CRC
循环冗余码（Cyclic Redundancy Code， CRC）是一种用于校验通信链路上数字传输准确性的计算方法（通过某种数学运算来建立数据位和校验位(CRC)的约定关系的）。它是利用除法以及余数的原理来作错误侦测。
发送方: 使用某公式计算出被传送数据所含信息的一个值，并将此值 附在被传送数据后。
接收方: 对同一数据进行相同的计算，应该得到相同的结果。对比CRC结果。
数学背景
模二运算
模二运算，是一种二进制的四则运算，包括模二加(+)、模二减(-)、模二乘(x)、模二除(/) 四种二进制运算。与四则运算不同的是模二运算不考虑进位和借位.
重点
- 模二加法和模二减法的结果是相同的，并且与异或（XOR）运算的结果是一致的。 异或运算可以代替模二加减运算。可用硬件XOR异或门硬件代替运算。
- 模二乘法可看作两个步骤， 可用AND与门代替运算。
a. 第一步被乘数的位跟乘数进行与运算，再根据被乘数的阶进行左移被乘数的阶数位，被乘数的位数对应n个部分积。
b. 部分积进行模二加法运算。 - 模二乘除法与普通乘除法一样演算，区别是模二除法的被除数部分的阶数与除数P的阶数相同时，进行部分XOR异或运算，得到商数和余数，将余数的阶数与除数P循环计算，直到余数的阶数小于R，这个余数就是附加的校验码。
关注模二除法，因为它与CRC算法密切相关，它有三个性质： - 当最后余数的位数小于除数位数时，除法停止。
- 当被除数的位数小于除数位数时，则商数为0，被除数就是余数。
- 只要被除数或部分余数的位数与除数一样多，且最高位为1，不管其他位是什么数，皆可商1。
二进制多项式
对任意的二进制数都构造与其对应的一个二进制系数多项式。
例如：10011B，其对应的二进制系数多项式为P(X) = X^4 +X +1。
CRC算法中，对于二进制数都是以二进制系数多项式去描述的,。
CRC算法
CRC 算法的基本思想是将要传输数据后面填充N个0（既是传输数据信息左移N位）当做一个包含数据的多项式。将左移后的数据多项式 模二除以另一个生成多项式（Poly），得到的余数作为(CRC)校验数据附加到原数据后面。（模二除，CRC取余）
g(x)为校验码的生成多项式（上文中，除数的二级制多项式poly），不同的位数的CRC多项式，对应生成多项式的次幂不同，其纠错能力也不同。常见的标准多项式如下。
CRC-8算法为例，该算法生成多项式G(X)为
.除数p(x)为0b10000 0111。
CRC算法参数模型
NAME：参数模型名称，决定了CRC位宽和POLY生成多项式。
WIDTH：宽度，即CRC位数。
POLY：生成项的简写，以16进制表示。例如：CRC-32即是0x04C11DB7，忽略了最高位的"1"，即完整的生成项是0x104C11DB7。
INIT：这是计算CRC循环冗余码时，在数据后面预填充的预置值，十六进制表示。
REFIN：控制输入数据是否进行反转操作，True或False。若False，则输入数据的比特顺序反转，通常是将最高有效位（MSB）变为最低有效位（LSB）。
REFOUT：控制输出CRC校验值是否进行反转操作。在计算左移后数据多项式模二除以生成多项式后，余数（即CRC校验值）是否按位反转，True或False。
XOROUT：计算结果与此参数异或后得到最终的CRC值。
数据m(x)=0x31 ,CRC-8算法为例，该算法生成多项式G(X)为
.除数p(x)为0b10000 0111。数据m(x)左移八位即x8m(x)=0x3100。 p(x) 模二除以x8m(x)的余数为0x97.
以CRC-16/DNP算法为例，
● 多项式公式G(X)为x16 + x13 + x12 + x11 + x10 + x8 + x6 + x5 + x2 + 1，除数为p(x)=0x13D65= 0b10011 1101 0110 0101。
● 数据m(x)为=0x31=0b0011 0001。由于CRC-16/DNP模型的输入数据反转，其值RefIn m(x) =0b1000 1100 =0x8C。数据m(x)左移16位即x16RefInm(x)=0x8C0000。
● x16RefIn m(x) = 0x8C0000模二除以p(x) = 0x13D65 的余数为r(x)=0b0101 1001 1011 0101=0x59b5.输出数据翻转RefOut r(x)=0b1010 1101 1001 1010 =0xAD9A。
● 结果异或值XorOut为0xFFFF,CRC-16/DNP算法的CRC值= 结果异或值XorOut 按位异或 输出数据翻转RefOut r(x)，即RefOut r(x) ^ XorOut 。其值为0xAD9A ^ 0xFFFF = 0xE265。
传统CRC算法
实际应用时，发送方和接收方按以下方式通信：
发送方和接收方在通信前，约定好一个预设除数P(X)。P(X)首位和最后一位的系数必须为1. 以上面的CRC-8为例，多项式（poly）为X8 + X2 + X +1,对应除数P(X) = 10011.
发送方在发送前，将原始数据左移 除数P(X)的次幂的位，将其值进行模二除法运算生成余数F(X)（即CRC码），然后将其附加到原始数据后面一起T(X)发送给接收方。
接收方收到后将其T(X)模二除以约定好的除数P(X)，当且仅当余数为0时接收方认为没有差错.
CRC校验码的编码方法是用待发送的二进制数据D(x)昧以生成多项式G(x)，将最后的余数作为CRC校
验码。其实现步骤如下：
①没待发送的数据块是P位的二进制多项式D(x)．生成多项式为i阶的G(x)。在数据块的末尾掭加i
个0．数据块的长度增加到m+i位．对应的二进制多项式为xiD(x).
②用生成多项式G(x)去除xiD(x)，求得余数为阶数为i-1的二进制多项式R(x)。此二进制多项式R(x)
就是D(x)经过生成多项式G(x)编码的CRC校验码。
③用xiD(x)以模2的方式减去R(x)，得到二进制多项式xiD’(x)。xiD’(x)就是包含了CRC校验码的
待发送字符串。
基于查表法的CRC算法
计算机操作单元一般为字节为单位，所以采用一个或者多个字节长度的CRC进行校验传递数据，提高CRC校验速度。 预先将CRC计算出来，并存到校验表里，且校验表存在 该行的首个CRC码与该列的首个CRC码的异或值 与他们交集的CRC码相同，每次调用CRC算法采用查表法替代移位计算发放，可提升计算速度。
以8bit 一个字节长度的CRC为例，有256种情况，对应余数有0~255种，将256种余数分别计算出来，按照顺序存放在一个包含256个入口地址的校验表中，然后对输入数据流采用查表来实现。
设置数据流为,
数学表达式为
,其中⊕为异或运算符。生成多项式为G(x)17bit,则CRC码为CRC16,数学表示式为
CRC校验可以100％地检测出所有奇数个随机错误和长度小于或等于i(i为g(x)的阶数)的突发错误。
所以CRC的生成多项式的阶数越高，那么误判的概率就越小。
参考链接
【科普向】谁都能看懂的CRC（循环冗余校验）原理：https://blog.csdn.net/weixin_44256803/article/details/105805628
什么是CRC：https://info.support.huawei.com/info-finder/encyclopedia/zh/CRC.html
CRC校验查表法原理及实现（CRC-16）： https://blog.csdn.net/AgonyRR/article/details/107810982
CRC循环冗余校验 查表算法的代码实现:https://blog.csdn.net/weixin_44256803/article/details/111794445
CRC在线计算： http://www.ip33.com/crc.html
[1]马群,王会燃.基于查表法的嵌入式系统CRC算法研究[J].软件导刊,2014,13(10):51-52.
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