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一.二分查找（easy）
题目链接：704. 二分查找 - 力扣（LeetCode）
解法：
代码：
二.在排序数组中查找元素的第⼀个和最后⼀个位置（medium）
题目链接：34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 - 力扣（LeetCode）
解法：
代码：
二分模板：
三.搜索插入位置（easy）
题目链接：35. 搜索插入位置 - 力扣（LeetCode）
解法：
代码：
四. x 的平方根（easy）
题目链接：69. x 的平方根 - 力扣（LeetCode）
解法：
代码：
五：山峰数组的峰顶（easy）
题目链接：852. 山脉数组的峰顶索引 - 力扣（LeetCode）
解法：
代码：
六：寻找峰值（medium）
题目链接：162. 寻找峰值 - 力扣（LeetCode）
解法：
代码：
七：搜索旋转排序数组中的最小值（medium）
题目链接：153. 寻找旋转排序数组中的最小值 - 力扣（LeetCode）
解法：
代码：
八：0〜n-1 中缺失的数字（easy）
题目链接：LCR 173. 点名 - 力扣（LeetCode）
解法：
代码：
一.二分查找（easy）
题目链接：704. 二分查找 - 力扣（LeetCode）
解法：
暴力解法无非就是从左到右枚举，复杂度O（N）
但是这个数组是一个升序的，如果随便取一个数比他小，那么所取得数左边的数都比目标小这样就只需要向他右边找，如果比目标值大也一样那么去它左边找。
- 定义 left ， right 指针，分别指向数组的左右区间。
- 找到待查找区间的中间点 mid ，找到之后分三种情况讨论：
- arr[mid] == target 说明正好找到，返回 mid 的值；
- arr[mid] > target 说明 [mid, right] 这段区间都是⼤于 target 的，因此舍去右边区间，在左边 [left, mid -1] 的区间继续查找，即让 right = mid - 1 ，然后重复 2 过程；
- arr[mid] < target 说明 [left, mid] 这段区间的值都是⼩于 target 的，因此舍去左边区间，在右边 [mid + 1, right] 区间继续查找，即让 left = mid +1 ，然后重复 2 过程；
- 当 left 与 right 错开时，说明整个区间都没有这个数，返回 -1 。
代码：
二.在排序数组中查找元素的第⼀个和最后⼀个位置（medium）
题目链接：34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 - 力扣（LeetCode）
解法：
暴力查找O（N）
二分：
⽤的还是⼆分思想，就是根据数据的性质，在某种判断条件下将区间⼀分为⼆，然后舍去其中⼀个区间，然后再另⼀个区间内查找； 方便叙述，⽤ x 表示该元素， resLeft 表示 左边界， resRight表示 右边界。
查找左端点
我们注意到以左边界划分的两个区间的特点：
- 左边区间 [left, resLeft - 1] 都是⼩于 x 的；
- 右边区间（包括左边界） [resLeft, right] 都是⼤于等于 x 的；
因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下面两种情况：
- 当我们的 mid 落在 [left, resLeft - 1] 区间的时候，也就是 arr[mid] < target 。说明 [left, mid] 都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid + 1 的位置，继续在 [mid + 1, right] 上寻找左边界；
- 当 mid 落在 [resLeft， right] 的区间的时候，也就是 arr[mid] >= target 。说明 [mid + 1, right] （因为 mid 可能是最终结果，不能舍去）是可以舍去的，此时更新 right 到 mid 的位置，继续在 [left, mid] 上寻找左边界；
由此，就可以通过⼆分，来快速寻找左边界；
注意：这⾥找中间元素需要向下取整。
因为后续移动左右指针的时候：
- 左指针： left = mid + 1 ，是会向后移动的，因此区间是会缩⼩的；
- 右指针： right = mid ，可能会原地踏步（⽐如：如果向上取整的话，如果剩下 1,2 两个元素， left == 1 ， right == 2 ， mid == 2 。更新区间之后， left，right，mid 的值没有改变，就会陷⼊死循环）。
因此⼀定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整。
循环条件：
求中点操作：
查找右端点
⽤ resRight 表示右边界；
我们注意到右边界的特点：
- 左边区间 （包括右边界） [left, resRight] 都是⼩于等于 x 的；
- 右边区间 [resRight+ 1, right] 都是⼤于 x 的；
因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下面两种情况：
- 当我们的 mid 落在 [left, resRight] 区间的时候，说明 [left, mid - 1]（ mid 不可以舍去，因为有可能是最终结果） 都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid的位置；
- 当 mid 落在 [resRight+ 1, right] 的区间的时候，说明 [mid, right] 内的元素是可以舍去的，此时更新 right 到 mid - 1 的位置；
由此，就可以通过⼆分，来快速寻找右边界；
注意：这⾥找中间元素需要向上取整。
因为后续移动左右指针的时候：
- 左指针： left = mid ，可能会原地踏步（⽐如：如果向下取整的话，如果剩下 1,2 两个元素， left == 1， right == 2，mid == 1 。更新区间之后， left，right，mid 的值没有改变，就会陷⼊死循环）。
- 右指针： right = mid - 1 ，是会向前移动的，因此区间是会缩小的；
因此⼀定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整。
代码：
C++：
java：
二分模板：
三.搜索插入位置（easy）
题目链接：35. 搜索插入位置 - 力扣（LeetCode）
解法：
分析插入位置左右两侧区间上元素的特点：
- [left, index - 1] 内的所有元素均是小于 target 的；
- [index, right] 内的所有元素均是大于等于 target 的。
设 left 为本轮查询的左边界， right 为本轮查询的右边界。根据 mid 位置元素的信息，分析下⼀轮查询的区间：
- 当 nums[mid] >= target 时，说明 mid 落在了 [index, right] 区间上，mid 左边包括 mid 本⾝，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 [left,mid] 上。因此，更新 right 到 mid 位置，继续查找。
- 当 nums[mid] < target 时，说明 mid 落在了 [left, index - 1] 区间上，mid 右边但不包括 mid 本⾝，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 [mid+ 1, right] 上。因此，更新 left 到 mid + 1 的位置，继续查找。
直到我们的查找区间的⻓度变为 1 ，也就是 left == right 的时候， left 或者right 所在的位置就是我们要找的结果。
代码：
C++:
java:
四. x 的平方根（easy）
题目链接：69. x 的平方根 - 力扣（LeetCode）
解法：
解法⼀（暴力查找）：
依次枚举 [0, x] 之间的所有数 i ：
（这⾥没有必要研究是否枚举到 x / 2 还是 x / 2 + 1 。因为我们找到结果之后直接就返回了，往后的情况就不会再判断。反而研究枚举区间，既耽误时间，又可能出错）
- 如果 i * i == x ，直接返回 x ；
- 如果 i * i > x ，说明之前的⼀个数是结果，返回 i - 1 。
由于 i * i 可能超过 int 的最⼤值，因此使⽤ long long 类型
解法二（二分查找算法）：
设 x 的平方根的最终结果为 index ：
分析 index 左右两次数据的特点：
- [0, index] 之间的元素，平方之后都是小于等于 x 的；
- [index + 1, x] 之间的元素，平方之后都是大于 x 的。
因此可以使⽤二分查找算法。
代码：
C++:
java:
五：山峰数组的峰顶（easy）
题目链接：852. 山脉数组的峰顶索引 - 力扣（LeetCode）
解法：
暴力求解：
峰顶的特点：⽐两侧的元素都要⼤。
因此，我们可以遍历数组内的每⼀个元素，找到某⼀个元素比两边的元素大即可。 
二分：
分析峰顶位置的数据特点，以及⼭峰两旁的数据的特点：
- 峰顶数据特点： arr[i] > arr[i - 1] && arr[i] > arr[i + 1] ；
- 峰顶左边的数据特点： arr[i] > arr[i - 1] && arr[i] < arr[i + 1] ，也就是呈现上升趋势；
- 峰顶右边数据的特点： arr[i] < arr[i - 1] && arr[i] > arr[i + 1] ，也就是呈现下降趋势。
因此，根据 mid 位置的信息，我们可以分为下面三种情况：
- 如果 mid 位置呈现上升趋势，说明我们接下来要在 [mid + 1, right] 区间继续搜索；
- 如果 mid 位置呈现下降趋势，说明我们接下来要在 [left, mid - 1] 区间搜索；
- 如果 mid 位置就是山峰，直接返回结果。
代码：
C++：
java：
六：寻找峰值（medium）
题目链接：162. 寻找峰值 - 力扣（LeetCode）
解法：
和上题没什么区别。。。
任取⼀个点 i ，与下⼀个点 i + 1 ，会有如下两种情况：
- arr[i] > arr[i + 1] ：此时「左侧区域」⼀定会存在⼭峰（因为最左侧是负无穷），那么我们可以去左侧去寻找结果；
- arr[i] < arr[i + 1] ：此时「右侧区域」⼀定会存在山峰（因为最右侧是负无穷），那么我们可以去右侧去寻找结果。
当找到「二段性」的时候，就可以尝试⽤「二分查找」算法来解决问题。
代码：
C++：
java：
七：搜索旋转排序数组中的最小值（medium）
题目链接：153. 寻找旋转排序数组中的最小值 - 力扣（LeetCode）
解法：
题目我们可以知道原本这个原本是一个升序数组，也即是
这个样子的一个数组，那么所谓的“旋转n次数”也就是所把最大的（数组最后）那几个值拿到前面去。
通过图像我们可以发现， [A ， B] 区间内的点都是严格⼤于 D 点的值的， C 点的值是严格小于 D 点的值的。但是当 [C ， D] 区间只有⼀个元素的时候， C 点的值是可能等于 D 点的值的。
因此，初始化左右两个指针 left ， right ：
然后根据 mid 的落点，我们可以这样划分下⼀次查询的区间：
- 当 mid 在 [A，B] 区间的时候，也就是 mid 位置的值严格大于 D 点的值，下⼀次查询区间在 [mid + 1，right] 上；
- 当 mid 在 [C，D] 区间的时候，也就是 mid 位置的值严格小于等于 D 点的值，下次查询区间在 [left，mid] 上。
当区间长度变成 1 的时候，就是我们要找的结果。
代码：
C++：
java：
八：0〜n-1 中缺失的数字（easy）
题目链接：LCR 173. 点名 - 力扣（LeetCode）
解法：
关于这道题中，时间复杂度为 O(N) 的解法有很多种，而且也是比较好想的，这里就不再赘述。本题只讲解⼀个最优的⼆分法，来解决这个问题。
在这个升序的数组中，我们发现：
- 在第⼀个缺失位置的左边，数组内的元素都是与数组的下标相等的；
- 在第⼀个缺失位置的右边，数组内的元素与数组下标是不相等的。
因此，我们可以利用这个「二段性」，来使⽤「二分查找」算法。
代码：
C++：
java：
