【模板】最长公共子序列

题目描述

给出 $1,2,\dots ,n$ 的两个排列 $P_1$ 和 $P_2$ ，求它们的最长公共子序列。

输入格式

第一行是一个数 $n$。

接下来两行，每行为 $n$ 个数，为自然数 $1,2,\dots ,n$ 的一个排列。

输出格式

一个数，即最长公共子序列的长度。

样例 #1

样例输入 #1

5 
3 2 1 4 5
1 2 3 4 5

样例输出 #1

3

提示

• 对于 $50\%$ 的数据， $n\le 10^3$；
• 对于 $100\%$ 的数据， $n\le 10^5$。

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首先明确题目范围为1e5所以没办法进行LCS的$O(N^2)$DP的方法，那么我们要另辟蹊径。

那么这道题与普通的最长公共子序列有什么区别吗？
观察得知，首先这里给出的两个序列都是排列，那么a和b中的数一定都是1~n组成的，那么就可以实现互相映射。

这一点对于我们来说有什么用呢?
如果我们把a中的元素在b中的位置（下标）记录下来，然后再去取映射数组的最长上升子序列，我们就能够得到最长公共子序列了。

首先明确映射一定是可以覆盖整个b数组的，因为是排列。
再然后，如果我们的映射数组中的一些元素是从前往后上升排列，那么b中一定是存在同样的顺序的排列。因为首先我们映射之后保持了元素在b中原有的顺序，那么如果a和b中的某些同样的元素保持了同样的顺序，那么就是形成了公共子序列。（不会用数学严格证明，只能是印象派证明了）

由于这题我们需要$O(NlogN)$解决，所以需要写贪心优化的取最长上升子序列的代码。

void solve(int times)
{int n;cin >> n;vector<int>a(n+1);vector<int>b(n+1);vector<int>pos(n+1);for(int i = 1;i <= n;i++){cin >> a[i];pos[a[i]] = i;}for(int j = 1;j <= n;j++)cin >> b[j];vector<int>f(n+1,2e9);f[0] = 0;int ans = 0;for(int i = 1;i <= n;i++){int l = 0,r = ans;while(l < r){int mid = l + r + 1 >> 1;if(pos[b[i]] > f[mid])l = mid;else r = mid - 1;}ans = max(ans,r + 1);f[r + 1] = pos[b[i]];}cout << ans << endl;
}