非零初始条件系统的传递函数分析

在传递函数的定义中，通常假设系统满足零初始条件。然而在实际应用中，很多系统需要处理非零初始状态。为了探讨这一问题，我们以一个一阶微分方程为例进行分析。

一、一阶系统的分析

考虑以下一阶微分方程：
$$\frac{dx(t)}{dt}+ax(t)=u(t)$$

对其两边进行拉普拉斯变换，根据线性微分方程的性质，可得：
$$\mathcal{L}\left[\frac{dx(t)}{dt}+ax(t)\right]=\mathcal{L}[u(t)]$$
展开得到：
$$sX(s)-x(0)+aX(s)=U(s)$$

1. 零初始条件的情况

当初始条件$x(0)=0$时，上式简化为：
$$sX(s)+aX(s)=U(s)$$
系统的传递函数可定义为：
$$G(s)=\frac{X(s)}{U(s)}=\frac{1}{s+a}$$

2. 非零初始条件的情况

当初始条件$x(0)\ne 0$时，上式变为：
$$sX(s)+aX(s)=U(s)+x(0)$$

我们定义一个新的系统输入：
$$U_1(s)=U(s)+x(0)$$
代入后可以得到传递函数：
$$G(s)=\frac{X(s)}{U_1(s)}=\frac{1}{s+a}$$

可以看出，无论系统是否具有初始条件，其传递函数形式都是一致的。 在非零初始条件的情况下，系统的输入中会多出一个等于初始条件的附加项$x(0)$。

二、非零初始条件的物理意义

根据上述分析，非零初始条件的拉普拉斯变换为$x(0)$，其拉普拉斯逆变换为：
$${\mathcal{L}}^{-1}[x(0)]=x(0)\delta (t)$$

其中，$\delta (t)$是单位冲激函数，表示在极短的时间内释放一个单位能量。将其乘以系数$x(0)$后，可以理解为瞬间施加了$x(0)$个单位的能量。对于系统而言，这种瞬间施加的能量不会影响到系统的稳定性或特征分析。

三、系统框图分析

1. 零初始条件系统的框图

$$\stackrel{U(s)}{\to }\boxed{G(s)=\frac{1}{s+a}}\stackrel{X(s)}{\to }$$

2. 非零初始条件系统的框图

$$\begin{array}{c}\stackrel{U(s)}{\to }\\ \stackrel{x(0)}{\to }\end{array}\boxed{G(s)=\frac{1}{s+a}}\stackrel{X(s)}{\to }$$

四、总结

从上述框图可以看出，无论是否具有初始条件，系统的传递函数形式均相同。非零初始条件仅在输入中引入了一项与初始状态相关的附加能量。对于高阶系统，其非零初始条件的处理思想与一阶系统一致，均可理解为瞬间赋予系统的“能量”。 这种能量的引入不会影响系统的稳定性与特征分析，但在特定分析场景中可能需要单独考虑其影响。

%% 非零初始条件系统响应分析
clc; clear; close all;%% 系统参数定义
a = 2;          % 系统参数
x0 = 1;         % 非零初始条件
t = 0:0.01:5;   % 时间向量（0到5秒，步长0.01）%% 创建传递函数模型
s = tf('s');
G = 1/(s + a);  % 系统传递函数%% 场景1：零初始条件下的阶跃响应
figure;
step(G, t);     % 绘制阶跃响应
title('零初始条件下的阶跃响应');
grid on;%% 场景2：非零初始条件下的零输入响应（自然响应）
zero_input_response = x0 * exp(-a * t); % 解析解：x0*e^{-at}figure;
plot(t, zero_input_response, 'LineWidth', 1.5);
title('非零初始条件下的零输入响应 (x(0)=1, u(t)=0)');
xlabel('时间 (秒)');
ylabel('x(t)');
grid on;%% 场景3：非零初始条件下的阶跃响应（叠加法）
% 计算零状态阶跃响应
[step_response, t_step] = step(G, t);% 总响应 = 零输入响应 + 零状态响应
total_response_superposition = zero_input_response' + step_response;% 绘制叠加结果
figure;
plot(t, total_response_superposition, 'LineWidth', 1.5);
title('非零初始条件下的总响应 (叠加法)');
xlabel('时间 (秒)');
ylabel('x(t)');
grid on;%% 场景4：状态空间模型直接计算（验证一致性）
% 转换为状态空间模型
sys_ss = ss(G); % 系统状态空间表示% 定义输入信号（阶跃信号）
u = ones(size(t)); % u(t) = 1 的数组% 计算带初始条件的响应
[total_response_ss, t_ss, x_state] = lsim(sys_ss, u, t, x0);% 绘制状态空间方法结果
figure;
plot(t_ss, total_response_ss, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
title('状态空间法计算的非零初始条件响应');
xlabel('时间 (秒)');
ylabel('x(t)');
grid on;%% 场景5：方法对比（叠加法 vs 状态空间法）
figure;
hold on;
plot(t, total_response_superposition, 'b', 'LineWidth', 1.5);
plot(t_ss, total_response_ss, 'r--', 'LineWidth', 1);
legend('叠加法', '状态空间法');
title('响应方法对比');
xlabel('时间 (秒)');
ylabel('x(t)');
grid on;
hold off;% 计算两种方法的最大误差
error = max(abs(total_response_superposition - total_response_ss));
disp(['最大绝对误差: ', num2str(error)]);%% 场景6：等效输入法（将初始条件视为冲激输入）
% 构造等效输入 u_equiv(t) = u(t) + x0*δ(t)
delta = zeros(size(t));        
delta(1) = x0/(t(2)-t(1));    % 离散冲激近似（强度x0）
u_equiv = u + delta;           % 等效输入信号% 计算等效输入的零状态响应
equiv_response = lsim(G, u_equiv, t);% 对比等效输入法与叠加法
figure;
hold on;
plot(t, total_response_superposition, 'b', 'LineWidth', 1.5);
plot(t, equiv_response, 'g--', 'LineWidth', 1);
legend('叠加法', '等效输入法');
title('等效输入法对比');
xlabel('时间 (秒)');
ylabel('x(t)');
grid on;
hold off;