【高中数学/指数函数/单调性】写出函数f(x)=4^x-2^x+2的单调区间（陈永明老师您错了！）

【问题】

写出函数f(x)=4^x-2^x+2的单调区间

【问题来源】

《陈永明讲评数学题-高中习题归类研讨》第20页例2，该书由上海科技教育出版社出版，是2022年1月第一版。

【陈永明老师的解答】

【用Canvas绘制的实际图线】

我有一个习惯，就是在理论推到后用实际图线验证理论的正确性，在绘制f(x)=4^x-2^x+2的曲线时，我发现陈永明的理论推导与实际不符！具体图线如下：

由图可以看出，函数的极值点在x=-1处，与陈永明老师得出的x=1/2处不符！

程序绘制的函数图像是实际图像，只能是陈永明老师错了！

【陈永明错误所在】

内层函数f(u)=(u-0.5)^2+7/4的极值点不一定就是整体的极值点,真正的极值点需要用求导的方式获得。

【用导数寻找真正的极值点】

符号	表达式	说明
	f(x)=4^x-2^x+2	原函数
=>	f'(x)=ln44^x-ln22^x	原函数的导函数
=>	ln44^x-ln22^x=0	找极值点
=>	2ln24^x-ln2*2^x=0	展开
=>	2*4^x=2^x	两边同除ln2并移项
=>	2^x=1/2	两边同除2*2^x
	x=-1

从而得出x=-1为函数的极值点。

将x=-1代入原式得f(-1)=1.75,而将x=1/2代入原式得f(1/2)约等于2.586,明显x=-1取得的值比x=1/2处更小。

【结论】

f(x)=4^x-2^x+2在(-∞,-1)是单调递减函数，在(-1,+∞)是单调递增函数。

【绘制图像的Canvas代码】

<!DOCTYPE html>
<html lang="utf-8">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<head><title>UNASSIGNED</title><style type="text/css">.centerlize{margin:0 auto;border:0px solid red;width:1200px;height:600px;}</style></head><body οnlοad="draw();"><div class="centerlize"><canvas id="myCanvas" width="10px" height="10px" style="border:1px dashed black;">如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试.</canvas></div></body>
</html>
<script type="text/javascript">
<!--
/*****************************************************************
* 将全体代码拷贝下来，粘贴到文本编辑器中，另存为.html文件，
* 再用chrome浏览器打开，就能看到动画效果。
******************************************************************/// 系统常量定义处
const TITLE="求y=4^x-2^x+2的单调区间";    // 图像标题
const WIDTH=1200;                    // 画布宽度
const HEIGHT=600;                    // 画布高度
const SCALE_UNIT=50;                 // 缩放比例 25对应x∈[-24,24],100对应x∈[-6,6]// 系统变量定义处
var context=0;                        // 画布环境
var stage;                            // 舞台对象
var timeElapsed=0;                    // 动画运作的的时间
const TIME_END=100000;                // 动画运作的期限//-------------------------------
// Canvas开始运作，由body_onload调用
//-------------------------------
function draw(){document.title=TITLE;// 画图前初始化var canvas=document.getElementById('myCanvas');    canvas.width=WIDTH;canvas.height=HEIGHT; context=canvas.getContext('2d');  // 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换// 处置完成前，原点在左上角，向右为X正向，向下为Y的正向// 处置完毕后，原点移动到画布中央，向右为X正向，向上为Y的正向context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);context.rotate(Math.PI);context.scale(-1,1);// 初始化舞台stage=new Stage();// 开始动画animate();
};//-------------------------------
// 画图
//-------------------------------
function animate(){    timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1stage.update(timeElapsed);stage.paintBg(context);stage.paint(context);if(timeElapsed<TIME_END){        window.requestAnimationFrame(animate);}
}//-------------------------------
// 舞台对象定义处
//-------------------------------
function Stage(){// 内置对象(非必要勿更改)var obj=new Object;// 对象下的曲线数组(非必要勿更改)obj.curves=[];// 塞入曲线1(按需修改设定项)obj.curves.push({name:"曲线:y=4^x-2^x+2",xEnd:2,x:-12,y:0,setY:function(x){//var t=Math.pow(2,x);//this.y=t*t-t+2;// 解析式this.y=Math.pow(4,x)-Math.pow(2,x)+2;let coord={"x":x,"y":this.y};        this.pts0.push(coord);},"pts0":[],});// 随时间更新位置(非必要勿更改)obj.update=function(t){for(var i=0;i<this.curves.length;i++){var curve=this.curves[i];if(curve.x<curve.xEnd){curve.x+=0.01;curve.setY(curve.x);}}};// 画前景obj.paint=function(ctx){  // 手动标记点//paintPoint(ctx,-1.168,0.0679,"x1","navy");//paintPoint(ctx,-0.40,0.40,"x2","navy");//paintPoint(ctx,6,-4,"d","navy");// 文字左上角位置(可手动修改设定值)const X_START=-230;    // 文字横起点const Y_START=-75;    // 文字纵起点const OFFSET=50;    // 文字间隔// 遍历曲线数组(非必要勿更改)for(var i=0;i<this.curves.length;i++){var curve=this.curves[i];var color=getColor(i);// 曲线名称drawText(ctx,curve.name,X_START,Y_START-i*OFFSET,color,18);// 曲线当前点坐标drawText(ctx,"当前 X:"+curve.x.toFixed(3)+"  Y:"+curve.y.toFixed(3),X_START,Y_START-20-(i)*OFFSET,color,18);// 绘制曲线if(curve.pts0){paintCurve(ctx,color,curve.pts0);// 绘制曲线分段1的高低点(可选)var mm=findMaxMin(curve.pts0);markMaxMin(ctx,mm,color);}if(curve.pts1){paintCurve(ctx,color,curve.pts1);// 绘制曲线分段2的高低点(可选)//var mm=findMaxMin(curve.pts1);//markMaxMin(ctx,mm,color);}if(curve.pts2){paintCurve(ctx,color,curve.pts2);// 绘制曲线分段3的高低点(可选)//var mm=findMaxMin(curve.pts2);//markMaxMin(ctx,mm,color);}if(curve.pts3){paintCurve(ctx,color,curve.pts3);// 绘制曲线分段4的高低点(可选)//var mm=findMaxMin(curve.pts3);//markMaxMin(ctx,mm,color);}}};// 画背景(非必要不更改)obj.paintBg=function(ctx){// 清屏ctx.clearRect(-600,-300,1200,600);ctx.fillStyle="rgb(251,255,253)";ctx.fillRect(-600,-300,1200,600);// 画X轴drawAxisX(ctx,-600,600,50);// 画Y轴drawAxisY(ctx,-300,300,50);// 画网格线drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50);// 左上角标题var metrics = ctx.measureText(TITLE);var textWidth = metrics.width;drawText(ctx,TITLE,-WIDTH/2+textWidth+3,HEIGHT/2-30,"grey",18);// 右下角作者，日期const waterMarkTxt="逆火原创@"+(new Date()).toLocaleDateString();metrics = ctx.measureText(waterMarkTxt);textWidth = metrics.width;drawText(ctx,waterMarkTxt,WIDTH/2-textWidth,-HEIGHT/2,"lightGrey",16);};return obj;
}// 描绘并标识一个点
function paintPoint(ctx,x,y,text,color){var xReal=x*SCALE_UNIT;var yReal=y*SCALE_UNIT;ctx.strokeStyle=color;ctx.lineWidth=0.5;// 划线ctx.save();ctx.setLineDash([5,5]);ctx.beginPath();    ctx.moveTo(xReal,0);ctx.lineTo(xReal,yReal);ctx.lineTo(0,yReal);ctx.stroke();ctx.restore();// 画圈ctx.beginPath();ctx.arc(xReal,yReal,4,0,Math.PI*2,false);ctx.closePath();    ctx.stroke();// 写文字var metrics = ctx.measureText(text);var textWidth = metrics.width;drawText(ctx,text,xReal+textWidth+2,yReal-5,color,12);
}// 连点成线画曲线
function paintCurve(ctx,color,cds){ctx.save();ctx.strokeStyle = color;ctx.lineWidth=1;ctx.beginPath();     for(var i=0; i<cds.length; i++){let y=cds[i].y;if(Math.abs(cds[i].y*SCALE_UNIT)<300){ctx.lineTo(cds[i].x*SCALE_UNIT,cds[i].y*SCALE_UNIT);}}     ctx.stroke();  ctx.restore();
}// 找到坐标数组的最大最小值
function findMaxMin(cds){if(cds.length<1){return null;}var retval={max:-10000,max_x:0,min:10000,min_x:0};for(var i=0;i<cds.length;i++){var y=cds[i].y;if(y>retval.max){retval.max=y;retval.max_x=cds[i].x;}if(y<retval.min){retval.min=y;retval.min_x=cds[i].x;}} return retval;
}// 绘出最大最小值
function markMaxMin(ctx,mm,color){if(mm==null){return;}// 最大值var x=mm.max_x;var y=mm.max;ctx.strokeStyle=color;ctx.beginPath();ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false);ctx.closePath();ctx.stroke();var text="max@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12);// 最小值var x=mm.min_x;var y=mm.min;ctx.strokeStyle=color;ctx.beginPath();ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false);ctx.closePath();ctx.stroke();var text="min@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12);
}// 定点画实心圆
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){ctx.save();ctx.beginPath();ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI);ctx.fillStyle=color;ctx.fill();ctx.restore();
}// 两点之间画线段
function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){ctx.save();ctx.lineWidth=0.25;ctx.strokeStyle=color;ctx.beginPath();ctx.moveTo(x1,y1);ctx.lineTo(x2,y2);ctx.stroke();ctx.closePath();ctx.restore();
}// 画横轴
function drawAxisX(ctx,start,end,step){const AXISY_COLOR="black";ctx.save();ctx.lineWidth=0.5;ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;// 画轴ctx.beginPath();ctx.moveTo(start, 0);ctx.lineTo(end, 0);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画箭头ctx.beginPath();ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10);ctx.lineTo(end, 0);ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画刻度var x,y;y=5;for(x=start;x<end;x+=step){if(x==0){continue;}ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, 0);ctx.lineTo(x, y);ctx.stroke();ctx.closePath();var text=formatScale(x/SCALE_UNIT);drawText(ctx,text,x,y-20,AXISY_COLOR,12);}ctx.restore();
}// 画纵轴
function drawAxisY(ctx,start,end,step){const AXISY_COLOR="black";ctx.save();ctx.lineWidth=0.5;ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;// 画轴ctx.beginPath();ctx.moveTo(0, start);ctx.lineTo(0, end);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画箭头ctx.beginPath();ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);ctx.lineTo(0, end);ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画刻度var x,y;x=5;for(y=start;y<end;y+=step){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, y);ctx.lineTo(0, y);var text=formatScale(y/SCALE_UNIT);var metrics = ctx.measureText(text);var textWidth = metrics.width;drawText(ctx,text,x-textWidth-5,y,AXISY_COLOR,12);ctx.stroke();ctx.closePath();}ctx.restore();
}//-------------------------------
// 得到整型后的刻度
//-------------------------------
function formatScale(scale){var s=scale*10;if(s % 5==0){return scale+"";}else{return scale.toFixed(2);}
}// 画网格线
function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2){ctx.save();ctx.lineWidth=0.25;ctx.strokeStyle="lightgrey";    // 分十格var x,y;for(x=x1;x<x2;x+=step1/10){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, y1);ctx.lineTo(x, y2);ctx.stroke();ctx.closePath();}for(y=y1;y<y2;y+=step2/10){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x1, y);ctx.lineTo(x2, y);ctx.stroke();ctx.closePath();}// 十小格间的分割线ctx.lineWidth=0.25;ctx.strokeStyle="grey";ctx.setLineDash([5,5]);// 设置虚线,起止点间包含五空格五划线共十段for(x=x1;x<x2;x+=step1){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, y1);ctx.lineTo(x, y2);ctx.stroke();}for(y=y1;y<y2;y+=step2){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x1, y);ctx.lineTo(x2, y);ctx.stroke();}ctx.restore();
}//-------------------------------
// 角度得到弧度
//-------------------------------
function getRad(degree){return degree/180*Math.PI;
}//-------------------------------
// 得到颜色
//-------------------------------
function getColor(index){var arr=["maroon" /* maroon 棕色*/,"orange" /* orange 橙色*/,"blue"   /* blue蓝色*/,"green"  /* green 绿色*/,       "fuchsia"/* fuchsia 紫红*/,        "grey"   /* grey 草木灰*/,"lime"   /* lime 亮绿色*/,        "navy"   /* navy 海军蓝*/,        "purple" /* purple 紫色*/,"skyblue"/* skyblue 天蓝*/,"teal"   /* teal 蓝绿色*/,"yellow" /* yellow 亮黄*/,"aqua"   /* aqua湖绿色*/,"red"    /* red 大红*/,        "#88815d"/* 雪松*/,"#4f876c"/* 伊甸园绿*/,"#97572b"/* 皮革褐*/,"#b79777"/* 卡其*/,"#d7ccb6"/* 象牙白*/,"#414142"/* 木炭艺术*/,"#764136"/* 焦棕*/,"#46515a"/* 深板岩*/,"#3c281e"/* 巧克力*/,"#681414"/* 铁锈红*/,"black"  /* black黑色*/,    ];return arr[index % arr.length];
}//-------------------------------------
// 绘制文字,指定颜色
// ctx:绘图环境
// text:文字
// x,y:坐标
// color:颜色
// size:字体大小
//-------------------------------------
function drawText(ctx,text,x,y,color,size){ctx.save();ctx.translate(x,y)ctx.rotate(getRad(180))ctx.scale(-1,1)ctx.textBaseline="bottom";ctx.textAlign="center";ctx.fillStyle=color;ctx.font = size+"px consolas";ctx.fillText(text,0,0);ctx.restore();
}// JS开立方
function kaiLiFang(x){if(x>0){return Math.pow(x,1/3);}else{return -Math.pow(-x,1/3);}
}
//-->
/**************************************
对个人来讲，什么事情越有趣，
这件事情对社会的价值就越大；对个人来讲，什么事情越烦恼，
这件事情对社会的危害也越大。
**************************************/
</script>