斯塔克尔伯格模型(Stackelberg model)

0 前言

前两篇文章中我们提到了连续产量的古诺模型以及可以应用于古诺模型的反应函数。
博弈论——连续产量古诺模型
博弈论——反应函数
古诺模型中，我们强调了:
（1）两个厂商是同时决策的,即博弈只有一个阶段；
（2）决策之前都不知道另一方产量；
（3）两个厂商之间没有主从关系，在市场上的地位是平等的，
即古诺模型为完全信息静态博弈。
当上述3个条件改变时：
（1）两个厂商并不是同时决策，而是一方先决策，另一方根据对方的决策，再作出决策，即博弈有两个阶段(动态博弈)；
（2）后做决策的博弈方，知道先做决策的博弈方的决策；
（3）两个厂商中，一个寡头厂商是处于支配地位的领导者，另一个是寡头厂商的追随者，即两个厂商在市场上是不对称的竞争。
此时，博弈便从古诺模型转为了斯塔克尔伯格模型(Stackelberg)。

1 介绍

    斯塔克尔伯格模型(Stackelberg model)由德国经济学家斯塔克尔伯格提出的一种产量领导模型，该模型反映了企业间不对称的竞争。
    在古诺模型里，竞争厂商在市场上的地位是平等的，因而它们的行为是相似的，而且，它们的决策是同时的。当企业甲在作决策时，它并不知道企业乙的决策。但事实上，在有些市场，竞争厂商之间的地位并不是对称的，市场地位的不对称引起了决策次序的不对称，通常，小企业先观察到大企业的行为，再决定自己的对策。斯塔克尔伯格建立的模型就反映了这种不对称的竞争。
    在斯塔克尔伯格的寡头理论中，提出了将寡头厂商的角色定位为“领导者”与“追随者”的分析范式。一般来说，古诺模型中的两个厂商势均力敌，而斯塔克尔伯格的寡头厂商模型中，一个是实力雄厚的领导者，一个是实力相对较弱的追随者。
    该模型的基本假定条件是：在一个寡头行业中有两个厂商，他们生产相同的产品，其中，一个寡头厂商是处于支配地位的领导者，另一个是寡头厂商的追随者。
    另外，与古诺模型一样，每个厂商的决策变量都是产量，即每个厂商都会选择自己的最优产量来实现利润最大化；并且，古诺模型为静态博弈，双方同时作出决定，但是斯塔克尔伯格模型为动态博弈，领导者先做决策，追随者后做决策。

2 斯塔克尔伯格模型及求解

斯塔克尔伯格模型的博弈结构、参数与古诺模型类似：
Player：两个供应相同产品的厂商
产量：厂商1的产量为q1，厂商2的产量为q2，市场总供给为Q=q1+q2。
市场出清价格P：市场总供给的函数P(Q)=8-Q (市场出清价格是可以将产品全部卖出的价格)
成本：设两个厂商都无固定成本，每增加一单位产量的边际成本c1=c2=c。

    和古诺模型一样，该博弈两博弈方的策略空间是他们可以选择的产量。假设产量是连续变量，也就是说两厂商有无限多种可选策略。两博弈方的得益是两个厂商各自的利润，即各自的销售收益减去各自的成本：
$${\pi }_1=q_{1}P(Q)-q_{1}c=q_1(8-(q_1+q_2))-c{q}_1=-q_1^2-c{q}_1-q_1{q}_2+8q_1$$
和
$${\pi }_2=q_{2}P(Q)-q_{2}c=q_2(8-(q_1+q_2))-c{q}_2=-q_2^2-c{q}_2-q_1{q}_2+8q_2$$
其中，${\pi }_1$、${\pi }_2$分别是厂商1、厂商2的利润。

    用逆推归纳法求子博弈完美纳什均衡。先分析第二阶段厂商2的决策,此时厂商1（领导者）的$q_1$已经决定且厂商2（追随者）知道,因此对厂商2来说是在给定$q_1$的情况下求使${\pi }_2$最大的$q_2$。$q_2$必须满足一阶条件,即
$$-2q_2-c-q_1+8=0$$

求得：
$$q_2=\frac{8-c-q_1}{2}(1)$$
这是厂商2（追随者）对厂商1（领导者）的反应函数。

    厂商1知道厂商2的决策思路,在选择$q_1$时就知道厂商2的产量$q_2^{\ast }$会根据(1)式确定,所以可以直接将(1)式代入自己的得益函数,这样厂商1的得益函数转化成自己产量的一元函数,即
$${\pi }_1=-q_1^2-c{q}_1-q_1{q}_2^{\ast }+8q_1=-\frac{q_1^2}{2}+(4-\frac{c}{2})q_1(2)$$
式(2)表明，当厂商1把厂商2的反应考虑进来后，厂商1的得益就完全由自己控制了，所以领导者一方可以控制自己的得益，而追随者需要根据领导者的决策进而决定自己的决策。这也说明了斯塔克尔伯格模型中，领导性厂商的决策不再需要自己的反应函数。

将式(2)对$q_1$求导：
$$\frac{d{\pi }_1}{d{q}_1}=-q_1+4-\frac{c}{2}$$
令$\frac{d{\pi }_1}{d{q}_1}=0$得到：
$$q_1^{\ast }=4-\frac{c}{2}$$

即厂商1的最佳产量为$4-\frac{c}{2}$，代入到(1)式中得到厂商2的最佳产量为
$$q_2^{\ast }=\frac{8-c-q_1^{\ast }}{2}=2-\frac{c}{4}$$
此时，市场总供给量为：
$$Q=q_1^{\ast }+q_2^{\ast }=4-\frac{c}{2}+2-\frac{c}{4}=6-\frac{3c}{4}$$
市场价格为:
$$P=8-Q=8-(6-\frac{3c}{4})=2+\frac{3c}{4}$$

厂商1的得益为：
$${\pi }_1=q_{1}P(Q)-q_{1}c=(4-\frac{c}{2})(2+\frac{3c}{4}-c)=(4-\frac{c}{2})(2-\frac{c}{4})=\frac{(8-c{)}^2}{8}$$
厂商2的得益为
$${\pi }_2=q_{2}P(Q)-q_{2}c=(2-\frac{c}{4})(2+\frac{3c}{4}-c)=\frac{(8-c{)}^2}{16}$$
总得益为：
$${\pi }^{\ast }={\pi }_1+{\pi }_2=\frac{3(8-c{)}^2}{16}$$

3 模型比较：

将上述结果与两寡头同时选择产量的古诺模型进行比较：

（1）古诺模型
厂商1和厂商2的最佳决策为
$$\{\begin{array}{l}{q}_1^{\ast }=\frac{8-c}{3}\\ q_2^{\ast }=\frac{8-c}{3}\end{array}$$
市场总供给
$$Q=q_1^{\ast }+q_2^{\ast }=\frac{16-2c}{3}$$
故双方的得益分别为:
$${\pi }_1=\frac{(8-c{)}^2}{9}$$
$${\pi }_2=\frac{(8-c{)}^2}{9}$$
总收益为
$${\pi }_s^{\ast }={\pi }_1+{\pi }_2=\frac{2(8-c{)}^2}{9}$$

（2）斯塔克尔伯格模型
厂商1和厂商2的最佳决策为
$$\{\begin{array}{l}{q}_1^{\ast }=4-\frac{c}{2}\\ q_2^{\ast }=2-\frac{c}{4}\end{array}$$
市场总供给为
$$Q=6-\frac{3c}{4}$$
双方的得益为：
$${\pi }_1=\frac{(8-c{)}^2}{8}$$
$${\pi }_2=\frac{(8-c{)}^2}{16}$$
总得益为：
$${\pi }^{\ast }={\pi }_1+{\pi }_2=\frac{3(8-c{)}^2}{16}$$

通过比较，不难发现斯斯塔克尔伯格模型的产量大于古诺模型,价格低于古诺模型,总得益(两厂商得益之和)小于古诺模型,但厂商1的得益大于古诺模型两个厂商的得益，这反映了两个厂商之间地位不对称性的影响。