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綫性空間的維數：
- 若綫性空間 $V$ 中存在一組綫性無關的矢量 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ ，使得 $V$ 中的任意矢量 $\alpha$ 都可以由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 綫性表示，則稱 $n$ 為綫性空間 $V$ 的維數，記作 $\dim(V)=n$ ， $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 稱為 $V$ 的一組基。
基與座標變換：
- 設 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 和 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 是 $n$ 維綫性空間 $V$ 的兩組基，且 $(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n)=(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)P$ ，其中 $P$ 是可逆矩陣，稱 $P$ 為由基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 的過渡矩陣。
- 若矢量 $\alpha$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 下的座標為 $(x_1, x_2, \cdots, x_n)^T$ ，在基 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 下的座標為 $(y_1, y_2, \cdots, y_n)^T$ ，則有座標變換公式 $\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=P\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}$ 。
綫性變換的定義：
- 設 $V$ 是數域 $P$ 上的綫性空間， $\sigma$ 是 $V$ 到 $V$ 的映射，若對於任意的 $\alpha, \beta \in V$ 和任意的 $k \in P$ ，都有 $\sigma(\alpha + \beta)=\sigma(\alpha) + \sigma(\beta)$ 且 $\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha)$ ，則稱 $\sigma$ 是 $V$ 上的綫性變換。

例題解析：

1.求實數域 $\mathbb{R}$ 上的 3 維矢量空間 $\mathbb{R}^3$ 中，基 $\alpha_1=(1, 0, 0)$ ， $\alpha_2=(0, 1, 0)$ ， $\alpha_3=(0, 0, 1)$ 到基 $\beta_1=(1, 1, 0)$ ， $\beta_2=(0, 1, 1)$ ， $\beta_3=(1, 0, 1)$ 的過渡矩陣 $P$ 。

解：由 $(\beta_1, \beta_2, \beta_3)=(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)P$ ，可得 $P = \begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}$ 。

2.已知在 3 維綫性空間 $V$ 中，矢量 $\alpha$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的座標為 $(1, 2, 3)$ ，基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的過渡矩陣 $P = \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}$ ，求 $\alpha$ 在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的座標。

解：根據座標變換公式 $\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=P\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}$ ，這裡 $\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$ ，要求 $\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}$ ，則 $\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}=P^{-1}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$ 。

先求 $P$ 的逆矩陣， $\vert P\vert = 1\times(1 - 0) - 1\times(0 - 1) + 0 = 2$ ， $P$ 的伴隨矩陣 $P^{*}=\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&1&-1\\-1&1&1\end{pmatrix}$ ，所以 $P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&1&-1\\-1&1&1\end{pmatrix}$ 。

則 $\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&1&-1\\-1&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 - 2 + 3\\1 + 2 - 3\\-1 + 2 + 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$ ，即 $\alpha$ 在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的座標為 $(1, 0, 2)$ 。

3.判斷在實數域 $\mathbb{R}$ 上的 2 維矢量空間 $\mathbb{R}^2$ 中，映射 $\sigma(x, y)=(x + y, x - y)$ 是否為綫性變換。

解：設 $\alpha=(x_1, y_1)$ ， $\beta=(x_2, y_2)$ ，則 $\alpha + \beta=(x_1 + x_2, y_1 + y_2)$ 。

$\sigma(\alpha + \beta)=(x_1 + x_2 + y_1 + y_2, x_1 + x_2 - y_1 - y_2)$ ， $\sigma(\alpha)=(x_1 + y_1, x_1 - y_1)$ ， $\sigma(\beta)=(x_2 + y_2, x_2 - y_2)$ ， $\sigma(\alpha) + \sigma(\beta)=(x_1 + y_1 + x_2 + y_2, x_1 - y_1 + x_2 - y_2)=(x_1 + x_2 + y_1 + y_2, x_1 + x_2 - y_1 - y_2)$ ，

所以 $\sigma(\alpha + \beta)=\sigma(\alpha) + \sigma(\beta)$ 。

設 $k \in \mathbb{R}$ ， $\sigma(k\alpha)=\sigma(kx_1, ky_1)=(kx_1 + ky_1, kx_1 - ky_1)=k(x_1 + y_1, x_1 - y_1)=k\sigma(\alpha)$ 。

所以映射 $\sigma(x, y)=(x + y, x - y)$ 是 $\mathbb{R}^2$ 上的綫性變換。

4.已知 $\alpha_1=(1, 1, 0)$ ， $\alpha_2=(1, 0, 1)$ ， $\alpha_3=(0, 1, 1)$ 是3維綫性空間 $V$ 的一組基，求 $\dim(V)$ 。

解：因為有三個綫性無關的矢量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 構成了這組基，所以 $\dim(V)=3$ 。

5.判斷在實數域 $\mathbb{R}$ 上的多項式空間 $P_3(\mathbb{R})$（次數不超過 3 的多項式構成的空間）中，映射 $\tau(f(x)) = f^\prime(x)$（求導運算）是否為綫性變換。

解：設 $f(x)=a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$ ， $g(x)=b_3x^3 + b_2x^2 + b_1x + b_0$ ，則 $f(x) + g(x)=(a_3 + b_3)x^3 + (a_2 + b_2)x^2 + (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0)$ 。

$\tau(f(x) + g(x))=(f(x) + g(x))^\prime=(a_3 + b_3)\times3x^2 + (a_2 + b_2)\times2x + (a_1 + b_1)$ ， $\tau(f(x))=f^\prime(x)=a_3\times3x^2 + a_2\times2x + a_1$ ， $\tau(g(x))=g^\prime(x)=b_3\times3x^2 + b_2\times2x + b_1$ ， $\tau(f(x)) + \tau(g(x))=(a_3\times3x^2 + a_2\times2x + a_1)+(b_3\times3x^2 + b_2\times2x + b_1)=(a_3 + b_3)\times3x^2 + (a_2 + b_2)\times2x + (a_1 + b_1)$ ，

所以 $\tau(f(x) + g(x))=\tau(f(x)) + \tau(g(x))$ 。設 $k \in \mathbb{R}$ ， $\tau(kf(x))=(kf(x))^\prime=kf^\prime(x)=k\tau(f(x))$ 。

所以映射 $\tau(f(x)) = f^\prime(x)$ 是 $P_3(\mathbb{R})$ 上的綫性變換。

6.在 4 維綫性空間 $V$ 中，已知基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$ 的過渡矩陣 $P = \begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\1&0&0&1\end{pmatrix}$ ，矢量 $\alpha$ 在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$ 下的座標為 $(1, 2, 3, 4)$ ，求 $\alpha$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 下的座標。

解：根據座標變換公式 $\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=P\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\\y_4\end{pmatrix}$ ，這裡 $\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\\y_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}$ ，所以 $\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\1&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 + 4\\2 + 3\\3 + 4\\1 + 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\5\\7\\5\end{pmatrix}$ ，即 $\alpha$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 下的座標為 $(5, 5, 7, 5)$ 。

7.已知 $\alpha_1=(1, 0, 0, 0)$ ， $\alpha_2=(0, 1, 0, 0)$ ， $\alpha_3=(0, 0, 1, 0)$ ， $\alpha_4=(0, 0, 0, 1)$ 是 4 維綫性空間 $V$ 的一組基，求由基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 到基 $\beta_1=(1, 1, 0, 0)$ ， $\beta_2=(0, 1, 1, 0)$ ， $\beta_3=(0, 0, 1, 1)$ ， $\beta_4=(1, 0, 0, 1)$ 的過渡矩陣 $P$ 。

解：由 $(\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4)=(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)P$ ，可得 $P = \begin{pmatrix}1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\end{pmatrix}$ 。

8.判斷在實數域 $\mathbb{R}$ 上的 2 維矢量空間 $\mathbb{R}^2$ 中，映射 $\varphi(x, y)=(x^2, y^2)$ 是否為綫性變換。

解：設 $\alpha=(x_1, y_1)$ ， $\beta=(x_2, y_2)$ ，則 $\alpha + \beta=(x_1 + x_2, y_1 + y_2)$ 。

$\varphi(\alpha + \beta)=((x_1 + x_2)^2, (y_1 + y_2)^2)$ ， $\varphi(\alpha)=(x_1^2, y_1^2)$ ， $\varphi(\beta)=(x_2^2, y_2^2)$ ， $\varphi(\alpha) + \varphi(\beta)=(x_1^2 + x_2^2, y_1^2 + y_2^2)$ 。

一般地， $(x_1 + x_2)^2=x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2\neq x_1^2 + x_2^2$ ， $(y_1 + y_2)^2=y_1^2 + 2y_1y_2 + y_2^2\neq y_1^2 + y_2^2$ ，所以 $\varphi(\alpha + \beta)\neq\varphi(\alpha) + \varphi(\beta)$ 。