Exercise 1.38

In 1737, the Swiss mathematician Leonhard Euler published a memoir $DeFractionibusContinuis$, which included a continued fraction expansion for $e-2$, where $e$ is the base of the natural logarithms. In this fraction, the $N_i$ are all 1, and the $D_i$ are successively 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, . . … Write a program that uses your cont-frac procedure from Exercise 1.37 to approximate $e$, based on Euler’s expansion.

这道题本来很简单，只要实现$D_i$就可以了，但是当我使用 1.37 的程序时，却发现算出的结果跟 $e$ 有很大差距，最后把 1.37 的程序也做了修改才得到满意的近似值。
首先是去掉了寻找满足条件的最小$k$值的部分，另外迭代和递归实现也都做了一定的调整。

; 注意 n 和 d 都是 procedure 而不是数字,k 表示要计算的项数
(define (cont-frac n d k); iterative implementation(define (frac-iter k pre)(if (= k 0)pre(frac-iter (- k 1) (/ (n k) (+ (d k) pre))))); recurative implementation(define (frac-recur i)(if (= i k)(/ (n i) (d i))(/ (n i) (+ (d i) (frac-recur (+ i 1))))))(frac-iter k 0));(frac-recur 1))(define (e-euler k)(+ 2.0 (cont-frac (lambda (i) 1); 观察 Di 序列,发现每 3 个一组,; 从 1 开始计数的话,在每一组的 3 个数中,只有除以 3 余数为 2 的那个不是 1(lambda (i) (if (= (remainder i 3) 2) (/ (+ i 1) 1.5)          ; 先除3向下取整再加1最后乘2,等同于先加1再除1.51)) k))) ; e 的近似值为 2.71828
(e-euler 100); 输出结果为
2.7182818284590455