Count Sketch--计数草图

Count Sketch 是一种空间高效的概率型数据结构，由 Moses Charikar、Kevin Chen 和 Martin Farach-Colton 在 2002 年提出，用于估计数据流中元素的频率，也可用于解决重击者问题。

参数设定：Count Sketch算法主要依赖两个参数，即哈希函数的数量 $d$ 和哈希表的大小 $w$ 。这两个参数决定了算法的空间复杂度和估计精度。
哈希表初始化：根据设定的参数，初始化一个大小为 $d*w$ 的二维数组，通常称为哈希表。数组中的每个元素初始值都为0，用于存储元素的频率估计值。

哈希函数选择：算法使用 $d$ 个独立的哈希函数 $h_{1},h_{1},...,h_{d}$ ，每个哈希函数将输入元素映射到 [1, $w$ ] 的范围内。同时，还使用 $d$ 个随机符号函数 $g_{1},g_{2},...,g_{d}$ ，每个符号函数将输入元素映射到 {−1,1}。
哈希映射规则：对于输入元素 $x$ ，通过每个哈希函数 $h_{i}(x)$ 确定其在哈希表中的位置，即第 $i$ 行的第 $h_{i}(x)$ 列。同时，根据符号函数 $g_{i}(x)$ 确定对该位置的值进行加1还是减1操作。

元素插入：当一个元素 $x$ 出现时，算法会遍历 $d$ 个哈希函数。对于每个哈希函数 $h_{i}$ ，计算 $h_{i}(x)$ 和 $g_{i}(x)$ ，然后在哈希表的第 $i$ 行第 $h_{i}(x)$ 列的位置加上 $g_{i}(x)$ 。这样，元素 $x$ 的信息就被分散存储在哈希表的多个位置中。
频率估计：当需要估计元素 $x$ 的频率时，同样遍历 $d$ 个哈希函数。对于每个哈希函数 $h_{i}$ ，计算 $h_{i}(x)$ 和 $g_{i}(x)$ ，然后查看哈希表第 $i$ 行第 $h_{i}(x)$ 列的值，并乘以 $g_{i}(x)$ 。最后，取这 $d$ 个值的中位数作为元素 $x$ 的频率估计值。

假设我们设定哈希函数的数量 d=2，哈希表的大小 w=3。那么我们将初始化一个大小为 2×3 的二维数组，所有元素初始值都为0，如下所示：

0	0	0
0	0	0

我们选择两个哈希函数 h1 和 h2，以及两个符号函数 g1 和 g2。假设它们的具体映射如下（这里为了简化示例，直接给出映射结果）：

假设我们有一个数据流，依次出现元素 a,b,a,c,b,a。

插入元素 a：
- 对于 h1：h1(a)=1，g1(a)=1，所以在第1行第1列的位置加1，变为1。
- 对于 h2：h2(a)=3，g2(a)=−1，所以在第2行第3列的位置减1，变为-1。
- 此时哈希表为：
1 0 0
0 0 -1
插入元素 b：
- 对于 h1：h1(b)=2，g1(b)=−1，所以在第1行第2列的位置减1，变为-1。
- 对于 h2：h2(b)=1，g2(b)=1，所以在第2行第1列的位置加1，变为1。
- 此时哈希表为：
1 -1 0
1 0 -1
插入元素 a：
- 对于 h1：h1(a)=1，g1(a)=1，所以在第1行第1列的位置加1，变为2。
- 对于 h2：h2(a)=3，g2(a)=−1，所以在第2行第3列的位置减1，变为-2。
- 此时哈希表为：
2 -1 0
1 0 -2
插入元素 c：
- 对于 h1：h1(c)=3，g1(c)=1，所以在第1行第3列的位置加1，变为1。
- 对于 h2：h2(c)=2，g2(c)=−1，所以在第2行第2列的位置减1，变为-1。
- 此时哈希表为：
2 -1 1
1 -1 -2
插入元素 b：
- 对于 h1：h1(b)=2，g1(b)=−1，所以在第1行第2列的位置减1，变为-2。
- 对于 h2：h2(b)=1，g2(b)=1，所以在第2行第1列的位置加1，变为2。
- 此时哈希表为：
2 -2 1
2 -1 -2
插入元素 a：
- 对于 h1：h1(a)=1，g1(a)=1，所以在第1行第1列的位置加1，变为3。
- 对于 h2：h2(a)=3，g2(a)=−1，所以在第2行第3列的位置减1，变为-3。
- 此时哈希表为：
3 -2 1
2 -1 -3

现在我们来估计元素 a、b 和 c 的频率。

估计元素 a 的频率：
- 对于 h1：h1(a)=1，g1(a)=1，所以查看第1行第1列的值，为3。
- 对于 h2：h2(a)=3，g2(a)=−1，所以查看第2行第3列的值，为-3，乘以-1，变为3。
- 取这两个值的中位数，即 median(3,3)=3。所以估计元素 a 的频率为3，实际频率也为3，估计准确。
估计元素 b 的频率：
- 对于 h1：h1(b)=2，g1(b)=−1，所以查看第1行第2列的值，为-2，乘以-1，变为2。
- 对于 h2：h2(b)=1，g2(b)=1，所以查看第2行第1列的值，为2。
- 取这两个值的中位数，即 median(2,2)=2。所以估计元素 b 的频率为2，实际频率也为2，估计准确。
估计元素 c 的频率：
- 对于 h1：h1(c)=3，g1(c)=1，所以查看第1行第3列的值，为1。
- 对于 h2：h2(c)=2，g2(c)=−1，所以查看第2行第2列的值，为-1，乘以-1，变为1。
- 取这两个值的中位数，即 median(1,1)=1。所以估计元素 c 的频率为1，实际频率也为1，估计准确。