重邮+数字信号处理实验六：用 MATLAB 设计 IIR 数字滤波器

一、实验目的

1、加深对 IIR 数字滤波器设计方法和设计步骤的理解；

2、掌握用模拟滤波器原型设计 IIR 数字滤波器的方法；

3、能编写 MATLAB 函数，掌握设计 IIR 数字滤波器的函数调用方法；

4、根据不同的应用场景，确定不同的设计指标，设计出具有不同功能和性能的滤波器。不同滤波器的设计方法具有不同的优缺点，因此要全面、客观看待可能面对或出现的问题。

二、实验任务

1、用双线性变换法设计的巴特沃斯数字低通滤波器

要求：ωp=0.2π，Rp=1dB；阻带：ωs=0.35π，As=15dB，滤波器采样频率 Fs=10Hz。

任务一结果图示例

2、用 1 设计的数字滤波器对实际心电图信号采样序列(实验原理中已给出) 进行滤波处理，分别绘制出滤波前后的心电图波形图和其幅频特性曲线，观察总结滤波作用与效果。

实验结果如图：

任务二示例图

3、设计一个抗混叠低通滤波器（可在实验内容 1 的代码上进行修改，衰减指标与实验内容 1 一样）。

  1. 读取音频信号motherland.wav，得到 xn；
  2. 对 xn 进行 D=2 的整数倍抽取，得到整数倍抽取后的音频信号 yn1；
  3. 对 xn 先进行抗混叠滤波，再进行 D=2 的整数倍抽取，得到音频信号 yn2。

提示：

  • 音频播放：依次原始声音 xn、没有经抗混叠滤波进行整数倍抽取的音频 yn1、经过抗混叠滤波进行整数倍抽取的音频 yn2，体验音频有频域混叠时的音质。
    参考代码： 
    [xn,fs]=audioread('motherland.wav');% 读取音频信号
sound(xn,fs); 
pause(length(xn)/fs);% 播放音频信号，暂停执行程序 length(xn)/fs 秒 
yn1=xn(1:D:length(xn)); % 每个 D-1 个点抽取 1 点，这里 D=2
sound(yn1,fs/D); % 采用频谱降低到 fs/D
  • 取原音频某段信号，如 n=8000~8199。画出该段信号模拟域幅度谱（横坐标为 f Hz）；画出该段信号 D=2 抽取后的模拟域幅度谱；画出该段信号先经过抗混叠滤波再进行 D=2 抽取的模拟域幅度谱。
    参考代码： 
    Xn=1/fs*fft(xn(8000:8199),N); % 从xn中取200点，N可取2018
plot((0:N/2-1)*fs/N,abs(Xn(1:N/2))); % 模拟域幅度谱
Yn1=D/fs*fft(yn1(8000:8099),N); % 2点取1点后，200点长变成了100点长
plot((0:N/2-1)*fs/(N*D),abs(Yn1(1:N/2)));% 模拟域幅度谱

 三、思考题

 按照如下指标要求设计四种选频数字滤波器，要求画出滤波器的幅频特性、相频特性和幅度衰减曲线，标注相关信息，如横坐标，纵坐标的单位，曲线名称等。（设计方法自己查阅资料完成）

  • （1） 设计数字低通滤波器，指标为：通带截止频率𝜔𝑝 = 0.2𝜋，阻带截止频率𝜔𝑠 = 0.3𝜋，通带衰减𝛼𝑝 = 1𝑑𝐵，阻带衰减𝛼𝑠 = 20𝑑𝐵。
  • （2） 设计数字高通滤波器，指标为：阻带截止频率𝜔𝑠 = 0.4𝜋，通带截止频率𝜔𝑠 = 0.6𝜋，通带衰减𝛼𝑝 = 2𝑑𝐵，阻带衰减𝛼𝑠 = 30𝑑𝐵。
  • （3） 设计数字带通滤波器，指标为：通带范围0.2𝜋 ≤ 𝜔 ≤ 0.6𝜋，阻带范围0 ≤𝜔 ≤ 0.15𝜋和0.65𝜋 ≤ 𝜔 ≤ 𝜋，通带衰减𝛼𝑝 = 1𝑑𝐵，阻带衰减𝛼𝑠 = 45𝑑𝐵。
  • （4） 设计数字带阻滤波器，指标为：阻带范围0.2𝜋 ≤ 𝜔 ≤ 0.6𝜋，通带范围0 ≤ 𝜔 ≤ 0.15𝜋和0.65𝜋 ≤ 𝜔 ≤ 𝜋，通带衰减𝛼𝑝 = 1𝑑𝐵，阻带衰减𝛼𝑠 = 45𝑑𝐵。

解答

函数部分

函数文件一定要和你调用的程序在一个文件夹下面

作用：通过输入wp，ws，Rp,As,Fs,可以得到bd，ad，dbH，ripple,Attn,w，反复调用，节省时间

function [bd,ad,dbH,ripple,Attn,w]=myl(wp,ws,Rp,As,Fs)
% %% 参数设置 
T = 1 / Fs; % 采样周期 % %% 预处理 
ripple = 10^(-Rp/20); % 通带波动 
Attn = 10^(-As/20); % 阻带衰减 
Omgp = (2 / T) * tan(wp / 2); % 原型通带频率的预修正 
Omgs = (2 / T) * tan(ws / 2); % 原型阻带频率的预修正 % %% 设计巴特沃斯滤波器 
[n, Omgc] = buttord(Omgp, Omgs, Rp, As, 's'); % 计算阶数 n 和截止频率 
[z0, p0, k0] = buttap(n); % 设计归一化的巴特沃斯模拟滤波器原型 
bal = k0 * real(poly(z0)); % 求原型滤波器的系数 b 
aa1 = real(poly(p0)); % 求原型滤波器的系数 a 
[ba, aa] = lp2lp(bal, aa1, Omgc); % 变换为模拟低通滤波器 % %% 转换为数字滤波器 
[bd, ad] = bilinear(ba, aa, Fs); % 用双线性变换法计算数字滤波器系数 % %% 计算频率响应 
[H, w] = freqz(bd, ad, 1024); % 计算数字滤波器的频率响应 
dbH = 20 * log10((abs(H) + eps) / max(abs(H))); % 转换为 dB，避免<num>为零 
end

 主程序部分

任务一

% %% 参数设置 
wp = 0.2 * pi; % 通带频率 
ws = 0.35 * pi; % 阻带频率 
Rp = 1; % 通带波动 (dB) 
As = 15; % 阻带衰减 (dB) 
Fs = 10; % 采样频率 
T = 1 / Fs; % 采样周期 % %% 预处理 
ripple = 10^(-Rp/20); % 通带波动 
Attn = 10^(-As/20); % 阻带衰减 
Omgp = (2 / T) * tan(wp / 2); % 原型通带频率的预修正 
Omgs = (2 / T) * tan(ws / 2); % 原型阻带频率的预修正 % %% 设计巴特沃斯滤波器 
[n, Omgc] = buttord(Omgp, Omgs, Rp, As, 's'); % 计算阶数 n 和截止频率 
[z0, p0, k0] = buttap(n); % 设计归一化的巴特沃斯模拟滤波器原型 
bal = k0 * real(poly(z0)); % 求原型滤波器的系数 b 
aa1 = real(poly(p0)); % 求原型滤波器的系数 a 
[ba, aa] = lp2lp(bal, aa1, Omgc); % 变换为模拟低通滤波器 % %% 转换为数字滤波器 
[bd, ad] = bilinear(ba, aa, Fs); % 用双线性变换法计算数字滤波器系数 % %% 计算频率响应 
[H, w] = freqz(bd, ad, 1024); % 计算数字滤波器的频率响应 
dbH = 20 * log10((abs(H) + eps) / max(abs(H))); % 转换为 dB，避免<num>为零 % %% 绘制响应图 
figure; 
subplot(2,2,1); 
plot(w/pi, abs(H), 'LineWidth', 1.5); 
ylabel('H'); 
title('幅度响应'); 
axis([0, 1, 0, 1.1]); 
set(gca, 'XTickMode', 'manual', 'XTick', [0, 0.2, 0.35, 1]); 
set(gca, 'YTickMode', 'manual', 'YTick', [0, Attn, ripple, 1]); 
grid on; subplot(2,2,2); 
plot(w/pi, angle(H)/pi, 'LineWidth', 1.5); 
ylabel('\phi'); 
title('相位响应'); 
axis([0, 1, -1, 1]); 
set(gca, 'XTickMode', 'manual', 'XTick', [0, 0.2, 0.35, 1]); 
set(gca, 'YTickMode', 'manual', 'YTick', [-1, 0, 1]); 
grid on; subplot(2,2,3); 
plot(w/pi, dbH, 'LineWidth', 1.5); 
title('幅度响应(dB)'); 
ylabel('dB'); 
xlabel('频率 (\pi)'); 
axis([0, 1, -40, 5]); 
set(gca, 'XTickMode', 'manual', 'XTick', [0, 0.2, 0.35, 1]); 
set(gca, 'YTickMode', 'manual', 'YTick', [-50, -15, -1, 0]); 
grid on; subplot(2,2,4); 
zplane(bd, ad); 
axis([-1.1, 1.1, -1.1, 1.1]); 
title('零极点图'); 
grid on;

任务二

除了使用函数以外，其实在运行了实验以后，工作区的值是可以直接调用的，比使用函数更加节省时间

%%第二题
% 原始信号 
xn = [-4,-2,0,-4,-6,-4,-2,-4,-6,-6,-4,-4,-6,-6,-2,6,12,8,... 
0,-16,-38,-60,-84,-90,-66,-32,-4,-2,-4,8,12,12,10,6,6,6,... 
4,0,0,0,0,0,-2,-4,0,0,0,-2,-2,0,0,-2,-2,-2,-2,0]; % 使用滤波器对信号进行处理 
[BD,AD]=myl(0.2 * pi,0.35 * pi,1,15,10);
yn = filter(BD, AD, xn); % 绘制图形 
figure(2); % 绘制滤波前后的心电图波形 
subplot(2, 1, 1); 
stem(0:length(xn)-1, xn, 'filled'); 
title('滤波前心电图波形'); 
xlabel('时间 (采样点)'); 
ylabel('幅值'); 
grid on; 
ylim([-100, 20]); % 设置 y 轴范围 
yticks(-100:20:20); % 设置 y 轴刻度间距为 20 subplot(2, 1, 2); 
stem(0:length(yn)-1, yn, 'filled'); 
title('滤波后心电图波形'); 
xlabel('时间 (采样点)'); 
ylabel('幅值'); 
grid on; 
ylim([-100, 40]); % 设置 y 轴范围 
yticks(-100:20:20); % 设置 y 轴刻度间距为 10 % 绘制归一化频率幅频特性曲线 
N = 1024; % FFT点数 
Xf = fft(xn, N); % 原始信号的FFT 
Yf = fft(yn, N); % 滤波后信号的FFT 
k = 0:N-1; figure(3)
subplot(2, 1, 1); 
plot(k*2/N, abs(Xf)); % 绘制幅频特性 
title('滤波前幅频特性'); 
xlabel('\omega / \pi'); 
ylabel('幅值'); 
grid on; 
ylim([0, 500]); % 根据幅频特性设定y轴范围 
yticks(0:100:500); % 设置 y 轴刻度（间距根据实际情况调整） subplot(2, 1, 2); 
plot(k*2/N, abs(Yf)); % 绘制幅频特性 
title('滤波后幅频特性'); 
xlabel('\omega / \pi'); 
ylabel('幅值'); 
grid on; 
ylim([0, 500]); % 根据幅频特性设定y轴范围 
yticks(0:100:500); % 设置 y 轴刻度（间距根据实际情况调整）

任务三

要适当更改wp和ws，让过渡带不那么突兀

%% 第一问 
D = 2; % 抽取因子 
[xn, fs] = audioread("motherland.wav"); % 读取音频信号 
%sound(xn, fs); % 播放原始音频 
%pause(length(xn) / fs); % 等待音频播放完成 % 对信号进行抽取 
yn1 = xn(1:D:end); % 每D个点抽取一个点 
%sound(yn1, fs / D); % 播放抽取后的信号 
%pause(length(yn1) / (fs / D)); % 等待音频播放完成 %滤波器设计 
wc = pi / D; % 截止频率（归一化） 
wp = wc * 0.965; % 通带截止频率 (稍低于截止频率) 
ws = wc * 1; % 阻带截止频率 (稍高于截止频率) 
Rp = 1; % 通带波动 (dB) 
As = 15; % 阻带衰减 (dB) 
Fs = fs / D; % 采样频率 [bd, ad] = myl(wp,ws,Rp,As,Fs); % 对原始信号进行滤波 
yn2 = filter(bd, ad, xn); 
yn2_down=yn2(1:D:length(yn2));
%sound(yn2_down, fs / D); % 播放滤波后的信号 
%pause(length(yn2_down) / (fs / D)); % 等待音频播放完成 %% 第二问，第三问
N = 2018; % FFT的长度 
figure(1); % 原始信号的频谱分析 
Xn = 1/fs * fft(xn(8000:8199), N); 
subplot(2, 1, 1); 
plot((0:N/2-1)*fs/N, abs(Xn(1:N/2))); % 绘制幅度谱 
title('原始信号的频谱'); % 添加标题 
xlabel('频率 (Hz)'); 
ylabel('幅度'); % 抽取信号的频谱分析 
Yn1 = D/fs * fft(yn1(4000:4099), N); % 计算抽取信号的FFT 
subplot(2, 1, 2); 
plot((0:N/2-1)*fs/(N*D), abs(Yn1(1:N/2))); 
title('抽取信号的频谱'); 
xlabel('频率 (Hz)'); 
ylabel('幅度'); % 滤波器频率响应
figure(2);
subplot(211);
freqz(bd, ad, 1024);
title('抗混叠滤波器频率响应');% 抗混叠滤波
yn2 = filter(bd, ad, xn);
yn2_downsampled = yn2(1:D:length(yn2)); % 抽取
sound(yn2_downsampled, fs / D);% 滤波后抽取信号频谱
Yn2 = D/fs * fft(yn2_downsampled(4000:4099), N);
subplot(212);
plot((0:N/2-1)*fs/(N*D), abs(Yn2(1:N/2)));
title('抗混叠滤波后信号频谱');

思考题

%低通滤波器
% 参数设置
wp = 0.2 * pi; 
ws = 0.3 * pi;
ap = 1; 
as = 20;% 设计低通滤波器
[n, Wn] = buttord(wp/pi, ws/pi, ap, as);
[b, a] = butter(n, Wn, 'low');% 绘制幅频特性和相频特性
[H, w] = freqz(b, a, 1024);
figure();
subplot(2, 1, 1);
plot(w/pi, 20*log10(abs(H)));
title('幅频特性');
xlabel('\omega / \pi');
ylabel('幅值 (dB)');
grid on;subplot(2, 1, 2);
plot(w/pi, angle(H));
title('相频特性');
xlabel('\omega / \pi');
ylabel('相位 (rad)');
grid on;%高通滤波器
% 参数设置
wp = 0.6 * pi;
ws = 0.4 * pi;
ap = 2; 
as = 30;% 设计高通滤波器
[n, Wn] = buttord(wp/pi, ws/pi, ap, as);
[b, a] = butter(n, Wn, 'high');% 绘制幅频特性和相频特性
[H, w] = freqz(b, a, 1024);
figure();
subplot(2, 1, 1);
plot(w/pi, 20*log10(abs(H)));
title('幅频特性');
xlabel('\omega / \pi');
ylabel('幅值 (dB)');
grid on;subplot(2, 1, 2);
plot(w/pi, angle(H));
title('相频特性');
xlabel('\omega / \pi');
ylabel('相位 (rad)');
grid on;%设计带通滤波器
% 参数设置
wp = [0.2, 0.6] * pi; 
ws = [0.15, 0.65] * pi;
ap = 1; 
as = 45;% 带通滤波器
[n, Wn] = buttord(wp/pi, ws/pi, ap, as);
[b, a] = butter(n, Wn, 'bandpass');% 绘制幅频特性和相频特性
[H, w] = freqz(b, a, 1024);
figure();
subplot(2, 1, 1);
plot(w/pi, 20*log10(abs(H)));
title('幅频特性');
xlabel('\omega / \pi');
ylabel('幅值 (dB)');
grid on;subplot(2, 1, 2);
plot(w/pi, angle(H));
title('相频特性');
xlabel('\omega / \pi');
ylabel('相位 (rad)');
grid on;%带阻滤波器
% 参数设置
wp = [0.15, 0.65] * pi;
ws = [0.2, 0.6] * pi;
ap = 1; 
as = 45;% 设计带阻滤波器
[n, Wn] = buttord(wp/pi, ws/pi, ap, as);
[b, a] = butter(n, Wn, 'stop');% 绘制幅频特性和相频特性
[H, w] = freqz(b, a, 1024);
figure();
subplot(2, 1, 1);
plot(w/pi, 20*log10(abs(H)));
title('幅频特性');
xlabel('\omega / \pi');
ylabel('幅值 (dB)');
grid on;subplot(2, 1, 2);
plot(w/pi, angle(H));
title('相频特性');
xlabel('\omega / \pi');
ylabel('相位 (rad)');
grid on;

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