传送门：1216F
标签：动态规划
题目大意
你是一名宿舍管理员，在一条直走廊上有n 个连续的房间。房间编号从 1 到 n。你需要将所有n 间房连接到互联网。你可以直接将每个房间连接到互联网，第 i 个房间的费用为i 枚硬币。有些房间有路由器的位置。放置第 i 个房间的路由器的费用也是i 枚硬币。不能在一个没有位置的地方放置路由器。当你在第 i 个房间放置路由器时，你会将号码从max(1,i−k) 到min(n,i+k) 包含在内的所有房间连接到互联网，其中 k 是路由器的范围。所有路由器的 k 值相同。计算将所有n 间房连接到互联网的最低总费用。你可以假设拥有路由器数量大于或等于有路由器位置的房间数量。
输入：第一行包含两个整数 n 和 𝑘——房间的数量和每个路由器的范围。第二行是一个长度为 n 的字符串 s，只包含零和一。如果字符串的第 i 个字符等于 “1”，那么第 i 个房间有一个路由器的位置。如果字符串的第i 个字符等于 “0”，则不能在第 i 个房间放置路由器。
输出：打印一个整数——将所有n 间房连接到互联网的最低总费用。
算法分析
- 设 dp_i 是连接房间 i 到 n-1 所需的总成本（0 编号）。最初 dp_n = 0，所有其他值都是 +∞。如果我们迭代 n-1 到 0 并做出一些转换，最后答案将是 dp_0。
- 第一个转换最容易：用 dp_{i+1} + i + 1 更新 dp_i（直接连接当前房间）。为了进行其他转换，我们需要携带两个集合 mins 和 vals，以及一个名为 del 的数组，长度为 n。mins 集合携带 dp_{i+1}, dp_{i+2}, …, dp_{i+k+1} 的所有值。最初它携带 dp_n = 0。vals 集合携带覆盖某些房间尾部并覆盖房间 i 的最小成本。del 数组帮助我们有效地携带 vals 集合。
- 首先，如果 i+k+2 ≤ n，则从 mins 中删除 dp_{i+k+2}。然后从 vals 中删除 del_i 的所有值。然后如果 s_i = ‘1’，则 val 是 mins 的最小值加上 i + 1。用 val 更新 dp_i 并将 val 插入 vals。此外，如果 i-k-1 ≥ 0，请将 val 添加到 del_{i-k-1}。在对当前 i 完成所需的一切之后，将值 dp_k 添加到 mins 集合。算法的总时间复杂度：O(nlogn)。好像还有O(n)的解决方案，但是能过就是好算法。
代码实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 5e5 + 5, mod = 1e9 + 7;
int nxt[N];
ll dp[N];
int n,k;
ll cal(int i){if(i < 0)return 0;ll &ret = dp[i];if(~ret)return ret;ret = cal(i-1)+i+1;int best = nxt[max(0,i-k)];if(best<=i+k){ret = min(ret,cal(best-k-1)+best+1);}return ret;
}
int main() {memset(dp,-1,sizeof dp);cin >> n >> k;string s;cin >> s;int cur = 1e9;for (int i = n-1; i >=0 ; --i) {if (s[i] == '1') {cur = i;}nxt[i]=cur;}cout << cal(n-1);}
)
