C 题 基于光纤传感器的平面曲线重建算法建模
光纤传感技术是伴随着光纤及光通信技术发展起来的一种新型传感器技 术。它是以光波为传感信号、光纤为传输载体来感知外界环境中的信号，其 基本原理是当外界环境参数发生变化时，会引起光纤传感器中光波参量（如 波长、相位、强度等）的变化，即外界信号变化会对光信号产生调制。
光纤传感器具有质地轻、体积小、弯曲性能好，抗电磁干扰能力强，灵 敏度高，易于安装使用等优点。光纤传感技术最重要的是实时获得结构实时 应变信息，再通过解调出来的应变参数来重构得到结构的形变或位移。
光纤传感器已在许多领域有实际应用，比如能够对结肠部位进行形状重 建等。通过光纤传感器解调系统解调出来的应变信息，间接求出曲率等信
息，并基于离散曲率信息对曲线进行重构。
图 1. 光纤初始状态示意图
图 2. 光纤在平面内受外力作用变形后示意图
为了便于波长测量，在生产光纤时，已在等间距位置布设好传感器，本 次传感器间距为 0.6 米。在测量时，先在光纤水平状态（即初始状态如图 1
所示）测量各个传感器位置处信号的波长，然后在受到外力后（如图 2 所示） 测量各个传感器位置处信号的波长。波长λ与曲线曲率k之间的关系近似为
k = 
,其中λ0 是水平光纤在初始状态下测量的波长，λ是光纤在受到外力 后测量的波长，C为某个常数，这里假设为 4200 。本次实验分别测量了两组 不同初始状态下受力前后的波长值，具体数据见表 1 ，并请解决如下问题。
表 1. 波长(纳米)测量数据
问题 1.请根据表 1 给出的波长测量数据，构建数学模型，估算平面光栅 各个传感点(FBG1-FBG6)的曲率。进一步，假设初始点坐标为原点，初始的 水平光纤方向为x轴，垂直方向为y轴，光纤在平面内受力后在初始位置的切 线与水平方向的夹角为 45o ，请建立模型估算下列表格中横坐标x轴相应位置 处的曲率。
| 横坐标x (米) | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 |
| 测试 1 曲率k | |||||
| 测试 2 曲率k |
问题 2.请根据表 1 波长测量数据和问题 1 求出的曲率，构建数学模型， 分别重构平面曲线，并分析曲线的特点。
| 步骤 1: 确定曲率值 首先根据表 1 的波长测量数据和问题 1 中的曲率公式计算出了各个传感器点的曲率值。 步骤 2: 曲线重构 重构曲线通常涉及到数值方法，尤其是数值积分和插值。由于有离散的曲率值，可以使用数值积分来近似曲线的形状。一种简单的方法是使用梯形法则或辛普森法则来近似积分。 步骤 3: 使用数值积分 由于传感器之间的间距是固定的（0.6米），可以将曲线分成多个小段，每段对应两个相邻传感器之间的距离。对于每一段，可以使用线性插值来估算中间点的曲率，然后使用这个曲率值来计算该段的积分。 步骤 4: 累积转角和位置 通过积分曲率，可以计算出每个传感器点处光纤的累积转角。然后，可以使用这个累积转角和传感器的初始位置来计算光纤在受力后的新位置。 步骤 5: 曲线特点分析 一旦有了重构的曲线，可以分析其特点，例如：
|
问题 3.请根据平面曲线方程y = x3 + x(0 ≤ x ≤ 1) ，以适当的等间距弧 长采样，计算这些采样点的曲率。然后以采样的曲率为基础，构建数学模 型，重构平面曲线，并分析重构曲线与原始曲线出现误差的原因。
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