- 第 82 篇 -
Date: 2025 - 03 - 17
Author: 郑龙浩/仟濹
【递归与动态规划(DP) C/C++】

一 递归

我看的课程，如下视频链接

https://www.bilibili.com/video/BV1LiS1YSEgF/?share_source=copy_web&vd_source=123565abb60ee9d849adaeb118d98b85

1基本介绍

是什么

递归就是函数自己调用自己。

核心

将大问题分解成规模更小的相同问题，直到达到可直接求解的简单情况（如 n=1），再逐层返回结果。
优化 - 记忆化搜索

如果过程中会出现重复计算，则可以提前将重复计算保存下来

2 递归技巧

(1) 递归三步法

1. 定义基准条件(确定结束条件)

   明确递归终止的边界条件（如 阶乘时的n=1 ），避免无限递归

2. 假设子问题已解决
   将递归函数视为黑盒，直接假设它能返回子问题的正确结果（例如：算 f(n) 时，直接相信 f(n-1) 和 f(n-2) 是对的）

   说简单点就是: 只管向问问题，它一定能返回正确答案。

3. 组合子问题的解(拆解问题)

   用子问题的解构建当前问题的解（如 return f(n-1) + f(n-2)）

   说简单点就是: 把子问题的答案组合起来，得到当前问题的解

(2) 思维小技巧

无需提前理解完整递归过程！！！

我之前就陷入了这个问题。就是我在写递归的时候，必须想清楚递归从头到尾的所有过程和细节，其实没有必要，直接当作这个递归函数已经存在且写完

递归是「自相似性」的数学抽象，只需关注当前层逻辑，无需脑补调用栈细节（如 f(n-1) 内部如何实现）

不要陷入 “先有鸡还是先有蛋“ 的思维陷阱！！！

一定要注意，我之前因为陷入这个思维陷阱，特别较真，特别想搞清楚具体过程，太没必要了

• 直接假设递归函数已能正确工作（即使它尚未写完），基于此设计当前逻辑。这种「信任递归」的思维是突破递归障碍的关键
• 即直接将没写完的递归函数当作已经有了的函数去写，就认为这个函数是有答案的，这么去写就可以了，无需把这个递归函数中的自身的函数当作递归函数
• 禁止：在编码时脑补多级递归调用的堆栈状态

3 例题

(1) 阶乘 (纯递归 or DP)

不使用记忆化搜索 Or 使用记忆化搜索

// 2025-03-16
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 不使用记忆化搜索
long long funA( long long n ) {if (n == 1)return 1;return funA(n - 1) * n;
}
// 使用记忆化搜索
// 使用数组或哈希表记忆
unordered_map <long long, long long> memo;
long long funB( long long n ) {if (n == 1)return 1;if (memo.find(n) == memo.end()) {memo[n] = funB(n - 1) * n;}return memo[n];
}int main( void ) {long long n;cin >> n;// 不使用记忆化搜索cout << "不使用记忆化搜索的答案:" << funA(n) << '\n';// 使用记忆化搜索cout << "使用记忆化搜索的答案:" << funB(n) << '\n';return 0;
}

(2) 斐波那契数列 (纯递归 or DP)

不使用记忆化搜索 Or 使用记忆化搜索

// 2025-03-16
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 不使用记忆化搜索
long long funA( long long n ) {if (n <= 2) return 1;return funA(n - 1) + funA(n - 2);
}
// 使用记忆化搜索
// 使用数组或哈希表记忆
unordered_map <long long, long long> memo;
long long funB( long long n ) {if (n <= 2) return 1;if (memo.find(n) == memo.end())memo[n] = funB(n - 1) + funB(n - 2);return memo[n];
}int main( void ) {// 第n位斐波那契数字long long n;cin >> n;// 不使用记忆化搜索cout << "不使用记忆化搜索的答案:" << funA(n) << '\n';// 使用记忆化搜索cout << "使用记忆化搜索的答案:  " << funB(n) << '\n';return 0;
}

(3) 汉诺塔 (纯递归 or DP)

必须要注意，打印的不是 前 n 个 圆盘从某个柱子移动到某个柱子，而是 第 n 个 圆盘从某个柱子移动到某个柱子。

我刚开始想了好久，就是这个地方理解错了，我以为打印的是 前 n 个 圆盘，后来意识到是 第 n 个 圆盘以后，恍然大悟，理解了这个程序。

然后为了助于我理解，我又写了一个中文打印过程版本，以免以后复习的时候，看到这个英文打印的代码又理解错了。

① 英文打印过程的版本

代码

// 2025-03-16
// 输入圆盘数量，三个柱子标识
// 打印圆盘的移动过程: 移动数量 from ? to ? ---> 错误理解
// 打印圆盘的移动过程: 第n个 from ? to ? （这个意思是第 n 个 从 ? 移动到 ？） --> 正确理解
// 注意：该题要求的是移动过程的输出，而不是真的移动，所以不要钻牛角尖，我想了半天为什么只打印不移动，实际人家要的结果就是打印
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void hanoi(int n, char F, char A, char T) {if (n == 1) { // 递归终止条件：只剩一个盘子时直接移动// 打印：move 1 from A to C// 打印：移动第 n 个盘子到目标柱 Tprintf("move %d from %c to %c\n", n, F, T);return;}// 步骤1：将前 n-1 个盘子从 F 移到 A（借助 T 辅助）hanoi(n - 1, F, T, A); // 步骤2：打印：移动第 n 个盘子到目标柱 Tprintf("move %d from %c to %c\n", n, F, T);// 步骤3：将 n-1 个盘子从 A 移到 T（借助 F 辅助）hanoi(n - 1, A, F, T);
}
int main( void ) {int n, F, A, T;cout << "请输入圆盘数量" << endl;cin >> n;getchar();cout << "请输入起始柱、辅助柱、目标柱" << endl;scanf ("%c %c %c", &F, &A, &T);hanoi (n, F, A, T);return 0;
}

输入与运行结果

请输入圆盘数量
3
请输入起始柱、辅助柱、目标柱
A B C
move 1 from A to C
move 2 from A to B
move 1 from C to B
move 3 from A to C
move 1 from B to A
move 2 from B to C
move 1 from A to C

② 中文打印过程的版本(为了避免自己以后复习的时候又理解错误，故写了中文打印版本)

为了避免自己以后复习的时候又理解错误，故写了中文打印版本

代码

// 2025-03-16
// 输入圆盘数量，三个柱子标识
// 打印圆盘的移动过程: 移动数量 from ? to ? ---> 错误理解
// 打印圆盘的移动过程: 第n个 from ? to ? （这个意思是第 n 个 从 ? 移动到 ？） --> 正确理解
// 注意：该题要求的是移动过程的输出，而不是真的移动，所以不要钻牛角尖，我想了半天为什么只打印不移动，实际人家要的结果就是打印
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void hanoi(int n, char F, char A, char T) {if (n == 1) { // 递归终止条件：只剩一个盘子时直接移动// 打印：move 1 from A to C// 打印：移动第 n 个盘子到目标柱 Tprintf("将第 %d 个圆盘从 %c 柱子移动到 %c 柱子\n", n, F, T);return;}// 步骤1：将前 n-1 个盘子从 F 移到 A（借助 T 辅助）hanoi(n - 1, F, T, A); // 步骤2：打印：移动第 n 个盘子到目标柱 Tprintf("将第 %d 个圆盘从 %c 柱子移动到 %c 柱子\n", n, F, T);// 步骤3：将 n-1 个盘子从 A 移到 T（借助 F 辅助）hanoi(n - 1, A, F, T);
}
int main( void ) {int n, F, A, T;cout << "请输入圆盘数量" << endl;cin >> n;getchar();cout << "请输入起始柱、辅助柱、目标柱" << endl;scanf ("%c %c %c", &F, &A, &T);hanoi (n, F, A, T);return 0;
}

输入与运行结果

请输入圆盘数量
3
请输入起始柱、辅助柱、目标柱
A B C
将第 1 个圆盘从 A 柱子移动到 C 柱子
将第 2 个圆盘从 A 柱子移动到 B 柱子      
将第 1 个圆盘从 C 柱子移动到 B 柱子      
将第 3 个圆盘从 A 柱子移动到 C 柱子      
将第 1 个圆盘从 B 柱子移动到 A 柱子      
将第 2 个圆盘从 B 柱子移动到 C 柱子      
将第 1 个圆盘从 A 柱子移动到 C 柱子