC$- 加法公式：$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(EF)$，用于计算两个事件的并集的概率。3.将独立性和概率公式结合：- 计算$P((A \cup B)C)$使用加法公式，并结合A与C、B与C的独立性。- 同时，计算$P(A \cup B)P(C)$，并比较两者是否相等，以确定$A \cup B$与C是否独立。解题步骤：1.计算$P((A \cup B)C)$：- 利用分配律和加法公式，得到$P((A \cup B)C) = P(AC) + P(ABC) - P(ABC)$（注意，第三项实际上与第二项重复，因此可以忽略）。- 由于A与C、B与C独立，所以$P(AC) = P(A)P(C)$，$P(BC) = P(B)P(C)$（虽然B与C的独立性在计算P((AUB)C)时未直接使用，但它是题目给出的条件）。- 因此，$P((A \cup B)C) = P(A)P(C) + P(ABC)$。2.计算$P(A \cup B)P(C)$：- 利用加法公式和独立性定义，得到$P(A \cup B)P(C) = (P(A) + P(B) - P(AB))P(C)$。- 展开后得：$P(A \cup B)P(C) = P(A)P(C) + P(B)P(C) - P(AB)P(C)$。3.比较两个概率：- 要使$A \cup B$与C独立，需要$P((A \cup B)C) = P(A \cup B)P(C)$。- 将上述两个表达式相等，得到：$P(A)P(C) + P(ABC) = P(A)P(C) + P(B)P(C) - P(AB)P(C)$。- 化简后得到：$P(ABC) = P(AB)P(C)$。结论：- 因此，$A \cup B$与C相互独立的充分必要条件是$P(ABC) = P(AB)P(C)$。\subsection{几何概型问题}随机地向半圆$0<y<\sqrt{2ax-x^2}$(a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何地方的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于$\frac{\pi}{4}$的概率为$\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}$。解：这是一个几何概型问题。二元方程$y=\sqrt{2ax-x^2}$的曲线是一个以(a,0)为圆心，a为半径，与x轴相交的半圆扇形区域，相交点为(0,0)和(2a,0)，随机点与坐标原点的连线与x轴正向夹角不超过$\frac{\pi}{4}$，当且仅当点落在由方程$y=\sqrt{2ax-x^2}$的曲线，y=x，y=0所围成的一个扇形区域D内，其面积为四分之一圆面积与一个三角形面积之和，再记事件A={原点和掷点的连线与x轴的夹角小于$\frac{\pi}{4}$}，则事件A的发生概率为边长为a的直角等腰三角形与半径为a的$\frac{1}{4}$圆的面积之和除以半圆的面积：$P(A)=\frac{\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{4}\pi a^2}{\frac{1}{2}\pi a^2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}$。注：几何概型的解题关键是将样本空间和随机事件正确地用几何图形来表述。\subsection{贝叶斯问题}设工厂A和工厂B的次品率分别是1\%和2\%，现从A和B的产品分别占60\%和40\%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品是由A厂生产的概率。解：这是一个贝叶斯问题。设$A_1$表示“抽到的产品是由A厂生产的”，$B_1$表示“抽到的是次品”，则$P(A_1) = 0.6$，$P(\overline{A_1}) = 0.4$，$P(B_1|A_1) = 0.01$，$P(B_1|\overline{A_1}) = 0.02$。由全概率公式有$P(B_1) = P(A_1)P(B_1|A_1) + P(\overline{A_1})P(B_1|\overline{A_1}) = 0.6 \times 0.01 + 0.4 \times 0.02 = 0.014$，再由贝叶斯公式有$P(A_1|B_1) = \frac{P(A_1)P(B_1|A_1)}{P(B_1)} = \frac{0.6 \times 0.01}{0.014} = \frac{3}{7}$，即该次品是由A厂生产的概率为$\frac{3}{7}$。这个问题是一个典型的贝叶斯问题，涉及到条件概率和先验概率、后验概率的计算。我们需要理解并应用贝叶斯定理来解决这个问题。首先，我们定义以下事件：- $A_1$：表示“抽到的产品是由A厂生产的”。- $\overline{A_1}$：表示“抽到的产品不是由A厂生产的”，即是由B厂生产的。- $B_1$：表示“抽到的是次品”。根据题目，我们已知以下概率：- $P(A_1) = 0.6$：从A厂生产的产品中抽取的概率。- $P(\overline{A_1}) = 0.4$：从B厂生产的产品中抽取的概率（因为A和B的产品分别占60%和40%）。- $P(B_1|A_1) = 0.01$：在A厂生产的产品中，次品的概率。- $P(B_1|\overline{A_1}) = 0.02$：在B厂生产的产品中，次品的概率。接下来，我们使用全概率公式来计算在不知道产品来源的情况下，抽到次品的概率$P(B_1)$：$P(B_1) = P(A_1)P(B_1|A_1) + P(\overline{A_1})P(B_1|\overline{A_1}) = 0.6 \times 0.01 + 0.4 \times 0.02 = 0.014$最后，我们使用贝叶斯公式来计算在已知抽到次品的情况下，该次品是由A厂生产的概率$P(A_1|B_1)$：$P(A_1|B_1) = \frac{P(A_1)P(B_1|A_1)}{P(B_1)} = \frac{0.6 \times 0.01}{0.014} = \frac{3}{7}$这个计算结果表明，在随机抽取到一件次品的情况下，该次品有$​\frac{3}{7}$​的概率是由A厂生产的。这个概率小于A厂产品在总体中的比例（60\%），说明尽管A厂的次品率较低（1\%），但由于B厂的次品率更高（2\%），且B厂产品在总体中也有一定比例（40\%），因此当抽到次品时，它来自B厂的可能性相对较大。\subsection{决策优化和概率论结合}小明玩战机游戏。初始积分为2。在游戏进行中，积分会随着时间线性地连续减少(速率为每单位时间段扣除1)。游戏开始后，每隔一个随机时间段(时长为互相独立的参数为1的指数分布)，就会有一架敌机出现在屏幕上。当敌机出现时，小明立即进行操作，可以瞬间击落对方，或者瞬间被对方击落。如被敌机击落，则游戏结束。如小明击落敌机，则会获得1.5个积分，并且可以选择在击落该次敌机后立即退出游戏，或者继续游戏。如选择继续游戏，则须等待到下一架敌机出现，中途不能主动退出。游戏的难度不断递增:出现的第n架敌机小明击落对方的概率为$0.85^n$”，被击落的概率为$1-0.85^n$，且与之前的事件独立。在任何时刻，如果积分降到0，则游戏自动结束。如果游戏中，小明被击落后，其之前的积分保持。那么为了游戏结束时的累积积分的数学期望最大化，小明应在击落第2架敌机时主动结束游戏。由于小明被击落后积分保持，目标是最大化游戏结束时的累积积分，所以每次击落敌机后，小明可以选择是否继续游戏，关键在于比较继续游戏的期望收益与立即结束的当前积分。这是一道关于决策优化和概率论结合的问题，解题思路主要围绕“如何最大化小明的累积积分”展开。小明初始积分为2分，积分随时间线性减少（每单位时间减1）。敌机按指数分布随机时间间隔出现，小明可选择击落敌机获得1.5分或被敌机击落导致游戏结束。小明击落敌机的概率随敌机编号n增加而递减（概率为$0.85^n$，被击落概率为$1 - 0.85^n$。敌机的出现是一个参数为1的泊松点过程(如需避免连续时间随机过程，这里也可用指数分布的无记忆性)。在任意时刻，每进行一个单位时间段，小明减少的积分为1。在击落每架敌机后，小明增加的积分为1.5。在这之后，每进行一个单位时间段，小明击落敌机的期望收益为$1.5(0.85)^n$。(1)在这种情况下，被敌机击落的期望损失为0。那么我们选择最大的n，使得$1.5(0.85)^n>1$，即$n=2$。通过计算可知，当小明击落第二架敌机后继续游戏的期望收益开始小于当前积分，因此最优策略是击落第二架敌机后立即结束游戏。假设游戏中，小明被击落后，其之前积累的积分会清零。那么为了结束时的期望积分最大化，小明也会选择一个最优的时间主动结束游戏。请问在游戏结束时(小明主动结束、或积分减到0)，最接近游戏结束时小明的整数期望积分是2。由于小明被击落后积分清零，目标是最大化结束时的期望积分，所以，可以通过计算不同情况下积分的数学期望，发现最优策略是等待第一架敌机出现，将其击落后立即结束游戏，这是因为击落第一架敌机后继续游戏的期望积分增长不足以弥补时间带来的积分损失。假设击落第n-1架敌机后，小明所拥有的积分为t。如选择继续等待到下一架敌机出现后结束游戏，积分的数学期望为：$0.85^n \times \int_{0}^t (t +1.5 - x)e^{-x} dx = 0.85^n \times (t + 0.5 \times (1 - e^{-t}))$ 当n=1且t≤2时，上式总是大于t。因此小明至少要等到第一架敌机出现。假如小明击落了第一架敌机，那么其手中积分至少为1.5。当n=2 且t≥1.5时，式子总是小于t。因此，假设小明已经击落了第一架敌机，那么选择“立即结束游戏”总是优于“击落第二架敌机后立即结束”。由第一问可知，无论小明现有积分为多少，其最优结束时间都应该不晚于击落第二架敌机。综上可得，小明的最优策略为:等待第一架敌机出现，将其击落后立即结束游戏。在此策略下，小明最终积分的期望应为式子在n=1及t=2时的值，约为2.067，最接近游戏结束时小明的整数期望积分是2。为了最大化结束时的期望积分，小明应该等待第一架敌机出现，将其击落后立即结束游戏。通过这样逐步分析和计算不同策略下的期望收益，我们可以找到最优的决策方案。\subsection{目录的制作}\subsubsection{第一步}subsubsection*{其他说明}laddcontentsline{toc} {subsubsection} {其他说明}\begin{table}[]\centering  \caption{我的表格标题}  \label{tab:my_table}  \begin{tabular}{|c|c|c|}  \hline  列1 & 列2 & 列3 \\ \hline  数据1 & 数据2 & 数据3 \\ \hline  数据4 & 数据5 & 数据6 \\ \hline  数据7 & 数据8 & 数据9 \\ \hline  \end{tabular}  \end{table}\end{CJK}
\end{document}