Pick 定理
Pick 定理：给定顶点均为整点的简单多边形，皮克定理说明了其面积 A {\displaystyle A} A 和内部格点数目 i {\displaystyle i} i、边上格点数目 b {\displaystyle b} b 的关系： A = i + b 2 − 1 {\displaystyle A=i+{\frac {b}{2}}-1} A=i+2b−1。
具体证明：Pick’s theorem
它有以下推广：
- 取格点的组成图形的面积为一单位。在平行四边形格点，皮克定理依然成立。套用于任意三角形格点，皮克定理则是 A = 2 × i + b − 2 {\displaystyle A=2 \times i+b-2} A=2×i+b−2。
- 对于非简单的多边形 P {\displaystyle P} P，皮克定理 A = i + b 2 − χ ( P ) {\displaystyle A=i+{\frac {b}{2}}-\chi (P)} A=i+2b−χ(P)，其中 χ ( P ) {\displaystyle \chi (P)} χ(P) 表示 P {\displaystyle P} P 的 欧拉特征数。
- 高维推广：Ehrhart 多项式
- 皮克定理和 欧拉公式（ V − E + F = 2 {\displaystyle V-E+F=2} V−E+F=2）等价。
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