笔记01：随机过程——随机游动

一、伯努利随机过程

1. n次伯努利实验中（x=1）发生的总次数Yn：

Y_n = \sum_{i=1}^{n} X_i, n=1,2,3,4,\cdots

P_{Y_n}(k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}

(二项分布)

2. 伯努利实验中事件第一次发生的时间L1：

P_{L_1}(l)=p(1-p)^{l-1}, l=1,2,3,4,5,\cdots

（几何分布）

3. n次伯努利实验中事件第k次发生的时间Lk：

P_{L_k}(n) = \binom{n-1}{k-1}p^{k}(1-p)^{n-k}

（帕斯卡分布）

二、一维随机游动

Y_n = \sum_{k=1}^{n} X_k = Y_{n-1} + X_n

1. 一维随机游动的位置概率

P(Y=r)=p^{k}q^{n-k}\binom{n}{k}, k=0, 1, 2, 3, \cdots , n

其中，k-(n-k) = r \Rightarrow 2k-n = r \Rightarrow k=\frac{n+r}{2}

则，P(Y=r) = \binom{n}{\frac{n+r}{2}} p^{\frac{n+r}{2}} (1-p)^{\frac{n-r}{2}}

其中，r=-n,-n+2,-n+4,\cdots , n-2, n

一维随机游动的状态转移图

赌徒输光（破产）问题

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