Boltzmann选择是一种基于Boltzmann分布的选择策略，主要用于进化算法中的个体选择过程。它通过模拟物理系统的热平衡状态来调节个体选择的概率，能够在进化初期保持种群多样性，并在进化后期集中选择适应度高的个体。

Boltzmann选择的表达式

Boltzmann选择的主要表达式如下：

$$P_i=\frac{\exp \left(\frac{f_i}{T}\right)}{{\sum }_{j=1}^N\exp \left(\frac{f_j}{T}\right)}$$

对应字母的含义

• $P_i$：第 (i) 个个体被选择的概率。
• $f_i$：第 (i) 个个体的适应度值（fitness）。
• $T$：温度参数，用于调节选择压力。高温度时，选择过程较为随机；低温度时，选择过程趋于确定性。
• $N$：种群中的个体总数。
• $\exp$：指数函数。

表达式的解释

1. 计算选择概率：表达式中的$\exp \left(\frac{f_i}{T}\right)$用于计算第$i$个个体的“选择权重”。适应度$f_i$越大，该个体的选择权重越高。

2. 归一化：将所有个体的选择权重求和，然后将第$i$个个体的选择权重除以总和，得到该个体的选择概率$P_i$。这样，所有个体的选择概率之和为1。

3. 温度参数$T$：温度$T$控制选择的随机性。高温度时，各个体的选择概率差异较小，选择过程更随机；低温度时，适应度高的个体选择概率显著增加，选择过程更倾向于适应度高的个体。

选择概率的计算示例

假设有4个个体，其适应度值分别为 ([10, 20, 30, 40])，温度 ( T = 10 )，计算其选择概率：

import numpy as npfitness = np.array([10, 20, 30, 40])
T = 10# 计算选择权重
weights = np.exp(fitness / T)# 归一化计算选择概率
probabilities = weights / np.sum(weights)print(probabilities)

输出的选择概率可能类似于：

[0.0320586  0.08714432 0.23688282 0.64391426]

这表示第4个个体（适应度40）的选择概率最高，而第1个个体（适应度10）的选择概率最低。

总结

Boltzmann选择通过引入温度参数$T$调节个体选择的随机性，能够在进化过程中动态平衡探索与开发。其核心在于利用适应度值和Boltzmann分布计算个体选择概率，使得在高温度时保持种群多样性，在低温度时集中选择适应度高的个体。