[导读]：超平老师的Scratch蓝桥杯真题解读系列在推出之后，受到了广大老师和家长的好评，非常感谢各位的认可和厚爱。作为回馈，超平老师计划推出《Python蓝桥杯真题解析100讲》，这是解读系列的第74讲。

扎气球最高分，本题是2021年11月27日举办的第13届蓝桥杯青少组Python编程选拔赛真题编程部分第5题。题目要求对于给定的n个排成一排的气球，将所有气球扎破能够得到的最高分数。

先来看看题目的要求吧。

一.题目说明

编程实现：

小明去游乐场玩飞镖扎气球的游戏，一共有n个气球，依次排成一行，每个气球上有一个数字，表示这个气球的分值。

游戏计分规则：

1、戳破1个气球，将获得其本身及左右相邻气球，共三个分值相乘的分数；

2、如果戳破的气球左边或右边没有气球，则获得其本身及相邻气球，共两个分值相乘的分数；如果被戳破的气球左边和右边都没有气球（是最后一个被戳破的气球），则这个气球本身的分值作为分数；

3、已经被戳破的气球不再计算。

飞镖数量不限，可以任意选择顺序戳破气球，根据计分规则，争取使得游戏最后得分最高。

例如：一共有3个气球，分值分别为2，4，6。

若想获得最高得分：

1). 先戳破4，得分为2 x 4 x 6 = 48；

2). 再戳破2，得分为2 x 6 = 12，累计得分60；

3). 再戳破6，得分为6，累计得分66；

最后总得分为66，为最高得分。

输入描述：

输入n个正整数，表示气球的分值，且正整数之间以一个英文逗号隔开

输出描述：

输出正整数，表示戳破所有气球后获得的最高得分

样例输入：

2,4,6

样例输出：

66

二.思路分析

这是一道动态规划算法题，涉及的知识点包括循环、列表和动态规划等。

这是一个求最值问题，对于最值问题，常见的实现方案有枚举算法、贪心算法、递归算法、回溯算法和动态规划等。

那么你知道本题属于哪种类型呢？

实际上，这是典型的区间DP问题，区间DP问题通常涉及一个列表或数组，需要对其某些子区间进行操作，并通过这些操作的结果来求解整个列表或数组的某些性质或最优值。

区间DP的基本思想是通过定义二维的DP状态数组dp[i][j]，表示从序列的第i个元素到第j个元素（即区间[i, j]的最优解，例如最小/最大的某个值）。然后，通过考虑如何将大区间分解成较小的区间，并利用这些较小区间的最优解来构造大区间的最优解，来进行状态转移。

对于动态规划问题，核心点有如下4个：

• 定义dp数组

• 初始状态

• 状态转移方程

• 遍历顺序

接下来，我们逐一分析这4个核心要素。

1. 定义dp数组

由于这是一个区间DP问题，因此dp数组是一个二维列表，即dp[i][j]，表示扎破从i到j之间所有的气球的最高得分。

此时，有一个问题需要明确，这里的i和j是否也包含呢？

我们看一组实际的数据，假设有4个气球，分值为3, 2, 4, 6，如图：

在计算最高分的时候，还需要考虑气球是否处于最左边和最右边，代码比较繁琐。

可以考虑在左右两边增加两个虚拟气球，其分值为1，如图：

如此一来，所有的黄色气球都处于中间位置，再也不需要考虑边界问题了。

当然，这也让我们进一步明确了dp[i][j]的含义，它表示的是扎破i到j之间所有气球的最高得分。

对于上面的4个气球来说，最后的结果是dp[0][5]，表示从0~5之间所有的气球，不包括0和5本身，因为这两个气球是虚拟的，根本不存在。

可以绘制表格如下：

最右上角的单元格dp[0][5]就是最终要计算的结果，实际上，所谓的动态规划，其实就是一个填表的过程。

2. 初始状态

所谓初始状态就是最简单的情况，对于戳气球问题而言，最简单的情况就是没有气球，此时得分为0。

对应到dp[i][j]数组，就是当j - i <= 1，即i和j两者之间没有气球可扎了，当然也就没有分数了。

对应的dp表格如下：

这里将处在对角线偏右上的单元格设置为0，即：

dp[0][1] = dp[1][2] = dp[2][3] = dp[3][4] = dp[4][5]= 0

对于dp表格，我们要计算的是右上方的单元格，左下方的单元格可以忽略不计。

3. 状态转移方程

对于动态规划问题，状态转移方程是重点，也是难点，这里的状态转移方程又该如何确定呢？

还是以上面的数据为例，我们只需要分析最后戳破哪个气球的过程，4只气球可以分四种情况来考虑。

1). 最后戳第一只气球

最后戳破的气球分值为3，如图所示：

这相当于把dp[0][5]拆分成两个子区间，分别是dp[0][1]和dp[1][5]，戳破当前气球的得分为1 * 3 * 1，所以：

dp[0][5]= dp[0][1] + dp[1][5] + 3

2). 最后戳第二只气球

最后戳破的气球分值为2，如图所示：

这相当于把dp[0][5]拆分成两个子区间，分别是dp[0][2]和dp[2][5]，戳破当前气球的得分为1 * 2 * 1，所以：

dp[0][5]= dp[0][2] + dp[2][5] + 2

3). 最后戳第三只气球

最后戳破的气球分值为4，如图所示：

这相当于把dp[0][5]拆分成两个子区间，分别是dp[0][3]和dp[3][5]，戳破当前气球的得分为1 * 4 * 1，所以：

dp[0][5]= dp[0][3] + dp[3][5] + 4

4). 最后戳第四只气球

最后戳破的气球分值为6，如图所示：

这相当于把dp[0][5]拆分成两个子区间，分别是dp[0][4]和dp[4][5]，戳破当前气球的得分为1 * 6 * 1，所以：

dp[0][5]= dp[0][4] + dp[4][5] + 6

到底哪一种情况得分最高呢，其实就是取最大值的问题了。

你看到这其中的规律了吗？

实际上就是在i和j之间找分割点k，将dp[i][j]拆分成两个子区间dp[i][k]和dp[k][j]，如图所示：

对于每个分割点来说，左边区间的最大分值是dp[i][k]，右边区间的最大分值是dp[k][j]，加上本次戳破气球的分数p[i] * p[k] * p[j]，这里的列表p保存的是每个气球的分值，包括左右两端的虚拟气球。

因此，状态转移方程如下：

dp[i][j] = max(  dp[i][j],   dp[i][k] + dp[k][j] + p[i] * p[j] * p[k])

这意味着，我们需要使用循环枚举i到j之间的每个分割点k，计算其最大分值，然后将最大值作为dp[i][j]的结果。

4. 遍历顺序

对于二维列表dp[i][j]来说，常见的遍历顺序是从上到下，从左到右。但是对于区间DP来说，不能采取这种遍历顺序。

我们还是看图说话吧，以计算dp[2][5]为例，它的分割点k有两个。

当k = 3时，计算如下：

dp[2][5] = dp[2][3] + dp[3][5] + p[2]* p[3] * p[5]

对应的DP表格如图：

当k= 4时，计算如下：

dp[2][5] = dp[2][4] + dp[4][5] + p[2]* p[4] * p[5]

对应的DP表格如图：

相信你已经发现了，在计算dp[2][5]的时候，它可以通过dp[2][3] + dp[3][5]计算出来，也可以通过dp[2][4] + dp[4][5]计算出来。

很显然，dp[2][3]、dp[3][5]、dp[2][4]、dp[4][5]这些单元格都在dp[2][5]的左方和下方，这就意味着不能使用传统的从上到下、从左到右。

针对这种情况，我们可以有两种遍历方式，一是斜线遍历，如图：

二是从下到上，从左到右，如图：

相对来说，使用第二种遍历方式更为简单一些。

思路有了，接下来，我们就进入具体的编程实现环节。

三.编程实现

根据上面的思路分析，我们编写程序如下：

代码不多，说明4点：

1). pts表示输入的气球分值，左右各增加了一个分值为1的气球，这里直接使用列表相加的运算，非常方便；

2). 二维dp列表行和列都是n + 2，初始值为0，这里使用了列表推导式；

3). i表示行，从下到上，初始值是n -1，终点是0，j表示列，自左至右，初始值是i  + 1，终点是n + 1；

4). k表示分割点，起始值是k+1，终点是j - 1。

至此，整个程序就全部完成了，你可以输入不同的数据来测试效果啦。

四.总结与思考

本题代码在10行左右，涉及到的知识点包括：

• 循环语句，尤其是嵌套循环；

• 列表的操作；

• 动态规划算法；

作为本次测评的最后一题，代码虽然不多，但是难度较大。关键点有两个，一是理解区间DP的算法思想，二是彻底弄清填充DP表格的方法和过程。

估计你已经发现了，最终的代码并不多，难的是过程分析，动态规划说难也难，说简单也简单。

动态规划说白了，就是根据题目意思定义一个表格，可能是一维的，也可能是二维的，然后找到规律，也就是状态转移方程，不断地计算并填充每一个单元格。

因此，在学习动态规划算法的时候，一定要亲自动手绘制并填充表格，这个过程会有些繁琐，但是效果非常好，写代码反倒是最简单的事情了。

超平老师给你留两道思考题：

1). 如何使用递归算法，计算最大分值？

2). 如果使用斜线遍历的顺序，代码又该怎么写呢？

你还有什么好的想法和创意吗，也非常欢迎和超平老师分享探讨。

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