2024 National Invitational of CCPC (Zhengzhou), 2024 CCPC Henan Provincial Collegiate Programming Contest

2024 年中国大学生程序设计竞赛全国邀请赛（郑州）暨第六届 CCPC 河南省大学生程序设计竞赛

比赛链接

这场的题说实话难度其实都不大（除了 $E$ 和 $I$），但是做法很固定，考思维，想到了一拍脑袋就出，想不到就寄，因此很多强队都翻车了。这场 $13$ 题其中的 $11$ 题我觉得都可以赛时出。

是时候祭出这张图了：

---

Problem A. Once In My Life

题意：

对于小 $A$ 而言，数位包含 $1\sim 9$，并且至少两个数位是 $d（1\le d\le 9）$的十进制正整数都是幸运数。

当 $d=3$ 时，显然 $1234567890123$ 是小 $A$ 的幸运数，但 $987654321$ 因为数位 $3$ 仅出现了一次而不是幸运数，$998244353$ 因为缺少数位 $1,6,7$ 而不是幸运数。

现在小 $A$ 有一个正整数 $n$，并给出正整数 $d$。他想找到正整数 $k$ 使得二者的乘积 $n\cdot k$ 是幸运数。

你能用计算机辅助他的计算吗？

输出保证 $k\le 2\ast 10^{10}$

思路：

本质是个构造题，需要一点点数论知识。

我们想要 $nk$ 得到的数里有 $123456789$ 和额外的一个 $d$，那么我们就构造出来，假设结果是 $123456789d$，构造得到的数不一定是 $n$ 的倍数，但是我们可以加一些数让它成为倍数，不过这就破坏了这十个位置上的数字。

考虑到当 $k$ 乘以 $10$ 的时候，$123456789d$ 也会乘以 $10$，相当于整体向左移动一位，低位就空出来了，这时我们给低位增加一些数字的时候，就不会影响到高处的十个位置了。最简单的想法就是反正 $n\le 10^8$，所以我们只要低八位空出来就行了，这时就会得到 $123456789d00000000\mathrm{mod}n=x$，我们再加上 $(n-x)\mathrm{mod}n$ 就是乘积，除以 $n$ 就是 $k$ 了。

不过题目要求 $k\le 2\ast 10^{10}$，当 $n\le 10^7$ 时，上面构造出来的数铁定 $>2\ast 10^{10}$。考虑到我们没必要低位留 $8$ 位，比如 $n$ 只有一位数的时候，我们低位就只留一位就行了，如果 $n$ 是 $t$ 位数，那么我们低位就只留 $t$ 位就可以了，这样构造出来的数 $k$ 就是一个小于 $2\ast 10^{10+t-1}$ 的数，除以一个大于 $10^{t-1}$ 的数，得到的数肯定小于 $2\ast 10^{10}$。

code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;int T;
ll n,d;
ll pw[20];int main(){cin.tie(0)->sync_with_stdio(false);pw[0]=1;for(int i=1;i<=18;i++)pw[i]=pw[i-1]*10;cin>>T;while(T--){cin>>n>>d;int i=0;while(pw[i]<n)i++;ll ans=123456789ll*pw[i+1]+d*pw[i];ll x=(pw[i]-ans%n)%pw[i];cout<<(ans+x)/n<<'\n';}return 0;
}

---

Problem B. 扫雷 1

题意：

T0xel 喜欢玩扫雷，但是他玩的扫雷游戏有名为 “地雷探测器” 的特殊道具。

具体来说，T0xel 会进行 $n$ 轮扫雷。每轮扫雷开始之前，T0xel 会获得 $1$ 枚扫雷币。扫雷币在每轮扫雷结束后不会回收，可以保留至下一轮扫雷。T0xel 知道，在第 $i$ 轮$（1\le i\le n）$扫雷中，花费 $c_i$ 枚扫雷币可以购买一个地雷探测器，清除地图中的一个雷。地雷探测器在一轮扫雷中可以购买任意次。

现在 T0xel 想知道，在这 $n$ 轮扫雷中最多能购买多少个地雷探测器呢？

思路：

签到，是个贪心。因为我们在一轮中某个探测器可以买任意次，所以如果后面的轮中如果有一个很便宜的探测器，那么我们直接留着钱只买这个就行了，能买多少就买多少。如果后面有一个稍贵的探测器，因为我们不能买前面轮次的探测器，所以我们也有可能买这个探测器。

这种如果有一个 $oi$ 比你强还比你年轻（这个题里就是探测器既便宜又靠后），那么你就没用了的思想，就很单调栈。所以用一个单调栈模拟一下，然后从前到后贪心买探测器即可。

或者可以按探测器价格排序，然后按顺序枚举，升序地选择购买探测器

如果把 $(i,c_i)$ 看成一个点，其实相当于一个下凸壳，所以求下凸壳的思想也可以做。

code1：

单调栈

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#define pii pair<int,int>
using namespace std;int n;
vector<pii> sta;int main(){cin>>n;for(int i=1,c;i<=n;i++){cin>>c;while(!sta.empty() && sta.back().first>=c)sta.pop_back();sta.push_back({c,i});}int p=0,rm=0,ans=0;for(auto [c,i]:sta){rm+=i-p;p=i;ans+=rm/c;rm-=rm/c*c;}cout<<ans<<endl;return 0;
}

code2：

队友赛时代码，排序后升序选点。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[200005];
typedef pair<int,int> PII;
int main(){int n;cin>>n;vector<PII> pos;for(int i = 1;i<=n;i++){cin>>a[i];pos.push_back({a[i],i});}sort(pos.begin(),pos.end());int p = 1;int ans = 0;int was = 0;for(PII pii : pos){if(pii.second < p) continue;int le = pii.second - was;int t = le/pii.first;ans += t;was += t * pii.first;p = pii.second;}cout<<ans;return 0;
}

---

Problem C. 中二病也要打比赛

题意：

在被中二病彻底占领的世界中，存在着一个被称为 “现实” 的神秘领域。在这个领域中，小鸟游六花，一位坚信自己拥有着非凡力量的中二病少女，发现了一串神秘的数字序列 $A$。这个序列包含了 $n$ 个元素，每个元素 $A_i$ 是 $1$ 到 $n$ 之间的整数。据说，只有当这个序列满足单调不降的性质时，隐藏在其中的超自然力量才会觉醒。

六花相信，通过解开这个序列的秘密，她可以进一步证明自己的 “邪王真眼” 的力量。然而，她很快就意识到，要驯服这个序列，需要一种特殊的魔法——一个能将 $A$ 转化为另一个序列的函数 $f$，其定义域与值域均为 $[1,n]\cap Z$。使用这个魔法后，$A$ 会变成 $B$，其中 $B_i=f(A_i)$。但是，这个魔法的使用是有代价的，其成本由 $[1,n]\cap Z$ 中 $f(x)\ne x$ 的 $x$ 数量决定。在这个充斥着中二病的世界中，六花必须以最小的代价激发序列中隐藏的力量。

现在，作为六花的冒险伙伴，你的任务是帮助她找到那个神奇的函数 $f$，将 $A$ 转化为单调不降序列，并以最小的代价揭示序列中隐藏的超自然力量。

思路：

我们队出的最后一题，赛时我想到了前半缩点部分，猜测后边做法可能是个带懒节点的线段树优化 $dp$（不过并不是），因为时间不太够了，简单讲完后我直接上手写了（写了个缩点部分和带懒节点线段树），之后队友讨论出了后半做法是个最长上升子序列，接着我的部分写完，一遍 $AC$，这就是我们热血沸腾的组合技啊！

10
1 10 2 6 10 8 9 6 4 5

比如上面的一个样例，我们可以发现被两个 $10$ 包含起来的这段区间一定只能同时等于一个值，$10$ 的区间内部有一个 $6$，而外部也有一个 $6$，因为内部的 $6$ 被固定住了，那么外部的 $6$ 也会随之固定，这两个 $6$ 之间的部分也被迫同时等于 $10$ 包含区间的值，同理其他数。

既然它们都等于一个值，那么我们就可以把它们看成一个点或者一个块。一个块内所有数都会转化成一个相同的数。我们上面缩块的过程就保证了一种数字只有可能出现在一个块内，否则的话，两个块肯定在缩块的时候就被缩在一起了。因此对序列 $A$ 中出现过的某种数字 $x$，它在且仅在一个块内。

不难发现，如果一个块内出现了 $sz$ 个不同的数，那么如果这个块等于块内含有的某个值，代价是 $sz-1$，否则如果变成块内没有出现过的其他值的话，代价就是 $sz$。因为上面推出过每种出现过的数在且仅在一个块内的结论，因此若原本出现过 $tot$ 种数，那么所有块的 $sz$ 之和就是 $tot$，也就是 $\sum sz=tot$。假设有 $t$ 个块选择等于块内含有的某个值，这时候代价就是 $tot-t$。我们求最小代价，就是求最多能有几个块可以选择等于块内含有的某个值。

这样问题就转化为了：若干个位置上，每个位置上可以取一些值的一个，求最长上升子序列长度。

code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <map>
#include <vector>
#include <set>
using namespace std;
const int maxn=2e5+5;int n;
int a[maxn],tt[maxn],nxt[maxn];
int ans = 1;
int dp[maxn];
int main(){cin.tie(0)->sync_with_stdio(false);set<int> aa;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i],tt[a[i]]=i;//ai出现的最后位置for(int i = 1;i<=n;i++)aa.insert(a[i]);for(int i=1;i<=n;i++)nxt[i]=tt[a[i]];for(int i = 1;i<=n;i++) dp[i] = 0x3f3f3f3f;vector<set<int> > block;block.push_back(set<int>());for(int l=1,r;l<=n;){//缩块r=l;block.push_back(set<int>());while(l<=r){r=max(r,nxt[l]);block.back().insert(a[l++]);}} int sz = block.size() - 1;dp[1] = (*block[1].begin());for(int i = 2;i<=sz;i++){auto & st=block[i];vector<pair<int,int> > ope;for(auto p : st){if(p >= dp[ans]) ope.push_back({ans+1,p});else {int t = lower_bound(dp+1,dp+ans+1,p) - dp;ope.push_back({t,p});}}for(auto pi : ope){dp[pi.first] = min(dp[pi.first],pi.second);ans = max(ans,pi.first);}}cout<<aa.size() - ans<<endl;return 0;
}

---

Problem D. 距离之比

题意：

对于 ${\mathbb{R}}^2$ 平面上的两个点 $P(x_P,y_P)$ 与 $Q(x_Q,y_Q)$，$PQ$ 之间的曼哈顿距离定义为$$\Vert PQ{\Vert }_1=|x_P-x_Q|+|y_P-y_Q|$$而 $PQ$ 之间的欧几里得距离定义为$$\Vert PQ{\Vert }_2=\sqrt{(x_P-x_Q{)}^2+(y_P-y_Q{)}^2}$$

现在给出平面上互不重合的 $n$ 个点 $P_1,P_2,...,P_n$，请求出
$$\underset{1\le i<j\le n}{\max }\frac{\Vert P_i{P}_j{\Vert }_1}{\Vert P_i{P}_j{\Vert }_2}$$

思路：

直觉上感觉只要直线 $PQ$ 越靠近直线 $y=x$ 或直线 $y=-x$ ，这个值就越大，证明：

假设斜线是 $PQ$（不妨假设靠下的就是 $P$ 点，靠上的就是 $Q$ 点），过点 $P$ 作一条水平线，过点 $Q$ 作一条竖直线，交于点 $M$，如下图。设 $\angle P=\theta$，$|PQ|=x$，则 $|PM|=x|\cos \theta |,|QM|=x|\sin \theta |$。

因此 $$\frac{\Vert PQ{\Vert }_1}{\Vert PQ{\Vert }_2}=\frac{x|\sin \theta |+x|\cos \theta |}{x}=|\sin \theta |+|\cos \theta |$$

---

当 $0\le \theta <\frac{\pi }{2}$ 时，有$$原式=\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}(\sin \theta \cos \frac{\pi }{4}+\cos \theta \sin \frac{\pi }{4})=\sqrt{2}\sin (\theta +\frac{\pi }{4})$$根据三角函数的知识，显然当 $\theta =\frac{\pi }{4}$ 时，$原式=\sqrt{2}$ 取得最大值，$原式=1$ 取得最小值。当 $\theta \in [0,\frac{\pi }{4})$ 时，原式随 $\theta$ 增大而增大，当 $\theta \in [\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$ 时，原式随 $\theta$ 增大而减小。通俗点讲就是角度越靠近 $45$ 度角，值就越大。

---

同理当 $\frac{\pi }{2}\le \theta <\pi$ 时，有$$原式=\sin \theta -\cos \theta =\sqrt{2}(\sin \theta \cos \frac{\pi }{4}-\cos \theta \sin \frac{\pi }{4})=\sqrt{2}\sin (\theta -\frac{\pi }{4})$$显然当 $\theta =\frac{3\pi }{4}$ 时，$原式=\sqrt{2}$ 取得最大值，$原式=1$ 取得最小值。当 $\theta \in [\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4})$ 时，原式随 $\theta$ 增大而增大，当 $\theta \in [\frac{3\pi }{4},\pi )$ 时，原式随 $\theta$ 增大而减小。通俗点讲就是角度越靠近 $135$ 度角，值就越大。

之后再旋转直线，就会和前面重复，所以我们就不需要向下讨论了。

---

先看直线的角度靠近 $45$ 度角的情况，其实也就是如果直线越贴和直线 $y=x$，值就越大。但是斜着看很难受，我们不妨将整个坐标系关于原点逆时针旋转 $45$ 度，这样只要直线越贴近 $y$ 轴（也就是角度越靠近 $90$ 度），值就越大了。

这时会发现一个很强的性质，就是答案只会出现在横坐标相邻的点对上。

证明：假设坐标系上横坐标按顺序有三个点 $A,B,C$，如果 $B$ 点在直线 $AC$ 上方，显然直线 $AB$ 更陡，角度更靠近 $90$ 度，答案更大。如果 $B$ 点在直线 $AC$ 下方，显然直线 $BC$ 更陡，角度更靠近 $90$ 度，答案更大。发现对任意三个点，最优答案总是出现在横坐标相邻的点上，而不会出现在直线 $AC$ 这种线上。

因此我们按横坐标排序后 $O(n)$ 算一遍相邻点的答案，取最大值即可。不过注意我们排序是按旋转后的横坐标排序，但是计算还是用原坐标来计算。

一个点关于原点逆时针旋转 $\theta$ 角度，根据计算几何的知识，它的旋转矩阵为
$$\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$
一个点 $(x,y)$ 旋转 $45$ 度也就是 $\frac{\pi }{4}$ 后的坐标为：
$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\cos \frac{\pi }{4}& -\sin \frac{\pi }{4}\\ \sin \frac{\pi }{4}& \cos \frac{\pi }{4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+y\\ -x+y\end{array}\right]$$

沿旋转 $45$ 度后的横坐标排序就是按 $x+y$ 排序。

同理$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\cos \frac{3\pi }{4}& -\sin \frac{3\pi }{4}\\ \sin \frac{3\pi }{4}& \cos \frac{3\pi }{4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x-y\\ x+y\end{array}\right]$$沿旋转 $135$ 度后的横坐标排序就是按 $x-y$ 排序。

code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#define pll pair<ll,ll>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2e5+5;ll T,n;
pll a[maxn];double calc(pll a,pll b){auto [x1,y1]=a;auto [x2,y2]=b;return (abs(x1-x2)+abs(y1-y2))/sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2));
}int main(){cin.tie(0)->sync_with_stdio(false);cin>>T;while(T--){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){auto &[x,y]=a[i];cin>>x>>y;}sort(a+1,a+n+1,[](pll a,pll b){return a.first+a.second<b.first+b.second;});double maxx=1;for(int i=2;i<=n;i++)maxx=max(maxx,calc(a[i-1],a[i]));sort(a+1,a+n+1,[](pll a,pll b){return a.first-a.second<b.first-b.second;});for(int i=2;i<=n;i++)maxx=max(maxx,calc(a[i-1],a[i]));cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(12)<<maxx<<endl;}return 0;
}

---

Problem F. 优秀字符串

题意：

小 $A$ 认为，一个字符串 $S$ 是优秀字符串，当且仅当：

• $S$ 的长度 $|S|$ 恰好为 $5$；
• $S$ 的第三个字符与第五个字符相同；
• $S$ 的前四个字符互不相同。

例如 henan 是优秀字符串，但 query、problem、queue 不是，因为：

• query 的第三个字符为 $e$，而第五个字符为 $y$；
• problem 的长度不为 $5$；
• queue 的前四个字符中 $u$ 出现了两次。

现在，小 $A$ 有 $n$ 个仅包含英文字母与数字的字符串 $S_1,S_2,...,S_n$，请你帮小 $A$ 求出这些字符串中优秀字符串的数量。

思路：

签到

code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){int n;cin >> n;int ans = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {string s;cin >> s;if (s.size() == 5 && (s[2] == s[4])) {set<char> ss;for (int i = 0; i < s.size() - 1; i++) {ss.insert(s[i]);}ans += (ss.size() == 4);}}cout << ans;return 0;
}

---

Problem G. 扫雷 2

题意：

T0xel 喜欢玩扫雷，但是他不喜欢数字 $2$。

他想构造一个 $n\times n$ 的扫雷的地图，其中有 $m$ 个雷，并且没有一个空地周围恰有 $2$ 个雷。
也就是说，他想构造一个 $01$ 方阵，使得不存在一个 $0$ 周围 $8$ 格中恰有 $2$ 个 $1$。特别地，边上的 $0$ 周围 $5$ 个格不能恰有 $2$ 个 $1$，角落上的 $0$ 周围 $3$ 个格不能恰有 $2$ 个 $1$。

思路：

还好赛时我放弃写这个题了，不然怕是罚时吃饱然后 $GG$ 了。这个题看着人畜无害，实际上特殊情况超级多，需要善于调试，写代码把所有情况枚举一遍然后找错，再考虑加特判。

大概思路如下，假设左上角格子的坐标为 $(1,1)$。左上黄色蛇形部分包含了两个相邻紫色对角线上的所有格子，假设外侧对角线第一行的格子的坐标为 $(1,i)$，那么这个蛇形部分就占据了 $2i-1$ 个格子。右下蓝色填充部分包含了后 $x$ 行和列的所有格子和额外的两个格子，其中第 $i$ 行和第 $i$ 列包含 $2i-1$ 个格子。绿色格子可填可不填。

如果我们最多可以填完后 $x+1$ 行和列，第 $x$ 行和列没有足够的格子填充，那么我们就剩下少于 $2x-1$ 个格子，我们先给出那两个额外的蓝色格子，因为蛇形只能凑 $2i-1$ 个格子，所以如果剩余了偶数个格子，我们就再拿出一个填充到绿色位置。

因为剩余的格子少于 $2x-1$，我们还拿出了至少 $2$ 个格子，因此剩余的格子少于 $2x-3$，蛇形需要 $2i-1$ 个格子，就可以保证 $i<x-1$，这样黄色和蓝色区域正好不会冲突。

不过剩余的格子如果少于 $2$ 个，我们甚至根本拿不出两个额外的蓝色格子，因此我们退一行列，剩余的格子个数就增加 $2x+1$，再减去两个额外的蓝色格子，剩余的格子 $<2x+1$，正好可以保证 $i<x+1$（因为蓝色退了一行列，所以额外蓝色格子填在点 $(1,x+1),(x+1,1)$ 上），正好也不冲突。这时形状大概如下：

---

这时我们大概的逻辑就出来了，然后就是无数的特殊情况：

一：

当黄色蛇形部分和蓝色额外块之间隔一个块的时候，就会出现 $bug$。

解决方法：删掉两个蓝色额外块，蛇形部分向外移动一格。

二：

当空间逐渐变小，两个蓝色额外块，黄色块，绿色块会靠的越来越近。当 $(2,2)$ 被黄色覆盖，$(4,4)$ 被绿色覆盖，黄色和绿色会靠的足够近，就会出现一个特色 $bug$。

解决方法：当 $(2,2),(4,4)$ 同时被填充，将 $(4,4)$ 换到 $(1,1)$ 去。

三：

当 $m=n^2-7$ 时，两个蓝色额外块会靠的足够近，导致 $bug$。

解决方法：从 $(n,n)$ 移植一个格子到 $(3,3)$。

四：

$m\ge n^2-4$ 的时候，特判吧。

五：

$n=5,m=10$ 的时候。不需要垫脚就会出现类似特判二的情况。

解决方法：反正就这一个，随便构造。

讨论结束后就可以 $AC$ 力！其实 $m=0$ 也要特判，不过题目保证 $m>0$，所以无所谓了。

code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn=1005;int T,n,m;
bool mp[maxn][maxn];
void print(){for(int i=1;i<=n;i++,puts(""))for(int j=1;j<=n;j++)cout<<(mp[i][j]?"1":"0");
}int main(){
//	cout<<1000<<endl;
//	for(int i=0;i<=25;i++)cout<<5<<" "<<i<<endl; cin>>T;while(T--){cin>>n>>m;puts("Yes");for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)mp[i][j]=false;if(n==5){if(m==10){cout<<"11110\n11100\n11000\n10000\n00000\n";continue;}}if(m==n*n-7){for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)mp[i][j]=true;mp[n][n]=mp[1][1]=mp[1][2]=mp[2][1]=mp[2][2]=mp[2][3]=mp[3][2]=false;print();continue;}if(m==n*n-4){for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)mp[i][j]=true;mp[1][1]=mp[1][2]=mp[2][1]=mp[n][n]=false;print();continue;}if(m==n*n-3){for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)mp[i][j]=true;mp[1][1]=mp[1][2]=mp[2][1]=false;print();continue;}if(m==n*n-2){for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)mp[i][j]=true;mp[1][1]=mp[n][n]=false;print();continue;}if(m==n*n-1){for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)mp[i][j]=true;mp[1][1]=false;print();continue;}if(m==n*n){for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)mp[i][j]=true;print();continue;}int i1=n,i2;while(m>=2*i1-1){m-=2*i1-1;i1--;}if(i1<n && m<2){i1++;m+=2*i1-1;}for(int i=i1+1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)mp[i][j]=mp[j][i]=true;if(m==2){//m>=2mp[i1][1]=mp[1][i1]=true;print();continue;}if(~m&1){//m>2mp[i1][i1]=true;m--;}//m为奇数 if(2*(i1-1)-1==m){i2=(m+1)/2;for(int i=1;i<=i2;i++)mp[i][i2-i+1]=true;for(int i=1;i<i2;i++)mp[i][i2-i]=true;}else {if(i1<n){mp[i1][1]=mp[1][i1]=true;m-=2;}i2=(m+1)/2;for(int i=1;i<=i2;i++)mp[i][i2-i+1]=true;for(int i=1;i<i2;i++)mp[i][i2-i]=true;}if(mp[2][2]==true && mp[4][4]==true){mp[1][1]=true;mp[4][4]=false;}print();}return 0;
}

---

Problem H. 随机栈

题意：

Toxel 获得了一个随机的 “栈”。这个栈可被视为一个多重集 $S$，从一个非空的随机栈 $S$ 中取出一个元素时，有可能从中取出任何一个元素，其中每个元素被取出的概率是相等的。取出该元素后，该元素会从集合中删除。以 { 1 , 2 , 2 } \{1, 2, 2\} {1,2,2} 为例，有 $\frac{1}{3}$ 的概率取出 $1$，使得集合变为 { 2 , 2 } \{2, 2\} {2,2}，有 $\frac{2}{3}$ 的概率取出 $2$，使得集合变为 { 1 , 2 } \{1, 2\} {1,2}。每次取出元素的事件相互独立。

Toxel 正在对这个集合做一些操作。集合初始时为空，它总共进行了 $2n$ 次操作，其中 $n$ 次操作为插入，$n$ 次操作为取出。现在，Toxel 告诉了你它操作的顺序以及每次插入的数，且保证每次取出时，集合非空。Toxel 想知道，如果把每次取出的数排成一个序列，那么这个序列递增的概率是多少？这里，递增的严格定义是：取出数列的每一项（除最后一项）小于等于它的后一项。

由于答案可能不是整数，为了方便计算，你只需要求出这个值对 $998244353$ 取模的结果。

思路：

这个题虽然看起来像概率论，但是实际上就是个算数，很签到。

因为我们得到的序列是单调不降的，所以我们每次从多重集中选出来的数一定是最小的数。我们模拟一下这个多重集加数和取数的过程，每次取数的时候累乘一下 最小数的个数和多重集的个数的比值，最后得到的就是答案。

不过我们有可能加数取数的过程本身就会造成无解的情况，也就是在给定的操作序列里，我们一定会取出一个较大数，然后才加入一个较小数，这样是一定无解的。所以我们记录一下前面取出的最小数，如果一次加数比前面最小数还小，就无解。

code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mod = 998244353;
int qpow(int x,int n){int ans = 1;while(n){if(n & 1) ans = ans * x % mod;x = x * x % mod ;n >>= 1;}return ans;
}
int inv(int x){return qpow(x,mod -2);
}
int ope[400005];
signed main(){int n;cin>>n;int sz = 0;map<int,int> mp;int mx = -1;int ans = 1;for(int i = 1;i<=2*n;i++)cin>>ope[i];for(int i = 1;i<=2*n;i++){int num = ope[i];if(num != -1){if(mx > num){cout<<0<<'\n';return 0;}mp[num]++;sz ++ ;}else{ans = ans * (*mp.begin()).second %mod;ans = ans * inv(sz) % mod;sz --;mx = max(mx,(*mp.begin()).first);(*mp.begin()).second--;if((*mp.begin()).second == 0) mp.erase(mp.begin());}}cout<<ans<<'\n';return 0;
}

---

Problem J. 排列与合数

题意：

小 $A$ 在 $2023$ 年河南省 $CCPC$ 大学生程序设计竞赛的赛场上遇到了一道名为 “排列与质数” 的题目。与大多数选手一样，小 $A$ 并没能在赛场上解决这个棘手的题目。比赛结束后，小 $A$ 想到了一个与之相关的题目：排列与合数，可是小 $A$ 仍然没有能力解决。这个名为 “排列与合数” 的题目是这样的：

给定一个有且仅有 $5$ 位，且各个数位互不相同的十进制正整数 $n$。你可以重新排列 $n$ 的各个数位，但需要保证重新排列得到的整数 $n^{\prime }$ 没有前导零。请问重新排列数位得到的 $n^{\prime }$ 能否为合数？若能为合数，请求出一个满足条件的 $n^{\prime }$。

例如，当 $n=12345$ 时，任意排列得到的 $n^{\prime }$ 均是合数，因此可以任意取 $n^{\prime }$。当 $n=13579$ 时，可以重新排列数位得到合数 $n^{\prime }=97531=7\times 13933$。

一个正整数是合数，当且仅当它可以分解为两个不小于 $2$ 的整数的乘积。

现在，小 $A$ 带着他的题目来到赛场上求助。你能帮助小 $A$ 解决这个题目吗？

思路：

签到，如果五个数位上有一个偶数，那么把它放在最低位上，这样就是一个非 $2$ 偶数，一定是合数。如果全是奇数，因为各个数位的数各不相同，因此这五个奇数一定是 $1,3,5,7,9$，直接输出 $97531$ 即可。

注意如果有零的情况，不能出现前导零。

code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);int n;cin>>n;for (int i = 0; i < n; i++) {string s;cin >> s;int p = -1;for (int j = 0; j < 5; j++) {if ((s[j] - '0') % 2 == 0) {p = j;}}if (p == -1) {cout << "97531\n";continue;}else {for (int j = 0; j < 5; j++) {if (p == j) continue;cout << s[j];} cout << s[p];}cout << "\n";}return 0;
}

---

Problem K. 树上问题

题意：

378QAQ 有一棵由 $n$ 个节点组成的无根树，节点编号从 $1$ 到 $n$，每个节点有一个正整数点权。

378QAQ 认为一个节点是美丽节点，当且仅当该节点作为根时，对于除根节点以外的所有节点，其
点权都不小于其父亲节点的点权的 $\frac{1}{2}$。

请你计算出有多少个节点是美丽节点。

思路1（换根DP）：

相当于 儿子节点值的二倍大于等于父节点的值。当我们认定了一个根节点后，其下的所有边都会满足这样一种情况。

一个边的这个满足关系只和它两端的点有关系，而且是有向的（即远离根的一端的点的值的二倍大于等于靠近根的一端的点的值）。所以当我们的根向旁边一个点移动的时候，除了这两个点之间的边有可能会发生转变（也就是原先有贡献，结果变成没有贡献，或者反过来），其他的边则不会受到影响。

因此考虑换根DP。不妨设 $1$ 号点是根节点，设 $cnt[i]$ 为以点 $i$ 为根节点的子树的不合法边的个数，我们去计算以每个点为整个树的根节点时不合法边的个数，统计一下有几个点的答案为 $0$ 即可。显然 $1$ 号点我们已经计算好了，我们计算好点 $u$ 的答案，需要去计算儿子节点 $v$ 的答案。

可以发现分别以 $u,v$ 为根时，红色区域和蓝色区域的边的方向都没变，所以它们对答案的贡献是相同的，只有 $u,v$ 这条边发生了改变，因此我们给 $an{s}_u$ 减去 $v\to u$ 的贡献，再加上 $u\to v$ 的贡献就得到了 $an{s}_v$。

code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;int T,n,a[maxn];int head[maxn],ent;
struct edge{int v,nxt;
}e[maxn<<1];
void add(int u,int v){e[++ent]={v,head[u]};head[u]=ent;
}int cnt[maxn];//以u为根的子树不合法边的个数 
void dfs1(int u,int fa){
//	cout<<"^^^"<<u<<" "<<fa<<endl;int ans=0;for(int i=head[u],v;i;i=e[i].nxt){v=e[i].v;if(v==fa)continue;dfs1(v,u);ans+=cnt[v]+(a[v]*2<a[u]);}cnt[u]=ans;return;
}int ans[maxn];
void dfs2(int u,int fa){
//	cout<<u<<" "<<val<<endl;for(int i=head[u],v;i;i=e[i].nxt){v=e[i].v;if(v==fa)continue;ans[v]=ans[u]-(a[v]*2<a[u])+(a[u]*2<a[v]);dfs2(v,u);}return;
}int main(){cin>>T;while(T--){cin>>n;ent=0;for(int i=1;i<=n;i++)head[i]=0;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];for(int i=1,u,v;i<n;i++){cin>>u>>v;add(u,v);add(v,u);}dfs1(1,-1);
//		for(int i=1;i<=n;i++)cout<<cnt[i]<<" \n"[i==n];ans[1]=cnt[1];dfs2(1,-1);int t=0;for(int i=1;i<=n;i++)t+=(ans[i]==0);cout<<t<<endl;}return 0;
}

---

思路2（并查集缩点）：

我们队赛时的想法。

可以发现这个 儿子节点值的二倍大于等于父节点的值 的关系是“有向”的，如果一条边的两个端点分别是 $u,v$，由于这个图是个树，因此整个图会被这条边分成两个连通块（点 $u$ 一侧和点 $v$ 一侧）。

如果存在 $2a_u\ge a_v,2a_v<a_u$ 的关系的话，那么当点选在点 $v$ 一侧的时候，是永远不可能成立的，我们不妨把这条边改成 $u\to v$ 的一条有向边，来表示这种有向关系。当然，当 $2a_u\ge a_v,2a_v\ge a_u$ 同时满足的话，则没有限制，连成普通的双向边即可。这时，当我们从新图的一个点出发，如果可以到达其他所有点的时候，就说明这个点是可行的一个根节点。

因为一部分树边被改成了有向边，因此修改后的图就含有若干个强连通块，强连通块内的所有点可以互相到达，因此我们把图中所有极大强连通块缩成一个点，这样整个图就变成了一个有向无环图。我们在这个图上找有没有一个点可以到达其他所有点。

因为原图就是一个树，因此缩点后的图仍然是一个树，因此满足条件的点就是树根，它有且只有一个，并且只有它入度为 $0$。

我们可以用并查集将一个强连通块缩成一个点，还能同时记录一下块内有几个点，然后我们再通过有向边记录一下每个块的入度，最后检查一下是否存在只有一个块入度为 $0$ 即可。

code2：

队友赛时代码，当时是 $AC$ 了，但是在 $CF$ 上重交就过不了了。局部变量开太多导致 $MLE$，视评测机优化还会变 $RE$ 或者 $WA$。把一些局部变量改成全局变量就行了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
int find(int x,vector<int> & fa){if(fa[x] == x) return x;int fx = find(fa[x],fa);fa[x] = fx;return fx;
}
void merge(int x,int y,vector<int> & fa,vector<int> & cnt){int fx = find(x,fa);int fy = find(y,fa);if(fx == fy) return ;fa[fx] = fy;cnt[fy] += cnt[fx];return ;
}
void solve(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);int n;cin>>n;vector<int> a(n+5);vector<int> fa(n+5);vector<int> cnt(n+5);for(int i = 1;i<=n;i++) {cin>>a[i];fa[i] = i; cnt[i] = 1;}vector<int> edge[n+5];for(int i = 1;i<n;i++){int u,v;cin>>u>>v;if(a[u]*2>=a[v] && a[v]*2 >= a[u]){merge(u,v,fa,cnt);}else if(a[u]*2>=a[v]){edge[v].push_back(u);}else if(a[v]*2>=a[u]){edge[u].push_back(v);}}set<pair<int,int> > st;for(int i= 1;i<=n;i++){for(auto j : edge[i]){int u = i,v = j;int fu = find(u,fa);int fv = find(v,fa);if(fu == fv) continue;// if(fu > fv) swap(fu, fv);st.insert({fu,fv});}}vector<int> chu(n+5),ru(n+5);for(auto pii : st){chu[pii.first]++;ru[pii.second]++;}int sz = 0;int ans = 0;for(int i = 1;i<=n;i++){int fi = find(i,fa);if(i != fi) continue;if(ru[i] == 0){sz ++;ans = cnt[i];}}if(sz > 1)cout<<0<<'\n';else cout<<ans<<'\n';}
int main(){int T;cin>>T;while(T--){solve();}return 0;
}

---

Problem L. Toxel 与 PCPC II

题意：

Toxel 正在参加 PCPC（Pokémon Center Programming Contest）比赛。它写的一段代码中有不少
$bug$，正在调试。这份代码总共有 $n$ 行，而且经验丰富的 Toxel 已经知道了其中 $m$ 行代码有 $bug$，并锁定了这 $m$ 行的具体位置。但是 Toxel 还需要进行一些调试以了解错误的具体细节并修复它们。

Toxel 会进行多次调试。每次调试时，Toxel 可以任选一个 $i$，使得程序从第 $1$ 行开始，顺序运行完第 $i$ 行后退出。Toxel 可以通过这 $i$ 行代码运行的一些输出结果来进行 $debug$。运行这 $i$ 行代码总共需要 $i$ 秒。接下来，Toxel 会一次性地 $debug$ 这 $i$ 行代码，并修复所有这 $i$ 行中的所有 $bug$。$bug$ 数量越多，修复所需的时间也越多。设这 $i$ 行代码中现存的 $bug$ 数量为 $x$，那么 Toxel 需要 $x^4$ 秒来 $debug$ 并完成修复。修复后，这 $i$ 行代码中将不再存在任何 $bug$。

PCPC 的赛场争分夺秒。请你帮 Toxel 计算一下，它最短需要多少秒才能完成 $debug$，修复整个代码中的所有漏洞？

思路：

很明显的 $dp$，朴素想法是设 $dp[i]$ 表示 $debug$ 前 $i$ 行代码所需的最少时间，设 $s_{j\sim i}$ 表示第 $j$ 行到第 $i$ 行的 $bug$ 数量，$dp[0]=0$，那么状态转移方程为 d p [ i ] = min ⁡ { d p [ j ] + i + s j + 1 ∼ i 4 } ( 0 ≤ j < i ) dp[i]=\min\{dp[j]+i+s_{j+1\sim i}^4\} \quad(0\le j\lt i) dp[i]=min{dp[j]+i+sj+1∼i4​}(0≤j<i)

不过这是个 $n^2$ 递推，会 $T$。

优化1：

因为运行一行代码也需要时间，我们要尽可能少地选取代码，因此我们每次选择的时候，选择的这一行一定有 $bug$。不然如果这一行没 $bug$ 的话，我们不如选上一行，同理向上走，直到我们选中有 $bug$ 的一行。

因此我们枚举的时候只对 $bug$ 行枚举，时间优化为 $O(m^2)$。

优化2：

因为 $debug$ 所需时间是 $bug$ 数量的四次方，非常夸张的增长速度，因此我们猜测其实每次 $debug$ 只会选取少量 $bug$。

考虑到我们多运行一次代码，花费也不会超过 $2\ast 10^5$。而 $38^4-37^4=210975$，已经超过 $2\ast 10^5$ 了，这意味着如果我们一次性选取了 $38$ 个 $bug$，那么我们不如先选一个 $bug$，然后再选后面的 $37$ 个 $bug$，就算多运行一次也肯定划得来。

因此我们枚举 $j$ 的时候，不必枚举所有的 $bug$ 行，我们只需要向上枚举四五十行就行了。如果枚举 $50$ 行，时间复杂度就会优化为 $O(50m)$。

code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn=2e5+5;
typedef long long ll;int n,m;
ll a[maxn],dp[maxn];int main(){cin.tie(0)->sync_with_stdio(false);cin>>n>>m;for(int i=1;i<=m;i++)cin>>a[i];for(int i=1;i<=m;i++)dp[i]=1e18;for(int i=1;i<=m;i++){for(int j=i-1;j>=max(0,i-50);j--){dp[i]=min(dp[i],dp[j]+a[i]+1ll*(i-j)*(i-j)*(i-j)*(i-j));}}cout<<dp[m];return 0;
}

---

Problem M. 有效算法

题意：

给出长度为 $n$ 的正整数序列 { a n } \{a_n\} {an​} 和 { b n } \{b_n\} {bn​}。对于每个 $a_i（1\le i\le n）$，进行恰好一次以下操作：

• 将 $a_i$ 变成满足 $|a_i-x|\le k\times b_i$ 的任意整数 $x$。

请你求出最小的非负整数 $k$，使得存在至少一种方法使得操作后序列 { a n } \{a_n\} {an​} 所有数都相等。

思路：

满足 $|a_i-x|\le k\times b_i$，则 $x\in [k{b}_i-a_i,k{b}_i+a_i]$。当 $k$ 增大的时候，这个区间会变得越来越大，就越有可能出现合法的 $x$。也就是说答案具有单调性。

因此考虑二分答案，对一个答案进行 $O(n)$ 验证。验证可以求出 $n$ 个取值区间，我们只要保证它们的交集不为空即可（我们可以取所有区间左端点的最大值和右端点的最小值，如果最大值小于最小值就说明交集不为空）。

code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn=3e5+5;
typedef long long ll;int T,n;
ll a[maxn],b[maxn];bool check(ll k){ll lmx=-1e18,rmi=1e18;for(int i=1;i<=n;i++){lmx=max(lmx,a[i]-k*b[i]);rmi=min(rmi,a[i]+k*b[i]);}return lmx<=rmi;
}int main(){cin.tie(0)->sync_with_stdio(false);cin>>T;while(T--){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];for(int i=1;i<=n;i++)cin>>b[i];ll l=0,r=1e9,mid;while(l<r){mid=(l+r)>>1;if(check(mid))r=mid;else l=mid+1;}cout<<l<<"\n";}return 0;
}

---

END

本人的碎碎念，顺便记录一下2024年5月的这场ccpc。

作为本地土著还是庆幸是我轻来办比赛，而不是郑大，郑大不重视计院，尤其不重视acm。本来想锐评一下郑大，算了，郑大作为河南唯一一所211，面子工程做的那是相当到位，听不得一点杂音呢。陈述一下事实，郑大去年校赛浪潮杯不仅没给奖品，连出题人的出题费都不给，我算是开了眼了。比赛费用也不报销，与之相对的其他比赛都报销ppt大赛有啥含金量啊 ，来郑大打acm就好比去西伯利亚挖土豆。

郑轻办的这场感觉经验不足，正式赛当天日程就出了点问题，本来是八点四十开幕式，九点半比赛，结果晚点不仅禁止入会场，领导们叨叨到九点十分多还没结束。因为体育馆（音乐厅）位置不够所以有的队要去机房考（不过有补偿），过去要走一两里地，时间来不及，所以我们队直接半途直接润去机房了，之后也是临时调整时间。比赛结束后滚榜也不会滚，人都上去领奖了还在滚榜，领奖的人拿完牌子赶紧退场，之后发河南省奖的时候连榜也不滚了，直接念名字上去领奖。估计应该会被挂贴吧（好像并没）。

第二天郑轻老师居然亲自致歉

不过也能看出来我轻是努力想办好的。虽然出了一些岔子，但是并没有引起什么舆论风波，也侧面说明了大部分人对这场的体验还是不错的。参赛服发的是一件速干T恤，腋下到侧腹有散热设计，纯白，少乱七八糟的 $logo$，质感摸起来非常棒。设计用心了，是一件非常适合日常穿的衣服。训练赛当天发了午餐券和晚餐券，一张在食堂可以抵扣十五元，非常推荐卤肉饭金灿灿的麻布洗（就算不抵扣，直接买也很便宜，一碗卤肉饭半碗全是肉，才十二块，这才应该是大学的食堂） 。赛时午饭给的一整包火腿，酸奶和一个大奶油面包，是马斯卡彭，说是面包，其实是蛋糕胚+奶油，爽吃。在糖的加持下，我们队封榜时直接连出两题，这两天我吃的很开心，下次还想来。

我们河南 $ACMer$ 腰杆子直起来了！