贪心 + 证明:Leetcode 1953. 你可以工作的最大周数

描述

给你 n 个项目,编号从 0 到 n - 1 。同时给你一个整数数组 milestones ,其中每个 milestones[i] 表示第 i 个项目中的阶段任务数量。

你可以按下面两个规则参与项目中的工作:

每周,你将会完成 某一个 项目中的 恰好一个 阶段任务。你每周都 必须 工作。
在 连续的 两周中,你 不能 参与并完成同一个项目中的两个阶段任务。
一旦所有项目中的全部阶段任务都完成,或者仅剩余一个阶段任务都会导致你违反上面的规则,那么你将 停止工作 。注意,由于这些条件的限制,你可能无法完成所有阶段任务。

返回在不违反上面规则的情况下你 最多 能工作多少周。

示例 1:
输入:milestones = [1,2,3]
输出:6
解释:一种可能的情形是:
​​​​- 第 1 周,你参与并完成项目 0 中的一个阶段任务。

  • 第 2 周,你参与并完成项目 2 中的一个阶段任务。
  • 第 3 周,你参与并完成项目 1 中的一个阶段任务。
  • 第 4 周,你参与并完成项目 2 中的一个阶段任务。
  • 第 5 周,你参与并完成项目 1 中的一个阶段任务。
  • 第 6 周,你参与并完成项目 2 中的一个阶段任务。
    总周数是 6 。

示例 2:
输入:milestones = [5,2,1]
输出:7
解释:一种可能的情形是:

  • 第 1 周,你参与并完成项目 0 中的一个阶段任务。
  • 第 2 周,你参与并完成项目 1 中的一个阶段任务。
  • 第 3 周,你参与并完成项目 0 中的一个阶段任务。
  • 第 4 周,你参与并完成项目 1 中的一个阶段任务。
  • 第 5 周,你参与并完成项目 0 中的一个阶段任务。
  • 第 6 周,你参与并完成项目 2 中的一个阶段任务。
  • 第 7 周,你参与并完成项目 0 中的一个阶段任务。
    总周数是 7 。
    注意,你不能在第 8 周参与完成项目 0 中的最后一个阶段任务,因为这会违反规则。
    因此,项目 0 中会有一个阶段任务维持未完成状态。

思路

贪心,每次选择两个耗时最大的工作花两周完成,但这样会导致超时。

注意到当耗时最大的工作非常大时,剩余任务都可以完成,因此考虑最大工作耗时与剩余工作耗时的关系。

解题方法

设最大工作耗时为longest,剩余工作耗时为rest,那么:

当longest > rest时,显然可证最大工作周数为:2∗rest+1

当longest = rest时,显然可证最大工作周数为:rest+longest,即工作总和

当longest<rest时,在rest的任务范围内,一定可以被工作,直至rest′=longest,此时回到上面“longest=rest”的状态,因此总的工作耗时为rest+longet

为什么在rest的任务范围内,一定可以被工作,直至rest′=longest的状态?
证明:此时可以反证,假设rest不可以被工作以减少剩余工作量,那么rest只能剩一个工作任务,但由于rest>longest,可以得到该工作任务量大于longest,这和最大工作耗时为longest矛盾。

代码

class Solution {
public:long long numberOfWeeks(vector<int>& milestones) {// 耗时最长工作所需周数long long longest = *max_element(milestones.begin(), milestones.end());// 其余工作共计所需周数long long rest = accumulate(milestones.begin(), milestones.end(), 0LL) - longest;if (longest > rest + 1){// 此时无法完成所耗时最长的工作return rest * 2 + 1;}else {// 此时可以完成所有工作return longest + rest;}}
};

再附上一个超时的暴力贪心代码,太笨了花了一个小时只能做出这个版本的…

class Solution:def numberOfWeeks(self, milestones: List[int]) -> int:# 贪心模拟heap = []for task_no,task_num in enumerate(milestones):heappush(heap,(-task_num,task_no))#last_task_no = -1work_weeks = 0while(len(heap) > 1):task_num1,task_no1 = heappop(heap)task_num2,task_no2 = heappop(heap)task_num1 *= -1task_num2 *= -1#last_task_no = task_no2if(len(heap) == 0):work_weeks += 2*task_num2if(task_num1 != task_num2): work_weeks += 1return work_weekstask_num3 = heap[0][0]task_num3 *= -1temp = task_num2 - task_num3 + 1task_num1 -= temptask_num2 -= tempwork_weeks += 2*tempif(task_num2 != 0):heappush(heap,(-task_num2,task_no2))heappush(heap,(-task_num1,task_no1))elif(task_num1 != 0):heappush(heap,(-task_num1,task_no1))return work_weeks + 1

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