内积知识点小记

import numpy as np
a = np.array([1,2])
b = np.array([3,4])
c = a @ b
# 11e = np.array([[1,2],[3,4]])
f = np.array([[5,6],[7,8]])g = e @ f
#array([[19, 22],[43, 50]])

内积,也称为点积或数量积,是数学中接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。以下是对内积的详细解释:

定义

  • 对于两个向量a = [a₁, a₂,…, aₙ]和b = [b₁, b₂,…, bₙ],它们的点积定义为:a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + … + aₙbₙ。
  • 使用矩阵乘法,把(纵列)向量当作n×1 矩阵,点积也可以写为:a·b = (a^T) * b,这里的a^T指示矩阵a的转置。

性质

  1. 对称性:a·b = b·a,即内积的结果与向量的顺序无关。
  2. 线性性:(ka + lb)·c = ka·c + lb·c,其中k和l是常数。
  3. 正定性:a·a ≥ 0,当且仅当a = 0时,a·a = 0。

应用

  1. 计算向量的夹角和投影:通过计算两个向量的内积,可以得到它们的夹角,进而判断向量的正交性、平行性等。还可以计算向量在另一个向量上的投影,实现向量的分解和计算。
  2. 计算向量的长度和距离:通过计算向量的模长,可以得到向量的长度。通过两个向量的内积以及向量的长度,可以计算它们之间的距离,这在计算机视觉、图形学等领域有重要应用。
  3. 判断向量的正交性和单位化:两个向量的内积为0时,表示它们正交。通过内积可以判断向量的正交性,对于一组正交向量可以进行单位化处理,得到一组单位正交向量,这在信号处理、傅里叶分析等领域有广泛应用。
  4. 判断向量的相似性:通过计算向量的内积,可以衡量向量之间的相似性。在信息检索、机器学习等领域,通过计算向量的相似性可以实现文本相似度计算、图像检索等应用。
  5. 解决线性方程组:在线性代数中,通过内积的概念可以定义向量的正交投影和正交补空间,进而可以解决线性方程组。内积在矩阵的分解、矩阵的特征值分析等领域也有重要应用。

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